精品解析：四川成都市北斗大数据领航联盟2025-2026学年下学期4月期中练习高一数学

2025-2026学年度下期4月期中练习 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数满足，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的运算性质求解. 【详解】对于模为的复数，根据复数性质，因此可得 （表示的共轭复数）. 已知，代入上述性质得， 根据共轭复数的运算性质 即 ​​，因此， 对等式两边同时取共轭，得. 2. 在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心角关系，结合弦长公式列方程并平方化简求半径即可. 【详解】 因为，，相等弦对应圆心角相等， 设对应的圆心角为，对应的圆心角为. 整个圆周角和为，因此，得. 弦长（为半圆心角），因此， ，​由， 展开得，两边乘以代入得， 整理得， 对上式两边平方，结合， 以及， 代入化简后得，因此外接圆半径为. 3. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 4. 如图，平行四边形的对角线交于O点，线段上有点M满足，线段上有点N满足，设，已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算表示出，结合平面向量基本定理列出方程组即可求解． 【详解】由已知得， ， 又，所以． 5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 6. 已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（ ） A. 由直线平面可唯一确定 B. 由直线平面可唯一确定平面 C. 由直线平面可唯一确定 D. 由平面平面可唯一确定平面 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中点，直线，平面的位置关系分别判断即可． 【详解】对于A，过平面外一点与平面平行的直线有无数条，故A错误； 对于B，过直线外一点且与该直线平行的平面有无数个，故B错误； 对于C，过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故C正确； 对于D，过平面外一点，与已知平面垂直的平面有无数个，故D错误． 7. 如图，中，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在，根据余弦定理求，再把转化成，分别求的值和的范围，即可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得： . 所以. 又四边形是边长为1的正方形，所以，. 因为. 又， ， 因为，所以，所以. 所以. 故选：B 8. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦可得，再将三角形面积公式表示为的函数，并利用基本不等式求出最大值. 【详解】在中，， 整理得，即，显然为锐角，即， 由正弦定理得，又， 则面积 ， 当且仅当，所以，即时取等号， 所以面积的最大值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化即可判断A；根据，三角函数的值域及单调性即可判断B；根据角的范围即可判断C；根据已知得出角的范围，结合正弦函数的单调性即可判断D． 【详解】对于A，由正弦定理得，，又，， 所以，， 又，所以， 所以，则，故A正确； 对于B，因为，，所以， 又不是的最大角，所以，则， 所以，故B错误； 对于C，由上述选项可得，，则， 所以，则，故C错误； 对于D，由上述选项可得，，， 所以， 又，所以，故D正确． 10. 已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（ ） A. ，，三点共线 B. C. 平面 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，设在底面上的投影为，由题意无法确定是否在直线上，从而无法确定，，三点是否共线，从而判断A；由线面垂直的判定定理可得平面、平面，从而判断B，C；由题意无法确定平面是否平行于平面，从而无法判断D. 【详解】如图所示： 易知平面底面， 设在底面上的投影为， 若，，三点共线，则在平面上， 此时在直线上， 但根据题设不能确定是否在直线上，故A错误； 因为直四棱柱的各顶点都在球的球面上， 故，，，四点共圆， 若，，三点共线， 同上可知在直线上， 故为圆的直径， 所以，, 又底面，底面， 故， 平面，， 所以平面， 又平面，故， 同理可证平面，故B，C正确； 由于不确定平面是否平行于平面， 故不确定是否平行于平面，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（   ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数量积公式计算可判断A；利用向量的线性运算可判断BC；利用不等式性质可判断D. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 对于A，设直线与圆相交于点， ， 则， 为定值，A正确； 对于B，取的中点，连接， 则 . 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，当时， 为定值，C错误； 对于D，因为，所以， 当均为直径时，两者乘积最大，此时最大值为，不是，所以D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个四面体的四个面全等，每个面的三条边长均为，则其外接球的半径为_____. 【答案】 【解析】 【分析】四面体可通过补形法嵌入长方体中，利用长方体的外接球即为四面体的外接球求解. 【详解】四个面全等且每个面三边长为的四面体，三组对棱分别相等，长度依次为，四面体可通过补形法嵌入长方体中：四面体的四个顶点对应长方体四个不共面的顶点，四面体的棱对应长方体各个面的面对角线. 设长方体长宽高为，则有， 三式相加得，即. 四面体的外接球就是长方体的外接球，外接球直径等于长方体的体对角线， 因此，得. 13. 已知为边长为的正三角形，为所在平面内动点，满足，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先建立坐标系化简条件得到点的运动轨迹，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 则正三角形坐标为，，，设动点. 则.  由​，平方化简得，即的轨迹是以重心为圆心，半径的圆. ，，因此， 圆上点的横坐标范围为圆心横坐标加减半径，即，因此. 即的取值范围是. 14. 费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知在中，角所对的边分别为为费马点.若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求得，进而有且费马点在三角形内部，，再应用三角形面积公式列方程得，再由向量数量积的定义求目标式的值. 【详解】由，显然最大角为， 由余弦定理得， 又，所以为小于的钝角，且， 所以费马点在三角形内部，且， 所以， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，由， 得，则 ， 所以. 16. 已知函数. （1）指出的定义域； （2）求的最小值与最大值. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）要使函数有意义，根号内的表达式非负即可；（2）用三角换元法求解. 【小问1详解】 由题可知，解得，即的定义域为. 【小问2详解】 令，，则， 代入原函数得. 令，由得， 代入得函数化为， ，由得， 因此，即. 是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增， 因此最小值， 最大值， 因此的最小值为，最大值为. 17. (本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. （1）连接，证明：平面. （2）设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解证明即可；（2）运用几何法求解线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 19. 已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． （1）若，求的值； （2）射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再利用平面向量数量积的运算性质化简可得结果； （2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可； ②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可． 【小问1详解】 因为，所以点在线段上，如图①所示， 又，所以由， 得， 因为，且，， 所以（舍）或， 所以为的角平分线， 又，所以， 在中，， 由余弦定理得 ，故， 因为，则， 即，故. 【小问2详解】 记，①因为， 所以点在线段的延长线上，如图②所示， 即， 因为，所以， 化简得，即， 可得，即， 因为，所以； ②因为，则， 即，所以 ＝， 当且仅当|时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期4月期中练习 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数满足，且 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 3. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线交于O点，线段上有点M满足，线段上有点N满足，设，已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 6. 已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（ ） A. 由直线平面可唯一确定 B. 由直线平面可唯一确定平面 C. 由直线平面可唯一确定 D. 由平面平面可唯一确定平面 7. 如图，中，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直四棱柱的各顶点都在球的球面上，若，，三点共线，则（ ） A. ，，三点共线 B. C. 平面 D. 平面 11. 如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（   ） A. 为定值 B. 的取值范围是 C. 当时，为定值 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个四面体的四个面全等，每个面的三条边长均为，则其外接球的半径为_____. 13. 已知为边长为的正三角形，为所在平面内动点，满足，则的取值范围为_____. 14. 费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知在中，角所对的边分别为为费马点.若，则的值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数. （1）指出的定义域； （2）求的最小值与最大值. 17. (本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. （1）连接，证明：平面. （2）设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19. 已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到． （1）若，求的值； （2）射线上的点满足． ①求； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $