精品解析：陕西镇安中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷　(选择题，共58分) 一、单选题(本题共8小题 ， 每小题5分 ， 共40分.在每小题给出的四个选项中 ， 只有 一 项是符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 4. 在三角形中， ，，，则 （   ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 4 D. 9 6. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ） A. 20 B. 16 C. 18 D. 14 8. 某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多选题（本题共3小题 ，每小题6分，共18分 .在每小题给出的选项中 ， 有多项符合题目要求 .若有两个正确选项 ，则选对 一 个得3分 ， 全部选对得6分；若有3个正确选项 ， 则选对 一个得2分 ， 选对两个得4分 ，全部选对得6 分；有选错的得0分) 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 11. 设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（     ）． A. B. P到最小的距离是2 C. 面积的最大值为6 D. P到最大的距离是9 第Ⅱ卷　(非选择题，共92分) 三、填空题(本题共3小题 ， 每小题5分，共15分) 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 13. 函数的极值点为，则实数__________. 14. 已知球的直径 ，则球体积为______． 四、解答题(本题共5 小题 ， 共 77分.解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤) 15. 已知等差数列的前项和为，且 ，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 18. 已知双曲线 经过点，其渐近线方程为 ． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 19. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷　(选择题，共58分) 一、单选题(本题共8小题 ， 每小题5分 ， 共40分.在每小题给出的四个选项中 ， 只有 一 项是符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】等差数列中，由，得，即，解得 ， 而，则公差，所以. 4. 在三角形中， ，，，则 （   ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求解出角，然后由内角和定理求解角即可. 【详解】由可得：， 所以，又， 所以， 结合内角和定理，所以. 故选：B 5. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由题设及，则，可得. 6. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求函数在处的导数即可. 【详解】因为， 所以 曲线在点处的切线的斜率为． 故选：B 7. 已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ） A. 20 B. 16 C. 18 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义求解． 【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为， 故选：C 8. 某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题 ，每小题6分，共18分 .在每小题给出的选项中 ， 有多项符合题目要求 .若有两个正确选项 ，则选对 一 个得3分 ， 全部选对得6分；若有3个正确选项 ， 则选对 一个得2分 ， 选对两个得4分 ，全部选对得6 分；有选错的得0分) 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 函数，则（ ） A. B. 的单调递增区间为 C. 最大值为 D. 有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的符号确定原函数的单调性，继而得到函数的极值，即可逐一判断A,B,C,再结合函数的趋势，利用零点存在定理，作出其图象即可判断D. 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则 时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当 时，；当 时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（     ）． A. B. P到最小的距离是2 C. 面积的最大值为6 D. P到最大的距离是9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对A：根据椭圆的定义可得，A正确； 对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为 ，B错误； 对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷　(非选择题，共92分) 三、填空题(本题共3小题 ， 每小题5分，共15分) 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______． 【答案】27 【解析】 【详解】依题意，. 13. 函数的极值点为 ，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数，利用极值条件求得的值. 【详解】，，得， 此时. 当时 ， 在上单调递减； 时， ， 在上单调递增. 所以 在处取得极小值，符合题意. 故答案为：. 14. 已知球的直径，则球体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为球的直径，所以球的半径， 所以球的体积为. 四、解答题(本题共5 小题 ， 共 77分.解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤) 15. 已知等差数列的前项和为，且 ，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案； （2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解． 【小问1详解】 解：设等差数列公差为d，首项为a1， 由题意，有，解得， 所以； 【小问2详解】 解：，所以． 16. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间是 ，单调递减区间是 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程； （2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可. 【小问1详解】 因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即 . 【小问2详解】 因 的定义域为， 令 得 ，令 得， 故得的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 17. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明平面，再通过线面垂直的性质得到线线垂直； （2）设，根据条件得到，再结合线面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 因为 平面，所以. 因为，，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以 【小问2详解】 设，连接， 则是的中点， 又因为是的中点，所以 因为平面，平面， 所以平面. 18. 已知双曲线 经过点，其渐近线方程为 ． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】（1） （2）假设是线段 的中点，设 ， 则由两式相减，可得 ， 因为是线段 的中点， ， 代入上式，可得 ，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为 ，即 . 联立，消元得 ， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【解析】 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【小问1详解】 双曲线 经过点 ，得 ， 由渐近线方程为 ，得， 解得，， 双曲线的方程为 . 【小问2详解】 略 19. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. 【小问2详解】 乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . 【小问3详解】 丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $