精品解析：2026年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(一) 数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷（一） 数学 全卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 ，所以，. 3. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，然后利用二倍角的正切公式计算即可. 【详解】化简等式为，解得或. 因为，所以，所以，所以. 所以. 5. 中国传统建筑的窗棂纹样中，常运用扇面拼接的设计．如图，这是某窗棂的平面图（扇形截去扇形剩余的部分），已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，，且， 所以. 6. 甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 42种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】按照“赛道引导”工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】安排“赛道引导”工作的人数分为两类， 第一类，“赛道引导”工作仅安排1人，因为甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作， 从甲、乙以外的3人中选一人参加“赛道引导”项工作有种方法， 再安排“物资补给、医疗保障、终点服务”项工作，若“终点服务”工作安排两人，则有种方法， 若“终点服务”工作安排一人，则有种方法， 所以“赛道引导”工作仅安排1人共种方法， 第二类，“赛道引导”工作安排2人，有种方法， 由分类加法计数原理，得共有种方法. 7. 过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点， 则应位于直线和切线之间，所以， 所以斜率的最大值为 8. 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等式变形，再同构一个函数，满足，再由单调性去找到等式关系，最后把二元变量转化为一元变量：，再用函数思想来求最大值即可. 【详解】由题意得，因为， 所以，所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数图象的伸缩变换得到解析式，结合正弦型函数性质求解即可. 【详解】由题意知，. 对于A：，A错误. 对于B：最小正周期，B错误. 对于C：令，，解得，，所以对称中心为. 当时，对称中心为，C正确. 对于D：令，，解得，，所以对称轴为，. 当时，对称轴为，D正确. 10. 如图所示，有一散点图在5个数据中去掉后，下列说法中错误的是（ ） A. 残差平方和变大 B. 相关系数变小 C. 决定系数变小 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差平方和的变化情况即可得. 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则解释变量与响应变量的线性相关性变强， 且是正相关，所以相关系数变大，决定系数变大，残差平方和变小， 故A、B、C错误，D正确. 11. 设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点的坐标为 C. 的最小值为 D. 满足面积为的点有3个 【答案】BD 【解析】 【分析】A项由抛物线方程可知；B项由抛物线定义可得；C项可利用特值举反例，D项，将面积条件转化为点线距离，设点坐标求解方程可得. 【详解】对于A，抛物线弧的焦点为，故A错误； 对于B，若，解得， 所以，即点的坐标为，故B正确； 对于C，由选项B可知，点在抛物线弧上，设为， 则， 如图，可取，则， 由，又， 所以，即，即，故C错误； 对于D，直线的斜率为，所以方程为， ，设边上的高为， 若面积为，则，解得， 设点，则点到直线的距离即的高， 又，则， 所以或，又， 解得或， 所以满足面积为的点有3个（如图），故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在的展开式通项中，令， 在的展开式通项， 令，可得， 因此，展开式中的的系数为. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过累加法得出数列的通项即可得数列通项，再利用裂项相消可得答案. 【详解】已知数列满足，， 所以， 累加可得， 即，所以，当时，，符合通项公式， 所以， 所以的前5项的和为. 14. 如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设利用点差法得到，即可求出离心率； 【详解】解：设，则．由，得，从而有，又，所以， 又由， 从而得到所以，所以． 故答案为： 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【小问1详解】 因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 16. 已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：． 【答案】（1） （2）证明：设直线的方程为（当直线斜率不存在时，直线过点，不合题意）. 设，. 联立，整理得， ， 则，， ， 而， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据所给条件列方程求出，即可写出椭圆方程； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，代入化简即可. 【小问1详解】 由椭圆短轴长为，得，所以. 又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，即. 又，解得，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 17. 在三棱柱中，点为底面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为． （1）证明：∥平面； （2）求的长； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以∥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，由线面平行的判定定理可证； （2）取的中点，连接，得平面，就是直线与平面所成的角，结合已知条件求得，可求得的长； （3）以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，求出平面一个法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为为的中点，所以，因为平面， 所以平面，所以就是直线与平面所成的角， 由题意知，则，所以， 在中，， 所以，所以. 【小问3详解】 又因为正方形，所以，且平面， 以为原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 因为， 设平面的一个法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以，， 令，代入化简得得​， 因此的解析式为. 【小问2详解】 由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. 【小问3详解】 对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. 因为单调递增，故，因此存在，使得， 即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立. 综上得​，即. 19. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 【答案】（1） 2 3 4 ， （2） （3） 在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分， 记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， ，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望. （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. （3）记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，得到，结合数列的递推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. 【小问2详解】 由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试·押题卷（一） 数学 全卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上． 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. 5 C. 3 D. 3. 已知实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 中国传统建筑的窗棂纹样中，常运用扇面拼接的设计．如图，这是某窗棂的平面图（扇形截去扇形剩余的部分），已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙等5名志愿者参加2026年城市马拉松赛事的“物资补给、赛道引导、医疗保障、终点服务”四项志愿工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加“赛道引导”工作，乙必须参加“终点服务”工作，则不同的安排方法数有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 42种 D. 72种 7. 过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 如图所示，有一散点图在5个数据中去掉后，下列说法中错误的是（ ） A. 残差平方和变大 B. 相关系数变小 C. 决定系数变小 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 11. 设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点的坐标为 C. 的最小值为 D. 满足面积为的点有3个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 13. 已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 14. 如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 16. 已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：． 17. 在三棱柱中，点为底面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为． （1）证明：∥平面； （2）求的长； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19. 深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $