精品解析：云南昆明市第八中学2025-2026学年度下学期期中考试高一数学试卷

昆八中2025-2026学年度下学期期中考 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数（，，是常数，且，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 10. 已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 是的周期 11. 在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台形容器的体积为 B. 正三棱台形容器的侧面积为 C. 等边三角形DEF的边长为3 D. 水的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果复数z满足，那么的最大值是______． 13. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 14. 在中，在边上，平分，若，，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示的四棱锥中，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求k的取值范围． 18. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）在所在平面内取一点（与在两侧），且， （i）若，求的长； （ii）若，求面积的最大值． 19. 意大利著名物理学家达·芬奇思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？可以用双曲函数来描述该形状，基本的双曲函数有：双曲正弦函数和双曲余弦函数. . （1）求的值； （2）求不等式：的解集； （3）若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2025-2026学年度下学期期中考 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线位置关系判断两个条件的推出关系即可得解. 【详解】若且，则必有，充分性成立， 若且，则可能平行，也可能相交、异面，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 若，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以复数的虚部为 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 4. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量为， 所以， 又向量为单位向量， 所以. 故选：A. 5. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数及二次函数图象判断交点求解. 【详解】因为与有三个交点，所以中元素的个数为3个. 6. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合二倍角和诱导公式求解即可. 【详解】设，则， 由，得， 即，则， 故． 8. 若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，再根据特殊值代入求解即可. 【详解】. 若，则，与矛盾. 若，则，则，成立. 若，则，代入原式得，即，解得，与题干中是正实数矛盾， 综上，与均不成立，则一定成立. 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，C不成立； 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，D不成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数（，，是常数，且，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，再由解析式讨论函数的性质. 【详解】根据函数的图象，易知，， ， 又因为，所以，因此函数，故A、B正确 对于C，，故C错误； 对于D，函数的图象向左平移个单位后，得到函数为，，因此不是偶函数，故D错误. 10. 已知是定义在上的函数，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 是的周期 【答案】ACD 【解析】 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 11. 在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（ ） A. 正三棱台形容器的体积为 B. 正三棱台形容器的侧面积为 C. 等边三角形DEF的边长为3 D. 水的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据棱台体积公式求解判断A，求出侧面梯形的高即可求解侧面积判断B，根据三角形相似求解等边三角形DEF的边长判断C，根据棱台体积公式求解判断D. 【详解】由题意等边三角形的面积为， 等边三角形的面积为，又正三棱台形容器的高为2，所以正三棱台形容器的体积为， 故A正确； 设的中点为，的中点为，三角形的中心为O， 三角形的中心为，则为侧面梯形的高，如图： 在截面中，，又，， 所以， 所以正三棱台形容器的侧面积为，故B错误； 设等边三角形DEF的边长为，由∽，所以，解得， 即，故C正确； 等边三角形DEF的面积为，正三棱台的高为， 所以水的体积为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果复数z满足，那么的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义确定复数z的对应点在两点之间运动（含端点），结合的几何意义求其最大值. 【详解】令且，则， 所以其表示点到、两点的距离和3，而的距离为3， 所以在两点之间运动（含端点）， 由表示点到点的距离，故其最大距离为， 所以的最大值是. 故答案为： 13. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】两次应用线面平行判定定理得出平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解. 【详解】如图，分别取，的中点，连接，GH，，，HP， 因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面， 又因为，，则四边形是平行四边形，故， 因为，故，又平面，平面，可得平面， 且，平面，故平面平面． 又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为． 故答案为：． 14. 在中，在边上，平分，若，，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由平分，所以，令，， 则， 在中，由正弦定理有：， 在中，由正弦定理有：， 所以，即， 在中，由余弦定理有：， 在中，由余弦定理有：， 又，所以，所以， 解得，所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示的四棱锥中，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面上． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接，由为的中点， 得，由，得，则， 而，因此四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. （2） 由平面，平面，得，则， 由，得，而， 则，，，又，则， 而在同一个球面上，且，因此点为球心， 所以球心在平面上. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理及球面的定义确定球心位置即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差的正弦公式化简，再求最小正周期及的单调递减区间； （2）求出的图象变换后的解析式，再求出的正余弦值利用凑角可得答案. 【小问1详解】 . 的最小正周期为， 由，，解得，， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 将的图象先向左平移个单位长度，得到函数， 再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数， 据题意有，且，则， 则 . 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式，列出相应不等式，即可求得答案； （2）根据奇偶函数的定义，即可判断，进而给出证明； （3）对于求k的取值范围，因为对于恒成立，所以k需小于等于在区间内的最小值；故先分析的单调性，利用单调性求出函数在区间内的最小值即可. 【小问1详解】 由，可得， 解得或，所以的定义域为． 【小问2详解】 为奇函数． 证明如下： 由（1）可知，的定义域关于原点对称， 因为， 所以为奇函数． 【小问3详解】 ，因为函数为增函数， 函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，所以在上为增函数． 故， 由于对于恒成立， 则，即k的取值范围为． 18. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）在所在平面内取一点（与在两侧），且， （i）若，求的长； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先应用两角和差的余弦公式计算化简，再应用正弦定理计算结合角的范围求解； （2）（i）先应用向量的数乘运算及加法运算，再结合数量积公式及运算律计算求解模长；（ii）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简，最后应用正弦函数的最大值计算求解. 【小问1详解】 因为 所以， ，即， 又，所以， 由正弦定理知，所以， ， ； 【小问2详解】 （i）因为，所以，且， ， ； （ii）若，此时为正三角形． 记， 在中，由正弦定理知， ① ， 将①代入上式有， 而， 当时，有最大值． 19. 意大利著名物理学家达·芬奇思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？可以用双曲函数来描述该形状，基本的双曲函数有：双曲正弦函数和双曲余弦函数. . （1）求的值； （2）求不等式：的解集； （3）若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）（ （3） 【解析】 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为恒成立，故是奇函数． 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 所以，解得， 即所求不等式的解集为； 【小问3详解】 因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增，所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $