精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

2025 学年第一学期南模中学高一年级12月月考 一、填空题 1. 已知，用的代数式表示__________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质和换底公式计算可得. 【详解】. 故答案为：. 2. 若集合，，则的子集共有______个. 【答案】 【解析】 【分析】首先求交集，再根据公式求子集个数. 【详解】由题意可知，，所以子集共有个. 故答案为：4 3. 已知函数，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 4. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数为幂函数及函数为偶函数，求出，从而代入求值即可. 【详解】由题意得，解得或1， 当时，为奇函数，不合要求， 当时，为偶函数，满足要求， 故 故答案为：4 5. 若，则不等式的解集是__________． 【答案】； 【解析】 【分析】由题意利用指数函数的单调性，解一元二次不等式，求得的范围． 【详解】解：，则由不等式可得，即 解得或， 故答案为：． 6. 点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________． 【答案】9 【解析】 【分析】用待定系数写出指数函数解析式，代入对应点求解即可. 【详解】设指数函数为，其中且， 将、代入函数解析式得，解得， . 故答案为：9 7. 若函数为偶函数，则_____． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数， ． 考点：函数的奇偶性． 【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取． 8. 若，则下列不等式：①；②；③；④中成立的是________．（填写你认为正确的命题序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断①③的正误；利用指数函数的单调性可判断②的正误；利用特殊值法可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于①，若，则，可得，①正确； 对于②，指数函数为上的增函数，，，②正确； 对于③，，则、不可能同时为零，， ，③正确； 对于④，取，，则，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质、特殊值法、函数的单调性、比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 9. 若，则取得最小值时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数运算的性质计算出与的关系式，再利用乘“1”法与基本不等式计算即可. 【详解】由 可整理得，得， 所以， 当且仅当即时取等号，结合，解得， 故答案为：. 10. 已知是定义在上的单调函数，且对任意的实数，都有，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，对于复合函数问题，利用换元法可设（为常数），得出，从而得出，再令，且根据一次函数和指数型函数的单调性得出函数的单调性，从而可知有唯一解，从而得出的解析式，最后结合对数函数的运算即可求出结果. 【详解】解：是上的单调函数，且对任意的实数，都有， 则设（为常数），则， ，即， 令， 由于函数在上单调递增，且函数在上单调递减， 则在上单调递增， 所以有唯一解，解得：， ， . 故答案：. 11. 定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，，并用表示有限集S的元素个数，则对于任意有限集，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可知若的值最小，则2，4，8一定属于集合M，且M不能含有以外的元素，结合题意即可得结果. 【详解】因为，且， 则，且， 可知，且，，且， 若的值最小， 则2，4，8一定属于集合M，且M不能含有以外元素， 所以集合M为的子集与集合的并集， 要使的值最小，则，此时的最小值为4. 故答案为：4 12. 设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设（为整数，），将代入，得到，要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，得到，所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，又因为，所以，当且仅当时，，因此的最小解为，求出的最小解与最大解的和. 【详解】设（为整数，），代入， 得， 即， 显然均为整数， 故， 即， 对于每个不同的，确定了唯一的有序实数对，从而也互不相同， 要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小， 因为， 所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0， 又因为， 所以，当且仅当时，，此时的最小解为， 综上，方程的最小解与最大解的和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设（为整数，），将代入，得到，再进行下一步求解. 二、选择题 13. 已知集合，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域、值域化简集合，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D. 【详解】函数中，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确. 故选：A 14. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 15. 下列命题中： ①当时，函数的图象是一条直线； ②函数和同一函数； ③若函数是奇函数，则； ④函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点. 真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域判断①，根据同一函数的定义判断②，根据奇函数的定义判断③，根据零点存在性定理判断④. 【详解】解：对于①当时，函数的定义域为，其图象是一条直线去除点，故错误； 对于②，函数的定义域为，的定义域为，不为同一函数，故错误； 对于③，若函数是奇函数，且在处有意义，则，故错误； 对于④，函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上可能有零点，故错误. 所以正确的命题个数为0. 故选：A 16. 设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由，确定，再根据含绝对值三角不等式，确定，放在利用参变分离，转化为函数图象的交点个数问题，求参数的取值范围. 【详解】易知函数定义域内单调递增，且， ，因为， 所以，且，即， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 当时，无解；当时，有四个整数解， 由图得． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键1是确定，关键2是含绝对值不等式的应用. 三、解答题 17. 已知集合. （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“”是“”的必要不充分条件，得到集合是的真子集，求得实数的取值范围即可； （2）求出集合，由，得，再讨论、得到实数的取值范围即可． 【小问1详解】 ，即， 等价于，解得， 则， 又“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 ，， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为． 18. 已知，． （1）当，求的值； （2）当时，用，表示． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数恒等式即可求解； （2）利用对数换底公式和同底对数的加减运算，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，，且， 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； 【小问2详解】 由，可得，, 而. 19. 国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 （1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ （2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】（1）万元，万元，万元 （2）当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按、、分段求出函数关系即可； （2）由（1）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得． 【小问1详解】 设利润为 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，， 所以 当， 当， 当． 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元． 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元． 20. 已知． （1）当时，求函数的定义域及不等式的解集； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，再求出定义域；求出的表达式，解对数不等式即可； （2）求出，由函数只有一个零点，得到只有一解，由得到，代入，得到，从而得到关于的方程只有一个正根，讨论和两种情况求解即可. 【小问1详解】 ，，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为. 【小问2详解】 ， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有， 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或. 21. 已知函数为奇函数，，其中. （1）若函数的图象过点，求实数和的值； （2）若，试判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）设函数，若对每一个不小于3的实数，都存在小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得，再由图象经过点，解方程可得； （2）利用函数单调性定义判断证明； （3）根据的解析式，分别讨论，，，运用基本不等式和函数的单调性，求得的范围． 【小问1详解】 函数为奇函数，可得， 即，可得， 又的图象过点，得，可得，解得， 所以，. 【小问2详解】 当时，，，在上单调递增， 证明如下：设， 则 ， 由，可得，，， 则，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 当时，， 当时，， 当时，对任意，， 而对任意，不满足条件，舍去； 当时，，， 对，，， 由题意，，可得，即， 所以， 当时，，， 对，，， 所以，得， 令，易得在R上严格递减，， 所以，即， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解决的关键是分，，讨论，求出，的值域，问题转化为的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 学年第一学期南模中学高一年级12月月考 一、填空题 1. 已知，用的代数式表示__________． 2. 若集合，，则的子集共有______个. 3. 已知函数，则____________. 4. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是__________． 5. 若，则不等式的解集是__________． 6. 点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________． 7. 若函数为偶函数，则_____． 8. 若，则下列不等式：①；②；③；④中成立的是________．（填写你认为正确的命题序号） 9 若，则取得最小值时，__________. 10. 已知是定义在上的单调函数，且对任意的实数，都有，则的值为_________. 11. 定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，，并用表示有限集S的元素个数，则对于任意有限集，的最小值为______． 12. 设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为__________． 二、选择题 13. 已知集合，，，则下列说法错误是（ ） A. B. C. D. 14. “”的一个必要非充分条件是（ ） A. B. C. D. 15. 下列命题中： ①当时，函数图象是一条直线； ②函数和为同一函数； ③若函数是奇函数，则； ④函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点. 真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 设，函数表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有4个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知集合. （1）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知，． （1）当，求的值； （2）当时，用，表示． 19. 国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 （1）当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ （2）该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 20. 已知． （1）当时，求函数的定义域及不等式的解集； （2）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 21. 已知函数为奇函数，，其中. （1）若函数的图象过点，求实数和的值； （2）若，试判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）设函数，若对每一个不小于3的实数，都存在小于3的实数，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $