10.4 三元一次方程组的解法 课后巩固练习2025-2026学年人教版七年级数学下册

2026 年春季人教版七年级(下) 第10章 平面直角坐标系 10.4三元一次方程组的解法 一、选择题 1.（25-26·四川月考）方程组的解是（       ） A.. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据解三元一次方程组的方法解方程即可. 【解答】 解： ，得 ， 把 代入 ②，得 ， 把 代入 ①，得 ， 所以原方程组的解为 故选C. 2.（25-26·全国同步）若方程组的解满足方程，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法． 将三个方程相加，求出的值，再代入方程中解出的值． 【解答】 解：将方程组中的三个方程相加： 将代入方程中： 解得： 故选：． 3.（25-26·全国同步）已知，则等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了二元一次方程解的定义和解法，首先利用加减消元法，求得用来表示、，再进一步代入求得即可． 【解答】 详解：， 得：， 则， 得：， 则， 所以． 故选：． 4.（25-26·全国同步）已知方程组，则的值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以可以得解． 【解答】 解：原方程组左右两边同时相加可得： 故选：． 5.（24-25·四川期中）运用加减法解方程组较简单的方法是（       ） A.先消去，再解 B.先消去，再解 C.先消去，再解 D.三个方程相加得再解 【答案】 B 【解析】 根据三元一次方程的解法即可判断. 【解答】 第一个方程没有未知数，故可利用第二、三个方程消去，再求解关于的二元一次方程组， 故选 6.（24-25·全国同步）已知，，，则代数式的值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出，的值，然后代入所求代数式即可求解． 【解答】 解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：． 7.（25-26·北京期中）如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（     ） A.3颗 B.4颗 C.6颗 D.7颗 【答案】 D 【解析】 设1颗玻璃球的质量为a，1个圆柱体的质量为b，1个正方体的质量为c，根据图1天平变化后的平衡状态，得出b+c=6a，表示1个圆柱体和1个正方体等于6颗玻璃球的质量，即可得解。 【解答】 解：设1颗玻璃球的质量为a，1个圆柱体的质量为b，1个正方体的质量为c， 由题意可知，b+c-3a=3a， ， ， 即玻璃球、圆柱体、正方体各1个的质量等于7颗玻璃球的质量。 8.（25-26·全国同步）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为三种礼盒各一个，其中盒中有个保温杯，个电子手表，个蓝牙耳机；盒中有个保温杯，个电子手表，个蓝牙耳机；盒中有个保温杯，个电子手表，个蓝牙耳机．经核算，盒的成本为元，盒的成本为元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则盒的成本为（       ） A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据盒和盒的成本列出方程组，通过消元法求出的值，再代入盒的成本表达式求解即可． 【解答】 解：设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为元、元、元，根据题意得： ， 则， 化简得：， 由得， 则盒成本为： （元）， 故选：． 二、 填空题   9.（25-26·四川月考）已知方程组，则 ____1:2:3____． 【答案】1:2:3 【解析】 利用加减消元法表示出 即可解答； 【解答】 解： ① 4得 ③ - ② 得 化简得 把 代入 ①式，得 解得 即 10.（25-26·山东月考）已知是方程组的解，则___15_____． 【答案】 15 【解析】 本题考查解三元一次方程组，设 ，则 ，，，代入方程 中，求出 的值，进而求出 的值，求和即可. 【解答】 解：设 ，则 ，，，代入方程 得 ，即 ，合并得 ， 解得 . 所以 ，，, 则 . 故答案为：15. 11.（25-26·福建月考）方程组的解为________． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 试题分析：由①可得：x=5-y，然后代入②，与③一起联立成关于y和z的二元一次方程组，然后利用消元法求出方程组的解． 试题解析：，由①可得：x=5-y④，将④代入②可得：2(5-y)+z=13，即-2y+z=3⑤，⑤-③可得：-3y=0，解得：y=0；将y=0代入①可得：x=5；将y=0代入③可得：z=3；所以，原方程组的解为：．  12.（25-26·全国同步）已知，，则_______________． 【答案】 【解析】 本题考查了三元一次方程组的求解，用将、表示出来，并代入代数式求解即可． 【解答】 解∶联立，， 得， 解得， ， 故答案为∶． 13.（25-26·重庆开学）某校为开展体育活动，购买同样的篮球个，排球个，足球个，共花费元，后来又买同样的篮球个，排球个，足球个共花费元，问买同样的篮球个，排球个，足球个，共需_____110__________元． 【答案】 【解析】 本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得，，然后作答即可． 【解答】 解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元，依题意得， ， 由②得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各个，共需花费元， 故答案为：． 14.（24-25·四川期中）“一马当先，当仁不让”，年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区人组团参赛，准备租住客房间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有______2______种． 【答案】 【解析】 此题考查了三元一次方程组的应用．首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案． 【解答】 解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得： ； 解得：， ， ，，是正整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，；(不符合题意，舍去) 租房方案有种． 故答案为：． 三、 解答题   15.（25-26·全国同步）解方程组： （1）； （2） 【答案】 【解析】 （1）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可； （2）将得，与③组成方程组，再运用加减消元法求出，最后把的值代入①，求出，故可得方程组的解． 【解答】 （1）解：原方程组整理得， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 与③组成方程组， 得：， 将代入③得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 16.（24-25·海南期末）已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中，，的值． 【答案】 【解析】 根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组，并熟练掌握方程组的解法是解题关键． 【解答】 解：由题意得：，解得． 17.（25-26·全国同步）小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． （1）的值为___3______． （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是__①______（填正确的序号）． ①  ②  ③ （3）已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为___________． 【答案】 3 ① 【解析】 （1）将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于、的三元一次方程组，解方程组得到、的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【解答】 （1）解：， 当时，， 故， 故答案为：． （2）解：①与组成方程组， 方程组为：， 解方程组得：， 在范围内， 故①符合题意； ②与组成方程组 ， 解方程组得：， 不在范围内， 故②不符合题意； ③与组成方程组 解方程组得：， 在范围内， 故①符合题意； 故答案为：①； （3）解：依题意， 解方程组得， 则方程为，即， 方程组为：， 解方程组得， 故答案为：． 18.（25-26·江西开学）阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下： 解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题： （1）试求方程组的解 （2）已知､､，满足，求的值． 【答案】 【解析】 （1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可； （2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出的值即可． 【解答】 （1）， 由②得③， 把方程①代入③得，， 解得：，代入①得，， 所以方程组的解为：； （2）， 由①得③， 由②得④， ③④得2 19.（24-25·上海月考）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲件、乙件、丙件共需要元；②购买甲件、乙件、丙件共需要元；③购买甲件、乙件、丙件共需要元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． （1）请你根据欢欢的思路解决问题． （2）你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 【答案】 见解析 正确，理由见解析 【解析】 （1）本题主要考查了三元一次方程组的应用， 对于，先设甲，乙，丙商品的单价，再根据总价相等列出三元一次方程组，求出解即可； 对于，仿照列出两个方程，再根据整体的思想求出答案即可． 【解答】 （1）解：设甲，乙，丙商品的单价为元，元，元，根据题意，得 ， 解得， ． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需元； （2）解：乐乐的说法正确． 设购买甲，乙商品的单价为元，元，根据题意，得 ， 得． 答：购买甲，乙，丙三种商品各一件共需元． 20.（25-26·全国同步）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 汽车运费（元/辆） （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ （3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】 需要甲车辆，乙车辆 共有三种方案：①甲车辆，乙车辆，丙车辆；②甲车辆，乙车辆，丙车辆；③甲车辆，乙车辆，丙车辆 甲车辆、乙车辆、丙车辆时运费最省，最省是元 【解析】 （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【解答】 （1）解：设需要甲车辆，需要乙车辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车辆，乙车辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车辆，乙车辆，丙车辆． 根据题意得：， 消去可得：，即：． 由于、、均是非负整数，且三种车共辆要求同时参与所以与都不能大于，得： ，， 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车辆，乙车辆，丙车辆；②甲车辆，乙车辆，丙车辆；③甲车辆，乙车辆，丙车辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车辆、乙车辆、丙车辆时运费最省，最省是元． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季人教版七年级(下) 第10章 平面直角坐标系 10.4三元一次方程组的解法 一、选择题 1.（25-26·四川月考）方程组的解是（       ） A.. B. C. D. 2.（25-26·全国同步）若方程组的解满足方程，则的值为（       ） A. B. C. D. 3.（25-26·全国同步）已知，则等于（       ） A. B. C. D. 4.（25-26·全国同步）已知方程组，则的值是（       ） A. B. C. D. 5.（24-25·四川期中）运用加减法解方程组较简单的方法是（       ） A.先消去，再解 B.先消去，再解 C.先消去，再解 D.三个方程相加得再解 6.（24-25·全国同步）已知，，，则代数式的值是（       ） A. B. C. D. 7.（25-26·北京期中）如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（     ） A.3颗 B.4颗 C.6颗 D.7颗 8.（25-26·全国同步）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为三种礼盒各一个，其中盒中有个保温杯，个电子手表，个蓝牙耳机；盒中有个保温杯，个电子手表，个蓝牙耳机；盒中有个保温杯，个电子手表，个蓝牙耳机．经核算，盒的成本为元，盒的成本为元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则盒的成本为（       ） A.元 B.元 C.元 D.元 二、 填空题   9.（25-26·四川月考）已知方程组，则 _______． 10.（25-26·山东月考）已知是方程组的解，则______． 11.（25-26·福建月考）方程组的解为_______． 12.（25-26·全国同步）已知，，则_______________． 13.（25-26·重庆开学）某校为开展体育活动，购买同样的篮球个，排球个，足球个，共花费元，后来又买同样的篮球个，排球个，足球个共花费元，问买同样的篮球个，排球个，足球个，共需______________元． 14.（24-25·四川期中）“一马当先，当仁不让”，年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区人组团参赛，准备租住客房间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有___________种． 三、 解答题   15.（25-26·全国同步）解方程组： （1）； （2） 16.（24-25·海南期末）已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中，，的值． 17.（25-26·全国同步）小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． （1）的值为________． （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是_______（填正确的序号）． ①  ②  ③ （3）已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为__________． 18.（25-26·江西开学）阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下： 解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题： （1）试求方程组的解 （2）已知､､，满足，求的值． 19.（24-25·上海月考）有这样一个问题；甲、乙、丙三种商品：①购买甲件、乙件、丙件共需要元；②购买甲件、乙件、丙件共需要元；③购买甲件、乙件、丙件共需要元．求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？ 欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案． 乐乐认为：这道题目去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求得答案． （1）请你根据欢欢的思路解决问题． （2）你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由． 20.（25-26·全国同步）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 汽车运费（元/辆） （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ （3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $