5.2.2同角三角函数的基本关系教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 ---高一年级必修第一册5.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计 课程基本信息 主备人 周红波 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中（秋季） 版本章节 必修第一册5.2.2 教学目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2.理解同角三角函数的基本关系式． 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值 教学重难点 重点：同角三角函数两个基本关系式的推导、记忆与初步应用. 难点：1. 理解“同角”的含义，避免混淆“等角”或“异角”； 2. 在已知一个三角函数值时，根据角所在象限确定其余函数值的符号； 3. 灵活运用关系式进行三角恒等变形与综合计算。 学情分析 高一学生已学习了任意角的三角函数定义、单位圆、三角函数线等基础知识，初步具备从几何图形抽象代数关系的能力。但对“函数关系”的抽象理解仍较薄弱，尤其在“知一求多”和“象限判断符号”环节容易出错。部分学生代数变形能力不足，在化简过程中易忽略定义域或符号条件。因此，教学需从直观推导入手，辅以典型例题强化“分类讨论”与“公式逆向应用”意识。 教学准备 1. 教师准备：PPT课件（含单位圆动画演示、公式推导板书设计）、导学案、课堂练习题、几何画板动态演示素材； 2. 学生准备：复习三角函数定义、单位圆性质，预习课本P187-189内容，准备演算纸和错题本； 3. 教具：黑板/白板、直尺、彩色粉笔/记号笔、三角板； 教学过程 一、情景导入（5min） 问题1：如图1，设𝜶是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么， 问题2:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？ 师生活动：教师呈现问题1（任意角终边与单位圆交点坐标和三角函数的关系）、问题2（从圆的几何性质讨论同角三角函数关系），引导学生观察图形、回忆旧知；学生尝试分析，发现“推导关系缺条件”，进而回顾三角函数定义，思考“同角”的含义，明确本节课要探究的核心问题。 设计意图：唤醒旧知，制造认知冲突，明确学习目标，激发探究兴趣。 二、探究推导（10min） 同角三角函数的基本关系 1.平方关系 (1)公式：sin2α＋cos2α＝ . (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 . 2.商数关系 (1)公式：＝ (α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于 ． 注意：(1) “同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦． (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 【思考辨析】 1.微判断(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立. (　　) (2)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角． (　　) (3)对任意角α，sinα＝cosα·tanα都成立. (　　) (4)若cosα＝，则sinα＝. (　　) 师生活动： 教师引导学生推导公式并明确注意点，组织学生进行思考辨析，通过提问、点评纠正误区，扫清认知障碍；学生主动探究公式本质，辨析正误对比，检验理解程度，在互动中强化公式成立条件，避免机械套用，培养逻辑思维。 教学意图： 1. 推导环节： 让学生从定义出发自主推导公式，知其然更知其所以然，培养逻辑推理能力。 2. 强调环节： 针对初学者易混淆的概念（如角的同一性、定义域）进行正误对比，扫清认知障碍。 3. 辨析环节： 通过判断题检验理解程度，强化公式成立的条件，避免机械套用公式。 三、例题精讲（15min） 角度1：已知一个三角函数值求其余两个值 1.利用同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1和商数关系＝tanα，可以实现在sinα，cosα，tanα三个值之间“知一求二”，即知道其中一个可以求其余两个。 2.若题目中没有指出α是第几象限角，必须由题设条件推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论． 【例1】已知sinα＝－，求cos α，tan α的值； 【练1】已知cosα＝，求sinα和tanα的值. 角度2：关于sin α,cos α的齐次式的求值问题 1.已知tanα＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的． 2.对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值． 【例2】已知，则 【练2】已知＝2，计算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 角度3：利用同角三角函数的基本关系化简 1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的. 2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. 3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 【例3】 化简：(1)－； (2)tanα，其中α是第二象限角. 【练3】化简： (1). (2) 师生活动： 教师通过设问引导公式推导，结合板书示范典型题思路，巡视点拨解题误区；学生自主尝试基础计算，小组讨论齐次式转化技巧，上台展示化简过程并互评纠错。师生共同归纳“化归”策略，教师针对共性错误重点强调，学生在互动中深化对公式的理解与应用。 设计意图： 通过分层练习，帮助学生掌握同角三角函数基本关系。首先夯实基础求值，强调象限分类与定义域；继而突破齐次式转化技巧，实现“知一求二”；最后通过复杂化简，提升代数变形能力。全过程贯穿“化归”思想，在层层递进中培养学生的逻辑推理与运算素养，并渗透严谨的数学态度。 四、巩固练习（7min） 1.已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于(　　) A. B．－ C. D.－ 2.已知tan α＝－，则的值是(　　) A. B.　　 C.　　　 D. 3.化简： 师生活动： 教师组织学生进行7分钟巩固练习，巡视收集学生作答情况，针对第1题象限符号、第3题根式化简等易错点进行个别点拨与集中讲解；学生独立思考完成三道梯度练习题，动笔计算并核对选项，在纠错中深化对公式的理解，随后师生共同核对答案并简要复盘。 设计意图： 这三道题分别针对“知余弦求正弦（需定象限）”、“齐次式转化（知正切求值）”及“含根式化简（利用平方关系与绝对值）”三大核心考点。旨在通过针对性练习巩固同角关系的基本应用，强化分类讨论与化归思想，扫清认知盲点，提升学生的逻辑推理与运算素养，为后续复习打下坚实基础。 五、课堂小结（3min） 1、同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 2、题型： 角度1：已知一个三角函数值求其余两个值 角度2：关于的齐次式的求值问题 角度3：利用同角三角函数的基本关系化简 师生活动： 1. 学生自主梳理知识脉络； 2. 举例说明公式应用的灵活性； 3. 提出本节疑问或新发现。 设计意图： 构建知识网络，提升元认知能力，为后续三角恒等变换打下基础。 板书设计/课堂小结 5.2.2 同角三角函数的基本关系 一、推导依据：单位圆 + 三角函数定义 二、两个基本关系式： 1.平方关系： 2.商数关系： 三、应用关键： 1.同角 ≠ 等角 2.象限决定符号 3.定义域不能忽略 四、典型方法：知一求多 → 定象限 → 算符号 → 代公式 → 化简/证明 教学反思 — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $