5.2.2同角三角函数的基本关系教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

附件2: 2025年第二届“学科网杯”全国中小学课件大 赛教学设计模板 教学设计 (注：标题采用四号宋体，正文采用五号宋体，1.5倍行距) 课程基本信息 课题 同角三角函数的基本关系 课型 新授课 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 人教A版5.2.2 教学目标 1.能利用三角函数的定义及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并推导出同角三角函数的基本关系式； 2.会利用同角三角函数的关系式理解三角函数的内在联系性； 3.通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养. 教学重难点 重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用 难点：三角函数内在的联系性 学情分析 同角三角函数基本关系式的学习，其认知基础是三角函数的概念及圆的有关知识，由于三角函数中的对应关系是“与x,y直接对应”，其本质是“几何元素的对应”，因此，这种对应与学生已有经验距离较大，因此，本节应从定义出发，用联系的观点提出问题，获得研究思路。 本节的学习难点是三角函数内在联系的认识。这个难点出现的原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这样的经验，让学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分从而导致发现和提出的问题不强。为此应用思想方法上加强引导。 教学准备 本节课运用多媒体教学，采取探究式教学方法，利用单位圆推导关系，设计分层任务，通过小组合作交流,在主动探究中汲取知识，提高能力，逐步解决问题. 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计(含AI应用) （一）创设情境 提出问题 问题1：如何定义三角函数，在这个定义过程中哪个图形起到关键作用？ 师生活动： 教师提问学生回答三角函数定义； 单位圆： 设计意图:三角函数定义 为后面学习奠定认知基础通过单位圆的几何直观，为理解同角关系提供几何模型 利用信息技术动态生成单位圆，随角度变化实时显示坐标点的运动轨迹，直观揭示三角函数值与几何位置的内在联系，深化数形结合理解。 问题2：由定义我们知道，角的终边周而复始的旋转，终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？如何用符号表示？ 师生活动： 教师带领学生回顾与本节课相关的知识点。这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”特征的反映. 设计意图: 为推出两个关系式做准备 （二）观察图形 探究性质 问题3：公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 追问2：设是角的终边与单位圆的交点，观察图形，结合定义，你能得到什么结论？ 追问3: 角为任意角时，公式都成立吗？ 师生活动: 追问1：如何利用公式简化这个问题的研究？ 板书：同角三角函数的基本关系 教师引导学生讨论，利用公式一，可以把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”。 师生活动：让学生自主探究，得到关系式： 师生活动：让学生自主探究，得到两个关系式中角的范围。 注意： 1. 同角的含义: ①角相同 ②任一个角（函数有意义的前提下）都成立 2.是的符号，不能写成 3.公式的等价变形 设计意图: “终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力，借助单位圆上点 的坐标意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”。 利用信息技术动态展示单位圆上点P的坐标，实时测量，值并验证平方关系，通过拖动动点观察商数关系的变化，使公式推导过程可视化、可探索。 （3） 例题练习 巩固理解 例1 追问1：解决此类问题的思路式什么？ 师生活动： 鼓励学生独立完成，并作课堂展示。 师生活动：学生思考后得到，先判断角是第几象限，进而确定三角函数值的符号，然后求角 师生活动：要按角所在的象限讨论，分别写出答案，有两组结果，并规范写，切记不能用 设计意图: 本题属于用同角三角函数基本关系求值的基本问题类型，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养。 设计意图: 让学生进一步熟悉三角函数的基本关系式及不同三角函数的联系。 1 学科网（北京）股份有限公司 例2 证明： 师生活动:由学生独立完成，并作课堂展示.教师可以鼓励学生采用不同变形方法得出案. 证法一:从左边往右边证。 注意：由cosx≠0， 知sinx≠-1，所以 1+sin x≠0。 证法二:从右边往左边证 证法三:从左右两边往中间证 证法四:作差法 证法五:分析法 设计意图: 例2实际上是平方关系的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导，可以要求学生至少给出两种证明方法。本题可以提高学生对三角函数基本性质的理解水平，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养。 （4） 小结提升 形成结构 1. 请概述本单元的基本脉络，并完善基本结构图。 2. 我们是如何得到同角三角函数的关系式的？在发现这些性质的过程中有哪些值得总结的经验及思想方法？ 师生活动： 基本脉络：现实背景→获得研究对象→分析对应关系本质→下定义→研究性质 ①从定义出发 ②发挥单位圆的作用，体会三角函数的性质是圆的几何性质的解析表示③三角函数与其他函数不同点在于它的周期性，是一个背景定义三个函数，由此它们有内在联系，而且可以相互转化。这是发现同角三角函数基本关系的指路明灯。 设计意图： 对本节课作小结提炼，理解公式，规范步骤，把握数学思想方法． （五）目标检测 检验效果 1. 已知是第四象限角，则 A. B. B. D. 2. 已知则 A. B. B. D. 3. 已知 则 4. 已知求的值。 5. 已知求 的值。 师生活动： 学生独立完成目标检测题，完成后，教师选取典型解法进行投影展示，引导学生辨析正误、阐述思路，共同梳理典型错误，深化对公式的理解与应用。 设计意图： 第1题考查学生运用同角平方关系求值时，能否依据角所在象限（第四象限正弦为负）正确选取符号，而非简单代入公式，从而强化象限对函数值符号的决定性作用这一核心概念。 第2题考查代数恒等变形与三角公式的综合运用。通过因式分解将高次幂降次，再结合同角平方关系求解，旨在训练学生的代数变换与公式整合能力。 第3题检验学生对商数关系的掌握，以及通过简单方程求解三角函数值的能力。 第4题设计意图在于训练学生灵活运用同角三角函数关系。通过已知正切值求正弦、余弦，考查平方关系与商数关系的综合运用，并引入齐次式处理方法，培养学生代数变形与整体代换的数学思维。 第5题考查学生利用同角三角函数关系进行代数变形的能力。通过将分子分母同除以cosα，将原式转化为关于tanα的表达式，体现了“齐次式”的经典处理方法，训练学生整体代换与化归的数学思想。 利用信息技术出题，根据学生的水平生成个性化目标检测题，精准诊断学情，并提供精准的教学反馈数据支持。 （六）作业布置 应用迁移 1.课本第184页练习1-5 2.课本第185页习题5.2中6，11，12，17 设计意图：加深学生对同角三角函数关系式的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展数学运算，逻辑推理等素养。 板书设计 5.2.2 同角三角函数的基本关系 注意： 例1： 1.同角的含义: ①角相同 变式： ②任一个角（函数有意义的前提下）都成立 2.是的符号，不能写成 例2： 3.公式的等价变形 课堂小结： 教学反思 1.突出概念及性质的内在联系，加强教学的整体性。一个数学对象的性质，可以从不同层次体现出来。首先是概念所界定的对象中要素关系，再是概念间的联系，最后与其它知识的联系。三角函数性质非常明显体现出这种层次性。本设计注重利用这种层次性创设情境，遵循从概念到性质到联系的路径，提出层层递进问题，引导学生自主探究三角函数性质。 2.注重发挥单位圆的作用，以单位圆为核心工具，将sinα、cosα直观定义为点的坐标，使平方关系回归圆方程本质，商数关系自然呈现，这一设计将代数关系与几何图形完美结合，让公式的理解变得深刻而直观。 3.深刻体现了数形结合、函数与方程、分类讨论等核心数学思想。通过单位圆将抽象的代数关系转化为直观的几何表示，展现了数形统一的魅力；运用方程思想实现函数值的知一求二；在公式应用中渗透分类讨论思想，根据象限确定函数值符号。这些思想的融合，培养了学生的数学思维和解决问题的能力。 4.注重信息技术的应用，实现了教学方式的革新。通过信息技术构建动态单位圆模型，可实时展示角α终边运动时各三角函数值的变化规律，同步验证平方关系与商数关系的普遍性。利用信息技术进行目标检测与数据统计，精准诊断学情，使抽象关系可视化、复杂推理直观化，有效提升了学生的探究效率与认知深度。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $