2026年广东省A20联盟中考模拟（一）数学试题

2026年广东省A20联盟中考模拟（一） 数 学 试 题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为120分，考试时间为120分钟。 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共4页。 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回。 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．在，0，1，这四个数中，最小的数是 （    ） A． B．0 C．1 D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （     ）       A B C D    3．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为 （    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线，若，则 （    ） （第4题图） （第6题图） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是 （ 　　） A． B． C． D． 6．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为 （     ） A． B． C． D． 7．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知抛物线，若点、、均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是 （    ） A． B． C． D． 9．方程的解为 （ 　 　） A． B． C． D．无解 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（     ） A B C D 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．一组数据2，1，2，5，2，6的众数是___________． 12．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有_____个． 13．一元二次方程的一个解为，则______． 14．计算____________________ ． 15．如图，等腰中，，、、分别是，，的中点，则的周长为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．计算：； 17．如图，为半圆的直径，四边形中，，．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)请在图中，作出半圆的圆心； (2)若，，，求的半径． 18．在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示． (1)求九（1）班A等级的百分比． (2)已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩． (3)金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数． 20．新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律． 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克． 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克． 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题． 【建立模型】 （1）设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 （2）当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 （3）若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 21．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为． (1)如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度． (2)如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 23．阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”． (1)如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据． (2)如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长． (3)如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式． 数学试题 * 第1页（共3页） 数学试题 * 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题详解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C A C B D D A 1．A 【详解】解：，即， ∴， ∴， 即在，0，1，这四个数中，最小的数是． 故选A． 2．C 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3．B 【详解】解：∵3240万， ∴， 故选B． 4．C 【详解】解：∵ 直线 ∴ ∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 故选：C． 5．A 【详解】选项A：根据幂的乘方运算法则，，故选项A正确； 选项B：单项式相乘时，系数相乘，同底数幂相加，，但选项B结果为，缺少的指数，故选项B错误； 选项C：左边提取公因式得，显然仅在特定条件下成立，而非恒等式，故选项C错误； 选项D：根据完全平方公式，，选项D漏掉了中间项，故选项D错误； 故选：A． 6．C 【详解】解：将开关依次编号为， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种， 使得小灯泡能发光的概率为， 故选：C． 7．B 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， ∴四边形，四边形为平行四边形， 由条件可知，，， ∴，， ∴， 故选：B． 8．D 【详解】解：由题意得，将代入， 则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 抛物线对称轴为：， 当， 当， ∴当时函数值相等，均为0， ∵，抛物线开口向上， ∴， 故选：D． 9．D 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 即原方程无解， 故选：D． 10．A 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 11．2 【详解】解：数据2，1，2，5，2，6中，2出现的次数最多， ∴众数为2， 故答案为：2． 12．3/三 【详解】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解有，共3个， 故答案为：3 13． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得． 故答案为：． 14．/ 【详解】解：原式=． 故答案为 ：． 15． 【详解】解：、、分别是、、的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ，， 四边形的周长为：． 故答案为：． 16．解： 17．（1）解：延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点E、F在的垂直平分线上， ∴，， ∴点O为半圆的圆心； （2）解：分别过点C、D作，垂足分别为G、H，如图所示： ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3． 18．（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得， ， 即圆心 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 19．（1）解：， 答：九（1）班A等级的百分比为； （2）解：∵一共有名学生， ∴将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数， ∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分， ∴小义的成绩是分； （3）解：名， 答：估计该校A等级的总人数为280名． 20．解：（1）由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克， 设降价为x元，则销量增加量为千克 总销量为千克． 又此时售价变为元/千克， 销售额y与x的函数关系式为： （2）由题意，结合 当时，y取最大值，最大销售额为720元． 答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元． （3）由题意，令， 或 二次函数的图象开口向下， ∴时，， ∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，， ∴， 对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元． 21．（1）如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧， 设该圆弧所在圆的半径为， 依题意，得，在中， ， 垂直平分． ． 在中，， 即， 解得或（负值舍去）． 即秋千的长度为． （2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点． 射线与，分别相交于点，，则． 又， 与均为等腰直角三角形． ，． 当时，， 连接，又，， 又，， ． ． 而， ． 从而应向右平移的最大值． 应将挡光板沿方向向右最多平移约． 22．（1）证明：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ， ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 又∵是直角三角形，， ∴或 当时，如图，过点作的垂线交于点，则， ， ∴， 设，则， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，四边形和四边形都是矩形， 此时， 过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ∵四边形和四边形都是矩形，，，设， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， 解得， ∴，即点Q与点O重叠， 此时； 综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或． 23．（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∴是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足）； （2）解：过点C作于点D，如图， ∵， ∴在中，， ∴； 设， ∵是卓越三角形，是卓越角，是卓越边， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵，即 解得：， ∵， ∴ ∴， 在等腰直角三角形中，； （3）解：在卓越中，为卓越边，为卓越角， ∵是直角三角形， ∴不可能为斜边，即， ∴或， ①当时，如图3， 过点B作轴于点E，过点C作交延长线于点F，过点C作轴于点G，则． ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∵点B，C在函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）． ∴， ∴反比例函数解析式为； ②当时，如图4，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N． 则． ∴． ∴． ∴， ∵为卓越边，为卓越角， ∴， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，． ∵点B，C在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述，反比例函数解析式为：或． 答案 * 第1页（共3页） 答案 * 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $