2026年 数学中考二轮复习二次函数加强练

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，以真实场景数据为载体，系统训练从题干提取信息、建立函数模型及解决最值与决策问题的能力，体现数学建模与数据分析素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数据建模|3题（新能源汽车能耗/水火箭飞行/防腐剂效果）|待定系数法求解析式、图像分析数据趋势|从实际数据抽象二次函数关系，通过描点连线直观感知函数图像特征| |几何应用|3题（音乐喷泉/隧道限高/洒水喷头）|顶点坐标求最值、函数与方程转化|结合几何图形建立坐标系，运用二次函数性质解决距离/高度问题| |经济决策|3题（花卉销售/衬衫利润/吉祥物定价）|利润公式构建二次函数、对称轴求最值|从销售问题中抽象单价-销量-利润关系，通过函数最值优化决策|

二次函数加强练 本节课主要目标： 学会分析题干，在众多文字中提取有效信息来解题 1．为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：km/h）下的百公里能耗（单位：kWh/100km）数据，部分数据如下： 行驶速度x 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗y1 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗y2 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系xOy中，已画出y1与x的函数图象，在同一坐标系中画出y2与x的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为　 　 km/h（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以70km/h的速度行驶时，其百公里能耗约为　 　 kWh/100km（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距100km．两车都先以50km/h的速度行驶50km，随后立即切换至110km/h的速度继续行驶，直至到达乙地，则　 　 （填“A”或“B”）款车行驶这100km的能耗更低． 2．综合与实践 问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷口点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如表： x/m 0 7 14 21 28 y/m 0 4.5 6 4.5 0 问题解决： （1）将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． （2）为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于5m，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． （3）如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷水点O的水平距离x（单位：m）近似满足关系式：y＝﹣0.04x2+tx．在距喷口点O水平距离45m处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M5m的范围内（含5m），求t的取值范围．﹣ 3．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离x米和飞行高度y米的数据，记录数据如表： 照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离x/米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度y米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … （1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式； （2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式x＝10t．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； （3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 4．春风送暖，花满通城：梦幻岛樱花渐次盛开，绚烂如霞，尚园郁金香陆续绽放，汇成花海，军山绿野的油菜花铺天盖地，一片金黄…人们纷纷走出家门，欣赏美景．户外赏花热潮也带旺了城区鲜花消费市场，我校开展社会实践活动，要求学生调查花卉市场郁金香的销售情况，如表是“文曲星”小组的调查记录表．请根据表中的相关信息解决三个实际问题． 社会实践调查记录表 团队名称 文曲星 活动时间 2026.4.1 活动地点 某花卉销售市场 实践内容 调查郁金香市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 近期鲜花大量上市，郁金香的进价比春节期间每箱回落4元，用4400元可比前期多购买10箱． 现阶段郁金香售价是44元/箱时，每周可销售300箱；售价是46元/箱，每周可销售280箱． 销售时每箱售价不低于42元且不超过54元． 解决问题 （1）问题一：现在郁金香每箱进价多少元？ （2）问题二：在销售过程中发现每周的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间满足一次函数关系，求出y与x的函数关系式； （3）问题三：将每箱郁金香的销售单价定为多少元时，才能使花店每周获得的利润最大？最大利润是多少元？ 5．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下，根据以下销售情况，解决销售任务． 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出3件． 情况设置 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，设每件衬衫降价x元． 任务解决 任务1 分别表示降价后甲、乙两店每天的销售量（用含x的代数式表示）． 任务2 当两家分店一天的利润额相等时，每件衬衫下降多少元？ 任务3 每件衬衫降价多少元时，两店每天的总利润之和最大？最大利润是多少元？ 6．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响． 添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（0﹣120mg/kg），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：dB＝0.05c+3． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：mg/kg），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度c（mg/kg） 0 20 40 60 80 100 120 保质期d（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加10mg/kg添加剂，成本增加2元；而每延长1天/kg保质期，可减少5元的损失．若增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过　 　 天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为40mg/kg时，总成本（添加剂成本与损失之和）为　 　 元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省　 　 mg/kg的添加剂（保留整数）． ②当浓度c在　 　 ≤c≤　 　 范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 7．某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176． 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： （1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）； （2）在图3中画出以点C的水平方向建立x轴，过点C的竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式； （3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）． 8．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝3米，距离喷水口OE＝4米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． 任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（直接写出答案，精确到0.1米）． 9．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套）与销售单价x（元/套）之间的关系如图所示： 【问题解决】 任务一 确定函数模型 求该品牌马年吉祥物套装的月销售量y（套）关于销售单价x（元/套）的函数表达式． 任务二 计算定价金额 若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ 任务三 拟定最优售价方案 当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共9小题） 1．为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：km/h）下的百公里能耗（单位：kWh/100km）数据，部分数据如下： 行驶速度x 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗y1 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗y2 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系xOy中，已画出y1与x的函数图象，在同一坐标系中画出y2与x的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为　48　 km/h（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以70km/h的速度行驶时，其百公里能耗约为　9.9　 kWh/100km（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距100km．两车都先以50km/h的速度行驶50km，随后立即切换至110km/h的速度继续行驶，直至到达乙地，则B （填“A”或“B”）款车行驶这100km的能耗更低． 【分析】（1）描出B款车对应数据点，用平滑曲线连接即可画出图象； （2）设二次函数求顶点横坐标得A车最低能耗速度；代入x＝70得B车能耗； （3）用二次函数算出两车不同速度段能耗，分段求和后比较总能耗大小． 【解答】解：（1）在坐标系中描点，用平滑曲线连接即可，曲线为开口向上的抛物线形状； （2）①设A款车能耗二次函数为y1＝ax2+bx+c， 代入（40，8.6），（60，8.7），（80，10.4）， ， 解得：a＝0.00225，b＝﹣0.215，c＝14.6， ∴y1＝0.00225x2﹣0.215x+10.4， 抛物线顶点横坐标（能耗最低速度）：x48km/h； ②设B款车能耗二次函数为y2＝ax2+bx+c， 代入（40，9.5），（60，9.4），（80，10.3）： ， 解得：a＝0.0015，b＝﹣0.145，c＝12.3， 代入x＝70：y2＝0.0015×702﹣0.145×70+12.3＝9.85≈9.9kWh/100km； 故答案为：48；9.9； （3）A款车能耗计算： x＝50时，y1＝0.00225×502﹣0.215×50+14.6＝8.625， 行驶50km耗电：8.6254.3125kWh， x＝110时，y1＝0.00225×1102﹣0.215×110+14.6＝15.425， 行驶50km耗电：15.4257.7125kWh， 总能耗：4.3125+7.7125＝12.025kWh； B款车能耗计算：﹣x＝50时，y2＝0.0015×502﹣0.145×50+12.3＝9.4， 行驶50km耗电：9.44.7kWh， x＝110时，y2＝0.0015×1102﹣0.145×110+12.3＝13.7， 行驶50km耗电：13.76.85kWh， 总能耗：4.7+6.85＝11.55kWh， ∵12.025kWh＞11.55kWh， ∴B款车能耗更低． 故答案为：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意正确运用相关知识点． 2．综合与实践 问题情境：如图1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷口点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如表： x/m 0 7 14 21 28 y/m 0 4.5 6 4.5 0 问题解决： （1）将表格中各组对应值作为点的坐标，在图2所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． （2）为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于5m，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． （3）如图3，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷水点O的水平距离x（单位：m）近似满足关系式：y＝﹣0.04x2+tx．在距喷口点O水平距离45m处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M5m的范围内（含5m），求t的取值范围．﹣ 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令y＝5，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于y＝﹣0.04x2+tx中，令y＝0，求出方程的根，根据题意可得45﹣5≤x≤45+5，即可求解t的取值范围． 【解答】解：（1）描点画图如答图所示： 由题意可得： 设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣14）2+6（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝0， ∴a×（0﹣14）2+6＝0， 解得， ∴y与x的函数关系式为， （2）解：由题意得，对于，令y＝5， 则， 解得，， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）在y＝﹣0.04x2+tx中，令y＝0， 则﹣0.04x2+tx＝0， 解得x1＝0（舍去），， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M5m的范围内（含5m）， 则45﹣5≤x≤45+5，即40≤x≤50， ∴40≤25t≤50， 解得1.6≤t≤2． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 3．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离x米和飞行高度y米的数据，记录数据如表： 照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 水平距离x/米 0 5 10 15 20 25 30 … 飞行高度y米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 … （1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式； （2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式x＝10t．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间； （3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？ 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）令y＝8，解出x的值求解即可； （3）设高度差为h，hx2+x﹣（x2x），根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c， 把（0，0），（10，8），（20，12）代入， 得， 解得， ∴yx2+x； （2）令y＝8，得8x2+x， 解得x＝10或x＝40， 将x＝10或x＝40代入x＝10t， 解得t＝1或t＝4， ∴持续时间为4﹣1＝3（秒）， 故甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间为3秒； （3）设高度差为h， hx2+x﹣（x2x） x2x （x﹣20）2+4， 当水平距离为20米时，两组水火箭的高度差最大，最大高度差是4米． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．春风送暖，花满通城：梦幻岛樱花渐次盛开，绚烂如霞，尚园郁金香陆续绽放，汇成花海，军山绿野的油菜花铺天盖地，一片金黄…人们纷纷走出家门，欣赏美景．户外赏花热潮也带旺了城区鲜花消费市场，我校开展社会实践活动，要求学生调查花卉市场郁金香的销售情况，如表是“文曲星”小组的调查记录表．请根据表中的相关信息解决三个实际问题． 社会实践调查记录表 团队名称 文曲星 活动时间 2026.4.1 活动地点 某花卉销售市场 实践内容 调查郁金香市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 近期鲜花大量上市，郁金香的进价比春节期间每箱回落4元，用4400元可比前期多购买10箱． 现阶段郁金香售价是44元/箱时，每周可销售300箱；售价是46元/箱，每周可销售280箱． 销售时每箱售价不低于42元且不超过54元． 解决问题 （1）问题一：现在郁金香每箱进价多少元？ （2）问题二：在销售过程中发现每周的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间满足一次函数关系，求出y与x的函数关系式； （3）问题三：将每箱郁金香的销售单价定为多少元时，才能使花店每周获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设现在进价为未知数，利用前后金额相同、箱数差10箱列分式方程，求解并舍去负数，得出现在进价； （2）设一次函数解析式，代入两组售价与销量数据，列方程组求出k、b，结合售价范围确定函数式； （3）根据总利润＝单箱利润×销量，列出二次函数，结合对称轴和售价范围，求出最大利润及对应单价． 【解答】解：（1）设现在每箱进价为x元，则春节期间进价为（x+4）元． 根据题意列方程： 10， 化简求解得：x1＝40，x2＝﹣44（进价不能为负，舍去）． 答：现在郁金香每箱进价为40元； （2）设一次函数关系式为y＝kx+b，将（44，300）、（46，280）代入：， 解得：k＝﹣10，b＝740， 结合售价范围42≤x≤54， 函数关系式：y＝﹣10x+740（42≤x≤54）； （3）设每周利润为W元，利润＝（售价﹣进价）×销量： W＝（x﹣44）（﹣10x+740）， 展开整理：W＝﹣10x2+1180x﹣32560， 二次项系数﹣10＜0，抛物线开口向下，对称轴为： x59， 对称轴x＝59超出售价上限54，因此在区间42≤x≤54内，W随x增大而增大， 当x＝54时，利润最大：W＝（54﹣40）（﹣10×54+740）＝14×200＝2800， 答：当销售单价定为54元时，每周利润最大，最大利润为2800元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键． 5．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下，根据以下销售情况，解决销售任务． 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出3件． 情况设置 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，设每件衬衫降价x元． 任务解决 任务1 分别表示降价后甲、乙两店每天的销售量（用含x的代数式表示）． 任务2 当两家分店一天的利润额相等时，每件衬衫下降多少元？ 任务3 每件衬衫降价多少元时，两店每天的总利润之和最大？最大利润是多少元？ 【分析】任务1：根据题意得出结论； 任务2：根据利润相等列出方程，解方程即可； 任务3：根据总利润＝两店的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【解答】解：任务1：根据题意得：甲店每天的销售量为（20+2x）件；乙店每天的销售量为（30+3x）件； 任务2：根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝（30﹣x）（30+3x） 整理得：x2＝100， 解得：x＝10（负值舍去）， 答：每件衬衫下降10元时，两家分店一天的利润额相等； 任务3：设两店每天的总利润为w元，根据题意得：w＝（40﹣x）（20+2x）+（30﹣x）（30+3x） ＝800+80x﹣20x﹣2x2+900+90x﹣30x﹣3x2 ＝﹣5x2+120x+1700 ＝﹣5（x﹣10）2+2200， ∵﹣5＜0， ∴x＝10时，w最大，最大值2200， 答：每件衬衫降价10元时，两店每天的总利润之和最大，最大利润是2200元． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 6．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响． 添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（0﹣120mg/kg），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：dB＝0.05c+3． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：mg/kg），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度c（mg/kg） 0 20 40 60 80 100 120 保质期d（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加10mg/kg添加剂，成本增加2元；而每延长1天/kg保质期，可减少5元的损失．若增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过　0.4　 天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为40mg/kg时，总成本（添加剂成本与损失之和）为　18　 元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省　60　 mg/kg的添加剂（保留整数）． ②当浓度c在　20　 ≤c≤　88　 范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 【分析】（1）根据题意描点并连线即可； （2）①设增加10mg/kg添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； ②即当添加剂A浓度为40mg/kg时，保质期为8天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； （3）①分别求出保质期至少为8天时，添加剂A和添加剂B的浓度，求差即可解答； ②结合表格中添加剂A的浓度，求出相应保质期下添加剂B的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 【解答】解：（1）描点并连线为： （2）①设增加10mg/kg添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则5x＞2， 解得x＞0.4， 即增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过0.4天，增加浓度是有利的， 故答案为：0.4； ②由题意可得，当c＝40时，d＝8， 即当添加剂A浓度为40mg/kg时，保质期为8天， 此时总成本为：2×（40÷10）+5×（10﹣8）＝8+10＝18（元）． 故答案为：18； （3）①由表格可知，若选择添加剂A，当dA≥8时，c≥40， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要40mg/kg； 若选择添加剂B，当dB≥8时，0.05c+3≥8，解得c≥100， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要100mg/kg， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为100﹣40＝60（mg/kg）， 故答案为：60； ② ∴当浓度c在20≤c≤88范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 故答案为：20；88． 【点评】本题考查二次函数的应用，函数的表示方法，二次函数函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分ACB和矩形ADEB的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角α为10°，并查得sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈0.176． 隧道的最高点C到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： （1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN（精确到0.01米）； （2）在图3中画出以点C的水平方向建立x轴，过点C的竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式； （3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）． 【分析】（1）作MP⊥l，根据求出MN即可； （2）先设抛物线ACB的关系式为y＝ax2（a＜0），根据题意可得点B（5，﹣2.4），再代入y＝ax2（a＜0）可得答案； （3）先根据题意将x＝4代入二次函数关系式，求出OG＝1.536，再求出GH＝3.864，然后根据h＝GH﹣0.3得出答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点M作MP⊥l， ∵斜坡的坡角α为10°，隧道内积水的水深为0.27米， ∴MP＝0.27，∠MNP＝10°， ∵MP⊥l，sin10°≈0.174， ∴， 即， 解得（米）； 答：涉水线离坡底的距离为1.55米； （2）如图所示，建立直角坐标系， 设抛物线ACB的关系式为y＝ax2（a＜0）， ∵隧道的最高点到地面DE距离为5.4米，两侧墙面高AD＝BE＝3米，地面跨度DE＝10米， ∴点B（5，﹣2.4）． 把B（5，﹣2.4）代入y＝ax2（a＜0），得 ﹣2.4＝25a， 解得， ∴； （3）如图所示， ∵车辆行驶方向的右侧车道线与墙面距离是1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部ACB在竖直方向的空隙不小于0.3米， ∴10÷2﹣1＝4（米）， ∴当x＝4时，，则OG＝1.536米， ∴GH＝CH﹣OG＝5.4﹣1.536＝3.864（米）． ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴h＝GH﹣0.3＝3.864﹣0.3＝3.564（米）． ∵涉及安全问题， ∴限高架上标有警示语“车辆限高h米”，则h＝3.564≈3.5（米）． 【点评】本题考查二次函数的应用，线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝3米，距离喷水口OE＝4米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． 任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（直接写出答案，精确到0.1米）． 【分析】（1）抛物线经过的点A的坐标为（0，），点F的坐标为（4，3），点D的坐标为（8，0），设抛物线的解析式为：y＝ax2+x+c（a≠0），把点A、F、D的坐标代入抛物线，求得a，b，c的值，即可得到水柱所在抛物线的函数解析式； （2）y取农民的身高，求得x的值即为这位农民与喷水口的水平距离，即可求得p的取值范围； （3）薄膜所在平面可看成是一条直线，解析式可设为：y＝﹣x+b，求得此直线与抛物线相切时b的值，进而把直线向右平移0.1米，得到新的直线解析式，取y＝0，即可求得薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离． 【解答】解：任务一、设水柱所在抛物线的函数解析式为：y＝ax2+x+c（a≠0）． 由题意得：抛物线经过的点A的坐标为（0，），点F的坐标为（4，3），点D的坐标为（8，0）． ∴． 解得：． ∴水柱所在抛物线的函数解析式为：yx2x； 任务二、当y＝1.75时，x2x1.75． x2﹣7.5x+6.5＝0， （x﹣1）（x﹣6.5）＝0． 解得：x1＝1，x2＝6.5． ∴1＜p＜6.5． 任务三、 薄膜所在平面可看成是一条直线MN． ∵薄膜所在平面和地面的夹角是45°， ∴薄膜所在平面的直线解析式为：y＝﹣x+b． 当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时， ． ∴﹣x+bx2x． x2﹣13.5x+（6b﹣4）＝0． ∵只有一个交点， ∴（﹣13.5）2﹣4×（6b﹣4）＝0． 24b＝198.25． b≈8.3． ∴y＝﹣x+8.3． ∴直线与x轴的交点为（8.3，0）． 过点MF⊥MN于点M，且MF＝0.1m，过点F作M′N′∥MN，交x轴于点M′． ∴∠MFM′＝90°． 由题意得：∠MM′F＝45°， ∴MM′0.1414（米）． ∴OM′＝8.3+0.1414≈8.4（米） 答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为8.4米． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：直线与x轴（y轴）的夹角为45°，直线解析式的比例系数的绝对值等于1；二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 9．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套）与销售单价x（元/套）之间的关系如图所示： 【问题解决】 任务一 确定函数模型 求该品牌马年吉祥物套装的月销售量y（套）关于销售单价x（元/套）的函数表达式． 任务二 计算定价金额 若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ 任务三 拟定最优售价方案 当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】任务一：待定系数法求出函数解析式即可； 任务二：根据每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，列出方程，解方程即可； 任务三：设每月销售利润为w元，根据总利润＝单个的利润×销售量，列出函数解析式，求出函数的最大值即可． 【解答】解：任务一：设y关于x的函数表达式为y＝kx+b， 将点（50，400），（60，300）代入y＝kx+b中， 得， 解得， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣10x+900（40≤x≤90）． 任务二：由题意得，每套利润为（x﹣40）元，月销售量为（﹣10x+900）套， 可列方程，（x﹣40）（﹣10x+900）＝6000， 解得x1＝60，x2＝70， ∵要尽可能让利于顾客， ∴选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元． 任务三：设每月销售利润为w元， w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10x2+1300x﹣36000， 整理得，w＝﹣10（x﹣65）2+6250（40≤x≤90）， ∵a＝﹣10＜0，二次函数图象开口向下， ∴当x＝65时，w取得最大值， 此时，最大利润为w＝6250元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意并列出式子是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/30 11:45:03；用户：善思博学；邮箱：ssbx11@xyh.com；学号：66067240 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $