精品解析：北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题

丰台区2026年九年级学业水平考试综合练习（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 圆锥 D. 圆柱 2. 六边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（ ） A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论： ①与可能相等； ②与一定不相等； ③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 10. 分解因式：_______． 11. 方程的解为x＝_____． 12. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为_____________。 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一个实数c的值为____． 14. 某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是_______． 15. 如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为____． 16. 某校游泳馆有三条用来练习的泳道，其中两条是浅水泳道，一条是深水泳道．游泳社团对社团学员练习游泳的每次用时和泳道进行了调研，信息如下： 学员 A B C D E F G H 每次用时 2 2.5 1.5 3 4 2.5 3.5 5 学员E，G，H只能在浅水泳道练习，其他学员三条泳道都可以练习．每条泳道同一时段内只能供一位学员练习．一位学员的等待时间是指从其所在泳道第一位学员开始练习到这位学员开始练习的时间间隔（不考虑其他因素）． （1）若只开放一条浅水泳道供学员E，G，H各完成一次练习，且他们等待时间之和最少，则这三位学员练习的先后顺序依次是_________； （2）若三条泳道同时开放练习，八位学员各完成一次练习，则他们等待时间之和最少为______． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 23. 某学习小组为了研究不同经度、不同纬度地区的白昼时长变化规律，收集了北京及国内其他四个城市2025年二十四节气日白昼时长（单位：h）的数据，并进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．北京及国内其他四个城市的地理经纬度： b．北京和武汉二十四节气日白昼时长的折线图： c．喀什二十四节气日白昼时长： 9.5 9.8 10.3 10.9 11.5 12.2 12.8 13.5 14.0 14.5 14.8 15.0 14.8 14.5 14.0 13.4 12.8 12.1 11.5 10.9 10.3 9.8 9.5 9.4 d．北京及国内其他四个城市二十四节气日白昼时长的平均数、中位数和方差： 北京 敦煌 喀什 武汉 广州 平均数 12.16 12.15 12.16 12.14 12.14 中位数 12.10 12.15 12.10 12.10 方差 3.89 3.66 1.84 0.96 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为_________； （2）表中n______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）下列推断正确的是_____（填写序号）； ①北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分； ②敦煌二十四节气日白昼时长的平均数和中位数均为，所以全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多； ③在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显． （4）手机的夜间护眼模式可以通过网络、卡获取位置信息，再接入专业网站获得所在地的日出、日落时刻数据，实现日落自动开启，日出自动关闭．若某学生利用假期从北京出发去广州旅游，到达广州后他的手机夜间护眼模式开启时间延后，关闭时间提前．据此判断该学生此次旅游在_______期间（填“寒假”或“暑假”）． 24. 如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的长． 25. 某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 （1）实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； （2）在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； （3）根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含a的式子表示b； （2）已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 27. 如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． （1）求证：平分； （2）连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． （1）若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； （2）当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； （3）设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2026年九年级学业水平考试综合练习（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 球 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据三视图依次分析即可． 【详解】解：A、俯视图应为长方形或正方形，不符合题意； B、三视图应都为圆形，不符合题意； C、主视图和左视图应均为等腰三角形，不符合题意； D、主视图和左视图均为长方形，俯视图为圆形，符合题意． 2. 六边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任何多边形的外角和是即可求出答案． 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴六边形的外角和为， 故选：． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识，解题的关键是熟记：多边形的外角和等于． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴上的位置判断其正负性和绝对值大小，再逐一分析． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、由于，，则，选项正确，符合题意； C、由于，则，选项错误，不符合题意； D、由于，，则，选项错误，不符合题意． 4. 2025年我国新能源汽车年产量约为辆，比2024年年产量增长约，若按照这个速度增长，则2026年新能源汽车年产量为（ ） A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 【答案】C 【解析】 【分析】根据2026年新能源汽车年产量2025年新能源汽车年产量增长率，列式计算即可得出答案． 【详解】解：（辆）． 5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴ 根的判别式满足， 解得． 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚正面向上，另一枚反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键． 画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果， ∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为． 故选：C． 7. 如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析作图过程，证明是菱形，再利用菱形的性质得到，，最后用勾股定理计算． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可得， 四边形是菱形， ，，， ， ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论： ①与可能相等； ②与一定不相等； ③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，表示出、可判断①；利用待定系数法分别求得直线和的表达式，从而得到点D的坐标，然后求得，即可判断②；根据反比例函数k的几何意义，结合面积的和差即可判断③和④． 【详解】解：根据题意，设，则点B的纵坐标为，点C的横坐标为， ∵点B、C在反比例函数上， ∴，， ∴，， ∴当时，即，解得，符合题意， ∴与可能相等，故①正确； 设直线的表达式为，直线的表达式为， 代入，，，得 ；， 解得；， ∴直线的表达式为，直线的表达式为， 联立， 解得，即， ∴， ∴当时，即，整理得，符合题意， ∴与可能相等，故②错误； 如图，延长交y轴于点M，延长交x轴于点N， 则轴，轴， ∴， ∴，， ∴与的面积一定相等，故③正确； 根据题意可知，由①可知，， ∴， ∴， ∴与的面积一定不相等，故④错误； 综上，正确的说法是①③． 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案． 【详解】解：． 11. 方程的解为x＝_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到方程的解． 【详解】去分母得：2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣1， 经检验x＝﹣1是分式方程的解， 故答案为﹣1 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 12. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为_____________。 【答案】40° 【解析】 【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数． 【详解】解：如图，∵∠1=50°，a//b， ∴∠3=∠1=50°， ∴∠2=90°-50°=40°． 故答案为：40°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一个实数c的值为____． 【答案】（答案不唯一，小于0的实数均可） 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，当时，不等式两边同乘，不等号方向改变，因此由可推出，据此解答即可． 【详解】解：∵当时，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴当，则， 故取的实数均满足题意，如当可说明原命题是假命题． 14. 某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下： 等级 优秀 良好 及格 不及格 人数 8 15 4 3 根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是_______． 【答案】230 【解析】 【分析】先求出样本中良好及以上的频率，再乘以九年级女生总人数，即可估计出总体中成绩达到良好及以上的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中成绩达到良好及以上的人数为 ， 样本容量为 ， 因此样本中良好及以上的频率为 ， 所以估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数为：． 15. 如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】结合正方形的性质，利用勾股定理求得，接着证明，求得，从而得到，最后利用求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，，E为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 16. 某校游泳馆有三条用来练习的泳道，其中两条是浅水泳道，一条是深水泳道．游泳社团对社团学员练习游泳的每次用时和泳道进行了调研，信息如下： 学员 A B C D E F G H 每次用时 2 2.5 1.5 3 4 2.5 3.5 5 学员E，G，H只能在浅水泳道练习，其他学员三条泳道都可以练习．每条泳道同一时段内只能供一位学员练习．一位学员的等待时间是指从其所在泳道第一位学员开始练习到这位学员开始练习的时间间隔（不考虑其他因素）． （1）若只开放一条浅水泳道供学员E，G，H各完成一次练习，且他们等待时间之和最少，则这三位学员练习的先后顺序依次是_________； （2）若三条泳道同时开放练习，八位学员各完成一次练习，则他们等待时间之和最少为______． 【答案】 ①. G，E，H ②. 15.5 【解析】 【分析】根据等待时间定义，要使总和最小，需按用时从小到大排列，即可得到顺序． 【详解】解：（1）∵等待时间之和最少， ∴越小的用时排在越靠前的位置， ∴顺序为； （2）∵等待时间之和最少， ∴越小的用时排在越靠前的位置， 规定前两条泳道为浅水泳道， ∵， ∴8名学员可分为三排， ∵E，H用时最长， ∴E，H在前两条泳道第三排， ∵E，G，H只能分配在两条浅水泳道， ∴G在前两条泳道第二排其中一排， ∵越小的用时排在越靠前的位置， 剩余5名非受限学员用时从小到大排列为：， ∴浅水泳道1依次安排学员C、G、H； 浅水泳道2依次安排学员A、B、E； 深水泳道依次安排学员F、D； 总等待时间为后位学员等待时间的总和，即：． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得， 解得：． 解不等式②，得， 解得：． ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． ∵， ∴． ∴原式 ． 20. 如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和正弦的定义求得，，然后证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，接着利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到，最后由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交于点G，交于点H， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点，然后再用待定系数法求出k，b的值； （2）由题意可知，当时，的图象在上方，在下方，设与分别交于两点，当与平行时，满足题意，此时，交于点；当与的交点在之间（包括端点时），满足题意，结合，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴， ∵函数的图象经过点与点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，函数的表达式为， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，的图象在上方，在下方， 当时，； 当时，； 不妨设， 当与平行时，画出图形如下： 从图象可知，此时满足“的图象在上方，在下方，”，此时，的表达式为， 当时，，设点， 如图，当与的交点在之间（包括端点时），满足题意， 当时，， ∴， 又， ∴或． 22. 用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 【答案】包装盒的高为 【解析】 【分析】根据题意可设包装盒高为，底面边长为，再根据图列出方程求解即可． 【详解】解：∵高与底面边长的比为， ∴设包装盒高为，底面边长为． 由图可得， 解得， ∴． 答：包装盒的高为． 23. 某学习小组为了研究不同经度、不同纬度地区的白昼时长变化规律，收集了北京及国内其他四个城市2025年二十四节气日白昼时长（单位：h）的数据，并进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．北京及国内其他四个城市的地理经纬度： b．北京和武汉二十四节气日白昼时长的折线图： c．喀什二十四节气日白昼时长： 9.5 9.8 10.3 10.9 11.5 12.2 12.8 13.5 14.0 14.5 14.8 15.0 14.8 14.5 14.0 13.4 12.8 12.1 11.5 10.9 10.3 9.8 9.5 9.4 d．北京及国内其他四个城市二十四节气日白昼时长的平均数、中位数和方差： 北京 敦煌 喀什 武汉 广州 平均数 12.16 12.15 12.16 12.14 12.14 中位数 12.10 12.15 12.10 12.10 方差 3.89 3.66 1.84 0.96 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为_________； （2）表中n______1.84（填“>”“=”或“<”）； （3）下列推断正确的是_____（填写序号）； ①北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分； ②敦煌二十四节气日白昼时长的平均数和中位数均为，所以全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多； ③在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显． （4）手机的夜间护眼模式可以通过网络、卡获取位置信息，再接入专业网站获得所在地的日出、日落时刻数据，实现日落自动开启，日出自动关闭．若某学生利用假期从北京出发去广州旅游，到达广州后他的手机夜间护眼模式开启时间延后，关闭时间提前．据此判断该学生此次旅游在_______期间（填“寒假”或“暑假”）． 【答案】（1）12.15 （2） （3）①③ （4）寒假 【解析】 【分析】（1）根据中位数的计算公式进行求解即可； （2）根据折线图判断波动大小，即可得出结果； （3）根据折线图，中位数和平均数的意义，逐一进行判断即可； （4）根据题意得到广州的白昼时长比北京的长，结合广州的纬度比北京的低，即可得出结果． 【小问1详解】 解：喀什二十四节气日白昼时长的数据排序后，第12个和第13个数据分别为和， ∴； 【小问2详解】 解：由折线图可知，北京的数据波动比武汉的大，故北京的二十四节气日白昼时长的方差比武汉的大， 故； 【小问3详解】 解：由折线图可知：北京全年白昼时长中，夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分；故①正确； 平均数受极端值影响较大，中位数只能表示中间水平，故平均数和中位数相同不能说明全年白昼时长在至之间的天数一定比其他时长天数多；故②错误； 由经纬度图和折线图可知，在经度相近的情况下，纬度越高的地区白昼时长的季节性变化越明显；故③正确； 【小问4详解】 解：由题意，可知，广州的白昼时长比北京的长，结合广州和北京的经度相近，且北京的纬度高于广州，可知北京的白昼时长的季节性变化越明显，故该学生此次旅游在“寒假”期间． 24. 如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可得，然后根据直径所对的圆周角是直角和两直线平行内错角相等可推出，进而可证得结论； （2）通过证明和，得到，然后设，，则，根据比例式代入解方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点F． 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 25. 某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 （1）实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； （2）在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； （3）根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 【答案】（1）5.0 （2） 下图为所求； （3）①5；②，140 【解析】 【分析】（1）代入计算即可； （2）根据表格数据，描点，连线即可； （3）①结合表格与图象，可知，从第8天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过；②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，即可判断出答案． 【小问1详解】 解：∵实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①结合表格与图象，可知，从第9天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过，故在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为（天）； ②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间， ∵从实验数据，时，该餐的降解失重率为， ∴判断上面实验所用餐具的防水剂用量为， ∵降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在， ∴当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是； 故答案为：，140． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含a的式子表示b； （2）已知点，点，点在线段上，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合． ①当时，直接写出的长的最小值； ②已知在点P从点M运动到点N的过程中，的长随的长的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①8；②或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线即可解答； （2）①由题意可得，，，，即，然后表示出，利用二次函数的性质，结合图象分析最值即可； ②根据题意，设点，，则，由点S与点T不重合，推出且，然后分类讨论：当时，（i）当或时，（ii）当时；当时，（i）当时，（ii）当或时；分别根据二次函数的性质讨论即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，，过点作x轴的垂线，交抛物线于点S，交抛物线于点T，点S与点T不重合， ∴，，，，即， ∴， ∴关于t的函数的对称轴为，图象如图所示， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为； ②根据题意，设点，，则，， ∴， ∵点S与点T不重合， ∴， ∴且， ①当时， （i）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∵点在线段上，，，， ∴， ∴； （ii）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴（，舍去）， ②当时， （i）当时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， 当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， ∴， ∴， ∴， （ii）当或时，， ∴， 则关于t的函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，的长随t的增大而减小，即的长随的长的增大而减小， 当时，的长随的增大而增大，即的长随的长的增大而增大， ∴， ∴， ∴（，舍去）， 综上所述：或． 27. 如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． （1）求证：平分； （2）连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴平分． （2） ①如图即为所求； ②，证明如下： 如图：连接并延长交于点H． ∵点D为的中点，， ∴，． 又∵平分，， ∴， ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴，则． ∵，，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由中点的定义结合已知条件可得，利用等边对等角可得，再说明可得，则即可证明结论； （2）①按要求完成作图即可；②如图：连接并延长交于点H．先说明，利用勾股定理可得，再说明，利用平行线分线段成比例可得，易得是的中位线可得．再说明可得，再利用线段的和差以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． （1）若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； （2）当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； （3）设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以的中点为圆心，以为直径，作，当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的关联点在圆上（不包括点），故可以推导出弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），设的中点为，只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件，即可判断； （2）以为底边，构造等腰三角形，使得，分别以为圆心，以长为半径画圆，先判断出弦的关联点的轨迹是和优弧（除外），以为底边，画等腰三角形，使得，再分别以点为圆心，以长为半径画圆，当的长度从0到2变动时，可知弦的关联点的轨迹在上以及内部（弦除外），那么只要与阴影部分有交点，即可满足题意，从而推出当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值，接着求得答案； （3）为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点，当点是弦的关联点且关联值为时，意味着为临界弦长，点在以该弦为底、顶角的等腰三角形顶点为圆心的圆弧上，取与重合的临界情况，此时圆心到弦中点的距离可由勾股定理求得，而满足条件的点到的最大距离为圆心距与半径之和。最后结合弦长的取值范围即可确定的范围． 【小问1详解】 解：如图所示，以的中点为圆心，以为直径，作， 当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的的关联点在圆上（不包括点）， ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在变动时，弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），如下图阴影部分所示，设的中点为： ∴只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴只有落在上，均在外部， ∴点是弦的关联点，且该点与弦的关联值为； 【小问2详解】 解：当时， ，将代入，得，令，过点作轴的垂线交轴于点，如图 ∴ ， ∴， ∴ ， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A， ∴， 连接， ∵弦的长为2，的半径为2， ∴， ∴为等边三角形， ∴点可能在第一，或者第四象限， 如下图： 以为底边，构造顶角的等腰三角形，即 ，再分别以为圆心，以长为半径画圆，如图所示： ∵当在或的优弧时（不包括），都有 ， ∴或优弧上的点（不包括）都是弦的关联点， 以为底边，画顶角为的等腰三角形，即，分别以点为圆心，以长为半径画圆： ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在0到2变动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点， ∴弦的关联点的轨迹在上以及内部（包括边界，弦除外），如上图阴影部分所示， ∵直线上存在弦的关联点， ∴只要与阴影部分有交点，即可满足题意， ∴当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值， 如图，当与相切于，作 于，连接，延长交于点，设交轴于， ∵为等边三角形， ∴ ， ， ∵， ∴在上， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 不妨设， ∴ ， ∵与相切于点， ∴， ， ∵与平行， ∴ ， ∴ ， ∴，即， ∴； 同理可求得，当与相切时，； 故； 【小问3详解】 解：以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，如下图所示： ∴在优弧上所有的点（除外）都满足， 当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，即上图中阴影部分（不包含线段），当点与重合时，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点， 由关联值为知， 以为底边向上作顶角的等腰三角形， 则，于， ，， ， ， ， ，， 圆的半径． 当点与重合时，为中点，， 为中点，， ． 在中， ． 点在圆上运动， 的最大值为（当在延长线上时取得）， ． 圆半径为，，点在圆上， （直径）， 又， ． 随增大而增大， 当时，， 当时，． 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $