精品解析：北京市丰台区2025年中考一模考试数学试题(　

丰台区2025年九年级学业水平考试综合练习（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 2. 如图，直线 和 相交于点 ，直线，垂足为 ，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为（　　） A. B. 4 C. 4或 D. 16 5. 目前，我国已成为全球领先的人形机器人生产国．数据显示，2024年中国人形机器人市场规模约为元，到2026年人形机器人市场规模有望是2024年市场规模的4倍，达到 元，则 的值是（　　） A. B. C. D. 6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点 ； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 8. 如图， 是等边三角形且边长为1，点 ， ， 分别在边的延长线上，，连接 ，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与 的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：x2y-4y=____． 11. 方程的解为________． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________ 13. 为了解某校九年级名学生每周在校的综合体育活动时间（单位：小时），从中随机抽取了名学生进行调查，数据整理如下： 时间 /小时 学生人数 2 6 26 6 根据以上数据，估计该校九年级400名学生每周在校的综合体育活动时间不低于10小时的人数是___________． 14. 如图，内接于，若，则______． 15. 如图，在矩形 中，点 在 上，于点 ．若，则 的长为___________． 16. 某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形 中，， 为 中点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若 ，，求的长． 21. 鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图 ．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当 时，对于 的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出 的取值范围． 23. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1） 的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为 ，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 24. 如图， ， 是 的直径，点 在 上，连接 交 于点 ，连接 交 于点． （1）求证：； （2）过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）若对于，有，求抛物线的对称轴； （2）若对于，都有，求的取值范围． 26. 如图，在 中，， 为 延长线上一点，过点 作射线为射线上一点（不与点 重合），连接．将线段绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． （1）求证：； （2）连接 ，作，交射线于点 ．连接交 于点，若，用等式表示线段与 的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中， 的半径为 ．对于 的弦 和平面内的点 ，给出如下定义：若弦 上存在点 ，使得点 绕点 旋转后得到的对应点在 上，则称点 是弦 的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦 的“伴随点”是___________； ②若点 是弦 的“伴随点”，则点 的横坐标的最小值为___________； （2）已知直线与坐标轴交于点 和点 ，点 是线段 上任意一点，且存在 的弦，使得点 是弦 的“伴随点”．直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台区2025年九年级学业水平考试综合练习（一） 数学试卷 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握立体图形的特点是关键． 根据图示，结合立体图形的特点即可求解． 【详解】解：根据图示，该几何体是圆锥， 故选：D ． 2. 如图，直线 和 相交于点 ，直线，垂足为 ，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角和垂线的定义．直接利用对顶角的定义结合垂线的定义进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上实数大小的比较，实数的运算法则，绝对值的意义．由图得，利用实数加法和乘法运算法则及绝对值的意义即可完成． 【详解】解:由图知：， ∴，，，， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为（　　） A. B. 4 C. 4或 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， ∴实数 的值为 或， 故选：C ． 5. 目前，我国已成为全球领先的人形机器人生产国．数据显示，2024年中国人形机器人市场规模约为元，到2026年人形机器人市场规模有望是2024年市场规模的4倍，达到 元，则 的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，科学记数法的表示方法，掌握乘方计算，科学记数法的表示方法是关键． 根据题意，运用乘方计算，科学记数法的表示方法（）求解即可． 【详解】解：2024年中国人形机器人市场规模约为元，到2026年人形机器人市场规模有望是2024年市场规模的4倍， ∴， 故选：C ． 6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】 如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 7. 下面是“作已知角的平分线”的尺规作图方法． （1）如图，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点； （3）作射线，则射线就是所求作的射线． 上述方法通过判定得到，从而得到是的角平分线，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据作图过程得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：根据作图过程得， ， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故选：A． 8. 如图， 是等边三角形且边长为1，点 ， ， 分别在边的延长线上，，连接 ，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与 的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形的外角性质求得，可证明；利用勾股定理求得，求得；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：∵ 是等边三角形且边长为1， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 设 的外心为 ， ∵ 是等边三角形， ∴点 也是 的内心，作于点，于点 ， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理，则， ∴的外心与 的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 10. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可判断得出结论． 【详解】解： 去分母得， 移项、合并同类项得 ， 检验：当 时，， ∴ 是原分式方程的解， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意，和都满足解析式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得：， 故答案为： ． 13. 为了解某校九年级名学生每周在校的综合体育活动时间（单位：小时），从中随机抽取了名学生进行调查，数据整理如下： 时间/小时 学生人数 2 6 26 6 根据以上数据，估计该校九年级400名学生每周在校的综合体育活动时间不低于10小时的人数是___________． 【答案】320 【解析】 【分析】本题考查了样本百分比估算总体数量，掌握由样本百分比估算总体的计算方法是关键． 根据表格信息得到样本中体育活动时间不低于10小时的人数，得到对应的百分比，结合样本百分比估算总体数量的计算方法即可求解． 【详解】解：（人）， 故答案为：320 ． 14. 如图，内接于，若，则______． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答． 【详解】， ， ， 由圆周角定理得，， 故答案为． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 15. 如图，在矩形 中，点 在 上，于点 ．若，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；由勾股定理得出 的值，证明，求出，再证明，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 【答案】 ①. 16 ②. 58 【解析】 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，进行求解即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键． 根据分式的性质化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在四边形 中，， 为 中点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若 ，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， 为 中点， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定及直角三角形相关知识，解题关键是利用直角三角形斜边中线定理证边相等以判定平行四边形，借助三角函数与勾股定理求边长． （1）由， 是 中点，根据直角三角形斜边中线定理得 ，再结合 ，从而得出 ，从而满足平行四边形判定条件解答即可． （2）由（1）知四边形是平行四边形，可得．在中，已知，利用正切函数的定义求出 的长，再根据勾股定理求出$BD$的长，最后由，求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为平行四边形， ， ∴． 在中，，， 则， 解得． ∵， 把，代入可得 ． ∴． 21. 鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图 ．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式混合运算的实际应用，由已知可设，，，进而根据得，即得 ，即可得，，，再根据图形列式计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， 可设，，， 由图可得，， ∴， 解得 ， ∴，，， ∴这个面的面积． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当 时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，图象法确定不等式的解集是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， ∴当时，对于函数，则，对于函数，则， ∴当 时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 如图所示， ∴， ∴ 的取值范围为． 23. 某校九年级开展了数学实践成果的评选活动，共有10件作品参加评选．对于参评的每件作品，由甲、乙两位评委独立评分（百分制），取两位评委评分的平均数作为该件作品的初始得分．对这10件作品的评委评分及初始得分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a.10件作品的得分情况： 序号 评委甲评分 评委乙评分 初始得分 1 70 82 76 2 80 84 3 61 76 68.5 4 78 84 81 5 71 85 78 6 81 83 82 7 84 86 85 8 68 74 71 9 66 77 71.5 10 64 82 73 B．分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为： 72.3 81.3 C.10件作品初始得分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.8 82 根据以上信息，回答下列问题： （1） 的值为___________，的值为___________； （2）设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为 ，记所有满足的作品的初始得分的平均数为，则___________（填“>”“=”或“<”）； （3）分别记甲、乙两位评委对这10件作品评分的方差为，则___________（填“>”“=”或“<”）；若对于这10件作品中的某件作品，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，且以的值作为这件作品的标准化得分，对这10件作品按照其标准化得分由高到低进行排名，则排名第一名、第二名、第三名的作品的序号依次是___________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，中位数，方差，新定义的计算，掌握其计算方法是关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法求解即可； （2）根据方差的计算方法求解即可； （3）根据题意，分别算出各件作品的标准化分数进行比较即可． 【小问1详解】 解：， 10件作品初始得分从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设甲、乙评委对同一件作品的评分之差为 ， ∴，，，，，，，，，， ∴的有，，，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：甲、乙两位评委对这10件作品评分的平均数为， ∴ ， ， ∵， ∴， 第1件作品的标准化得分为：， 第2件作品的标准化得分为：， 第3件作品的标准化得分为：， 第4件作品的标准化得分为：， 第5件作品的标准化得分为：， 第6件作品的标准化得分为：， 第7件作品的标准化得分为：， 第8件作品的标准化得分为：， 第9件作品的标准化得分为：， 第10件作品的标准化得分为：， ∴第一名的是7，第二名的是2，第三名的是6， 故答案为：． 24. 如图， ， 是 的直径，点 在 上，连接 交 于点 ，连接 交 于点． （1）求证：； （2）过点 作 的切线交 的延长线于点 ．若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）证明，利用垂径定理即可证明； （2）设，则，，证明，推出，，求得，，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴设，则，， ∵ 是 的切线， 是 的直径， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， ∵， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）若对于，有，求抛物线的对称轴； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线 ； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等． （1）利用轴对称的性质求解即可； （2）直接代入得到整理得，推出或，再分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，有， ∴这两点关于 轴对称，抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵，，又， ∴， 整理得， ∴或， ①若，即， ∵， ∴且， ∴且， ∴； ②若， 同理且， ∴且， ∴； 综上，或． 26. 如图，在 中，， 为 延长线上一点，过点 作射线为射线上一点（不与点 重合），连接．将线段绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． （1）求证：； （2）连接 ，作，交射线于点 ．连接交 于点，若，用等式表示线段与 的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵将线段绕点 逆时针旋转 得到线段 ， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于点 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质求得，，证明，求得，再根据等腰三角形的性质即可证明； （2）先求得，作交于点 ，证明，，再证明是的中位线，据此即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，旋转的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中， 的半径为 ．对于 的弦 和平面内的点 ，给出如下定义：若弦 上存在点，使得点 绕点旋转后得到的对应点在 上，则称点 是弦 的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦 的“伴随点”是___________； ②若点 是弦 的“伴随点”，则点 的横坐标的最小值为___________； （2）已知直线与坐标轴交于点 和点 ，点 是线段 上任意一点，且存在 的弦，使得点 是弦 的“伴随点”．直接写出 的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2）或. 【解析】 【分析】（1）①如图，以为圆心， 为半径画圆，以为圆心， 为半径画圆，作两圆的切线，，结合弦 上存在点，使得点 绕点旋转后得到的对应点在 上，可得 在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界） 再进一步分析即可 ②由点 是弦 的“伴随点”，可得： 在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），结合图形可得点 的横坐标的最小值为： ； （2）如图，，把 分别绕旋转得到与，连接，，，此时 在上， 在上，且， 作的切线，，外切于 ，连接，交切线于，可得，，此时，结合（1）的结论可得：弦 的“伴随点”在以 为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）；再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：①如图，以为圆心， 为半径画圆，以为圆心， 为半径画圆，作两圆的切线，， ∵弦 上存在点，使得点 绕点旋转后得到的对应点在 上， ∴ 在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界） ∴是弦 的“伴随点”，不是弦 的“伴随点”； 如图，， ∴在直线上，而直线垂直 ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在 上， ∴是弦 的“伴随点”， ②∵点 是弦 的“伴随点”， ∴由①可得： 在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， 结合图形可得点 的横坐标的最小值为： ； 【小问2详解】 解：如图，， 把 分别绕旋转得到与，连接，，， 此时 在上， 在上，且， 作的切线，，外切于 ，连接，交切线于， ∴，， 此时， 结合（1）的结论可得： 弦 的“伴随点”在以 为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）； 如图， ∵直线与坐标轴交于点 和点 ，点 是线段 上任意一点，且存在 的弦，使得点 是弦 的“伴随点”． ∴ 一定在以 为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）； ∴，或， 当直线切小圆于点时，, ，都为等腰直角三角形， ∴， 当时，同理可得：， 综上：此时 的范围为：或. 【点睛】本题考查的是新定义的含义，一次函数的图象与性质，圆的基本性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解新定义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $