精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高一下学期第二次定时作业数学试题

重庆外国语学校 2025-2026学年度（下）高2028届第2次定时作业 数学 （满分150分，120分钟完成） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知平面向量，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 6. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，且向量满足，则（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. D. 向量在方向上的投影向量的长度为 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边上，且的重心在上，又，设，（为相应三角形的面积），则以下正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________． 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 14. 如图，在中，点O是上的一点，且，过点O的直线分别交直线于不同的两点．设，，则______． 四､解答题：本题共：5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 设，满足对，恒成立，且能取到等号，且图象上相邻两个零点间的距离为，将的图象向左平移个单位长度以后的新函数为奇函数． （1）求的表达式及单调区间； （2）若，求在上的值域． 16. （1）已知平面向量，，且与垂直，求的夹角的正切值． （2）如图，在中，､分别为､的中点，与相交于点． （i）若，，求的最小值； （ii），，，求的余弦值． 17. 在中，角所对的边分别为． （1）若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； （2）若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 18. 已知为的三个内角的对边，且． （1）当为锐角三角形时，求的取值范围； （2）为上一点． （i）若，，求面积的最大值； （ii）若，且，求的值． 19. 记的内角的对边分别为．若 （1）若，求； （2）求证： （3）当取最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校 2025-2026学年度（下）高2028届第2次定时作业 数学 （满分150分，120分钟完成） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 2. 已知平面向量，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以结合投影向量的定义将其分为投影与单位向量来更好理解与求解. 【详解】由于， 由在方向上的投影向量 故选:C. 3. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正八边形的结构特征，结合向量数量积的几何意义及线性运算逐项分析判断. 【详解】在正八边形中，线段被点平分，， ，在中，， 对于A，当点在线段上时，在上的投影向量的模最大，而， 因此的最大值为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，在中，， ，C错误； 对于D，，因此，D错误. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知化简求得，利用二倍角公式进行弦化切求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 显然， ， 于是. 5. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 6. 已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，由两边平方得，由基本不等式求出. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得，可得，即， 所以， 又，则， 是的中点，，故， 两边平方得， ，故， 其中，故（当且仅当时符号成立）， 解得． 故选：C 7. 已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围. 【详解】 ， 所以当时，取到最大值， 解得，所以. 令， 在区间上有2个零点， 即在区间上有2个零点， ，解得. 故选：D 8. 已知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得出，根据为锐角可求得角的取值范围，求得，结合正切函数的基本性质可求得结果. 【详解】解：由，知， ，，， 因为、，则，， 因为正弦函数在上单调递增，所以，，则， 因为为锐角三角形，则，可得，则， ， 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，且向量满足，则（ ） A. B. 向量与的夹角为 C. D. 向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【解析】 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，由余弦定理可证D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以， 为钝角三角形，A正确； 选项B：如图所示， 若有两解，则，解得，B错误； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，则， 又因为在单调递增，所以，C正确； 选项D：若，， 由余弦定理，， 所以，顶角为的等腰三角形为等边三角形，D正确. 故选：ACD 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D，E分别在边上，且的重心在上，又，设，（为相应三角形的面积），则以下正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设的重心为，由题意可知，三点共线，，化简判断A；对于B，，，结合，判断B；对于C，D，借助向量表示得，化简，判断C，D. 【详解】 对于A选项，设的重心为，由题意可知，三点共线， 所以存在使得， 因为且， 所以，化简得，故A正确； 对于B选项，，， 又因为，即， 所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，D，因为，所以，即， 又因为， ， ， 所以， 所以，故D正确，C错误， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：对于C，D选项，利用空间向量，得，即，根据数量积即可得到答案. 三､填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解. 【详解】向量，，且与的夹角为钝角，则（且排除反向共线情况）. 当时，则，解得. 当当反向共线时，，解得. 综上所得，求实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 14. 如图，在中，点O是上的一点，且，过点O的直线分别交直线于不同的两点．设，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、三点共线的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以. 四､解答题：本题共：5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 15. 设，满足对，恒成立，且能取到等号，且图象上相邻两个零点间的距离为，将的图象向左平移个单位长度以后的新函数为奇函数． （1）求的表达式及单调区间； （2）若，求在上的值域． 【答案】（1）；单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据最值可得；由相邻零点间距离可得最小正周期，进而求得；根据三角函数平移变换和奇偶性可构造方程求得，从而得到；利用整体代换的方法可求得单调区间； （2）根据两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到，采用整体对应的方法，结合的性质可求得结果. 【小问1详解】 对，恒成立，且能取到等号，，； 图象上相邻两个零点间的距离为，最小正周期， 即，； 的图象向左平移个单位长度得到新函数为奇函数， ，解得：， ，，； 令，解得：， 令，解得：， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得：， ， 当时，， 在上单调递增， 又，， 即在上的值域为. 16. （1）已知平面向量，，且与垂直，求的夹角的正切值． （2）如图，在中，､分别为､的中点，与相交于点． （i）若，，求的最小值； （ii），，，求的余弦值． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）通过向量垂直的性质建立方程，先求出两向量的数量积，再利用数量积的定义和同角三角函数关系，依次求出夹角的余弦值、正弦值，最终得到夹角的正切值； （2）（i）利用三角形重心的向量性质建立系数关系，再结合均值不等式求目标式的最值，核心是将向量问题转化为代数不等式问题； （ii）通过向量法表示中线，计算其模长与数量积，再利用向量夹角公式求解角度余弦值． 【详解】（1）由得， 由与垂直，得， 展开得，代入，，得， 解得， 设，的夹角为，则， 又，故， 因此． （2）（i）已知、分别为、的中点， 故为的重心，因此， 又，由平面向量基本定理得：， 两式相加得：，且， 由均值不等式：， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． （ii）由题设，，，则， 又，， ， ， ， 设，则． 17. 在中，角所对的边分别为． （1）若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； （2）若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 【答案】（1）当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形个数判断法则判断即可. （2）先根据题目条件及正弦定理求出，再利用正弦定理将边全部用角来表示，最后将周长用的三角函数来表示，结合锐角三角形求出周长的取值范围. 【小问1详解】 如图所示，作边上的高. ，. 当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. 【小问2详解】 由正弦定理，得. 又，，即，. 又因为为锐角三角形，. 设的周长为，则 为锐角三角形，，. ，，. 故周长的取值范围为. 18. 已知为的三个内角的对边，且． （1）当为锐角三角形时，求的取值范围； （2）为上一点． （i）若，，求面积的最大值； （ii）若，且，求的值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理与三角恒等变换求出，再利用锐角三角形内角范围和正弦定理将边比转化为三角函数求值域． （2）（i）利用向量线性表示，结合模长公式与基本不等式求出的最大值，进而得到面积最大值． （ii）利用角平分线的面积法建立与的关系，再通过余弦定理和整体代换，发现待求式的分子与分母成倍数关系，从而直接约分化简求出定值． 【小问1详解】 已知，由正弦定理可得， 又，代入化简得， ，两边同除以可得，， ，． 在锐角中，，故，且，即： ， 由正弦定理，，展开： ， ，则，． 【小问2详解】 （i）由，用向量表示，则， ，， 由基本不等式可得，则， 的面积，故最大值为． （ii）已知，说明是的角平分线， 因为，所以， 利用三角形面积关系，可得； 代入已知数值，可得， 即，所以， ，① 由余弦定理，即，， 将代入上式可得，② 化简代数式， 代入式②，得值为． 19. 记的内角的对边分别为．若 （1）若，求； （2）求证： （3）当取最小值时，求的值． 【答案】（1） （2） 由已知等式可知：，因为，所以， 由 ， 因为，且， 所以，所以由； （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、两角差的余弦公式，结合正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据两角和差的正弦公式、两角差的余弦公式，结合正弦余弦的二倍角公式、同角的三角函数关系式中的商关系进行运算证明即可； （3）根据正弦定理、余弦二倍角公式，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以为锐角，且， 由 ， 因为为锐角，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，所以有， 显然为锐角，为钝角， 根据正弦定理，可得 ， 当且仅当时取等号， 当时， 有最小值，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $