福建省龙岩市上杭县第三中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

**基本信息** 八年级数学期中卷以高空抛物、秦九韶公式等真实情境与文化素材为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查二次根式、勾股定理、特殊四边形等知识，体现数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式意义、勾股定理、矩形性质|基础题如第1题考查二次根式条件；能力题如第10题动态几何求PQ最小值，发展空间观念| |填空题|6/24|最简二次根式、多边形内角和、平面镶嵌|概念辨析如第11题最简二次根式；实际应用如第15题超市门铃距离计算，培养模型意识| |解答题|9/86|菱形证明、秦九韶公式应用、正方形折叠探究|综合题如19题菱形判定；创新题如25题折叠三等分点问题，提升推理能力与创新意识|

2025-2026学年第二学期半期考八年级数学参考答案 一、选择题：本大题共有10小题，每小题4分，共40分. 1．C；2．D；3．A；4. D；5．A；6．C；7．B；8．A；9．B；10．C 二、填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分. 11．1或5或7等（答案不唯一）； 12．6 ； 13． ； 14．2 ； 15．5； 16．4或3或． 三、解答题：本大题共有9题，共86分． 说明：不同解法，说理正确酌情给分 17.（8分）计算：（1） （2）= 18.（8分）解：原式== 当时，原式= 19.（8分）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥CF，AO = CO . ∴∠1 = ∠2 . 又∵∠AOE = ∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA） . ∴EO = FO . ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又 ∵AC ⊥ EF， ∴四边形 AFCE 是菱形. 20.（8分）解：AC ⊥ AD。 理由：∵ AC ⊥ BC，∴∠ACB = 90°. 在Rt△ABC 中， AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16. 所以 AC = 4. 在△ACD 中， AC2 + AD2 =42 + ()2=， CD2 =()2=， 所以 AC2 + AD2 = CD2. 因此△ACD 是直角三角形，即 AC ⊥ AD. 21.（8分）解：∵五边形ABCDE的内角都相等 ∴∠DEA = ∠EDC = ∠DCB = . 在△DEA 中，∠DEA + ∠1 + ∠2 = 180°. ∵∠1 = ∠2，∴∠1 = 36°. 在△DCB 中，∠DCB + ∠3 + ∠4 = 180°. ∵∠3 = ∠4，∴∠3 = 36°. ∴∠ADB = ∠EDC-∠1-∠3 = 108°-36°-36°= 36°，即 x = 36. 22.（10分）【第（1）题5分，第（2）小题前三空每空1分，最后一空2分。】 解：（1）根据作图方法，利用尺规作图，补全图形如图1所示： （2）：①∠BAD＝∠CAD；②内错角相等，两直线平行； ③一组邻边相等的平行四边形是菱形； （3）△MON是直角三角形，理由如下： 如图所示：∵四边形OPHQ是正方形，∴∠MON＝90°， ∴△MON一定是一个直角三角形．故答案为：④直角． 23.（4+6分）解：（1）小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，小思制作的盒子不能装下这种牙膏，理由如下： 要把牙膏放入牙膏盒内，则牙膏盒底面对角线长应大于或等于， ∵，，， ∴小明和小华制作的盒子能装下这种牙膏，小思制作的盒子不能装下这种牙膏； （2）小明的制作更合理，理由如下： 设牙膏盒的高度为xcm， 则小明制作的牙膏盒表面积为：， 小华制作的牙膏盒表面积为：， ∵， ∴小明制作的牙膏盒材料更少， 又∵小明制作的牙膏盒体积为：， 小华制作的牙膏盒体积为：， ∴小明制作的牙膏盒体积更小，更方便取放牙膏， 综上，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，小明的制作更合理． 24.（4+4+4分）解：（1）DE∥BC，DE=BC 证明：在△ADE和△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB， 又∵AD=BD，∴CF=BD，∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF∥BC，DF=BC 又∵DE=DF．∴DE∥BC且DE=BC． （2）如图2，延长GE、FD交于点H， ∵E为AD中点，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°， 在△AEG和△DEH中 ∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=2，EG=EH， ∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=2+3=5； （3）如图3，过点D作AB平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，（或延长GE到点H使GE=EH，）图3 同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF， ∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=， ∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°， ∴∠HDP=45°，∴△PDH为等腰直角三角形， ∴PD=PH=3，∴PF=PD+DF=3+2=5， 在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5， ∴HF= = ∴GF=． 25．（4+6+4分）解：（1）① 由折叠性质：折叠后，，正方形中， ∴，即， ∴， ② 由折叠得：，，且题目给出三点共线， ∴，即：； （2）设正方形边长为，则， 设，则， 由（）得， 在中，， 由勾股定理： ， 代入得：， 展开化简：， 整理得，解得，即， ∴是三等分点，小海说法正确； （3）设正方形边长为， ∵与重合，得到折痕，∴为中位线，，， 在和中， ， ∴，∴， 设，则， 在中，，， 由勾股定理：， 解得：，即， ∴， ∵，∴． 25－26学年第二学期八年级半期数学答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭三中2025-2026学年第二学期半期教学质量检查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 式子有意义，则a的取值范围是（ ）. A. a≥3 B. a≥﹣3 C.a≤3 D. a≤﹣3 2. 下列各组中的三条线段，不能构成直角三角形的是（ ）. A. 9，40，41 B. ，4，5 C. ，1， D. 40，50，60 3．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从a(m)高空抛物到落地所需时间为t1，从3a(m)高空抛物到落地所需时间为t2，则的值为（   ）. A． B． C． D． 4. 如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，若，，则DC长为（　 　）. A. B. 5 C. 3 D. 4第5题图 第4题图 5. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ）. A. －1 B. －2 C. ＋1 D. 1－ 6.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为.已知△ABC的三边长分别为2，，4；则△ABC的面积是（ ）. A. B. 3 C. D. 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）. A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 第7题图 第10题图 第8题图 8.如图，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形。当以黄金矩形ABCD的宽AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF 时，若AF＝－1，则AD的长为（　　）. A. 2 B. 4 C. 2－2 D. 3＋ 9.观察下组数据，寻找规律：0、、2、、、……那么第10个数据是（ ） A. B. C. 7 D. 10.已知正方形ABCD边长为12，BE=CF，AE与BF交于点P，Q为EF中点，则PQ最小值是（ ）. A.3 B.4 C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4，共24分） 11．若是最简二次根式，则正整数n的值可以是 （写出一个符合条件的值即可）． 12. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 13. 我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数． 14．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和 个正方形． 15. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门口4m及4m以内时（图②中BD），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为 ． 第15题图 第16题图 16. 如图，在矩形中，，，E为的中点，点P从点A出发沿运动，连接BE，EP，BP，当为直角三角形时，EP的长为 ． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17.（8分）计算：（1） （2） 18.（8分）先化简，再求值：，其中. 19.（8分）如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 20.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB = 5，BC = 3，AD =，DC = .如果 AC ⊥ BC，判断 AC 与 AD 是否也垂直，并说明理由. 21.（8分）如图，五边形ABCDE的内角都相等， 且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求 x 的值. 22.（10分）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：△ABC； 求作：菱形AEDF（点E在AB上，点D在BC上，点F在AC上）； 作法：①作∠BAC的角平分线，交BC于点D； ②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F； ③连接DE、DF．所以四边形AEDF为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明： ∵AD平分∠BAC， ∴①　 　 ∵EF是线段AD的垂直平分线， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴∠BAD＝∠ADE，∠CAD＝∠ADF， ∴∠CAD＝∠ADE，∠BAD＝∠ADF， ∴ED∥AC，DF∥AB．（②　 　 ）（填推理的依据） ∴四边形AEDF为平行四边形． ∵EA＝ED， ∴四边形AEDF为菱形．（ ③　 　 ）（填推理的依据） （3）小张采用小明设计的方法，作出了△MON的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么△MON一定是一个④　 　 三角形（填形状）． 23.（10分）某种牙膏上部圆的直径为2.6cm，下部底边可近似看成一条长为4cm的线段，如图所示，现要制作长方体的牙膏盒．在手工课上，小思、小明和小华制作的牙膏盒的高度都一样，且高度符合要求．其中小思和小明制作的牙膏盒底面是正方形，小华制作的牙膏盒底面是长方形，他们制作的底面图形边长数据如表： 制作者 小思 小明 小华 牙膏盒底面形状 正方形 正方形 长方形 边 长 2cm 3cm 长：3.6cm 宽：2.7cm （1）这位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？请说明理由； （2）在（）的条件下，若你是牙膏厂的厂长，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更合理？并说明理由． 24.（12分）（1）【证法回顾】证明：三角形中位线定理． 已知：如图1，DE是△ABC的中位线． 求证： ． 证明：添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE （D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF； 请继续完成证明过程:图3 （2）【问题解决】 如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长． （3）【拓展研究】 如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长. 25．（14分）综合与实践 【问题情境】在书法课上，为了实现图1的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索． 【操作探索】 操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点； 操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕． 【猜想验证】 (1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且① °； ②线段之间的数量关系为： ． (2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由． 【问题探究】 (3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案． 25－26学年第二学期八年级半期数学试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $