八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 四边形～第3章 一次函数）

八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 四边形~第3章 一次函数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·期末）从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数（，为常数）的图象经过点，且函数值随增大而减小，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的对角线与相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边的中点得到四边形是______． 12．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围______________． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点，，且，则的长为____． 15．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 16．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 19．（8分）（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 20．（8分）（25-26八年级上·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 21．（10分）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 22．（10分）（25-26九年级上·吉林松原·期末）【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； 【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； 【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 23．（12分）（25-26八年级上·江苏苏州·期末）机器人“小智”和“小安”在一条笔直的道路上进行行走测试，“小智”以米／分钟的速度由甲地匀速前往乙地；“小安”由乙地匀速前往甲地，先以米／分钟的速度匀速行走了1分钟，因故障停止行走，经技术人员排除故障后，降低速度继续匀速前往甲地．已知甲、乙两地相距米，两机器人同时出发且同时到达各自的目的地．两个机器人之间的距离（米）关于测试时间（分钟）的函数关系如下图所示，请解答下列问题： (1)“小智”的初始速度为________米／分钟，“小安”的初始速度为________米／分钟； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)求当为何值时，两机器人之间的距离恰好为米． 24．（12分）（25-26八年级上·重庆北碚·月考）如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， (1)求直线的解析表达式； (2)如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． (3)如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了剪纸问题、涉及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 根据翻折变换的性质及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：如图， 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即菱形， ∴菱形里只要有一个角是就是正方形． 展开四边形后的角为：，即． 故选：C． 2．（25-26七年级上·重庆·期末）从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论． 1． 利用结论：三角形个数=边数； 2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数； 3． 解得边数． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形． 已知分成2026个三角形，则： 解得： 所以这个多边形的边数是2028． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 4．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理可证四边形是矩形，再根据对角线互相垂直的四边形面积可求得的值，最后根据矩形的面积公式即可求解； 【详解】解：点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，且， 同理可证，，且， ，且， 四边形为平行四边形， 点，分别为边，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形和勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 7．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数（，为常数）的图象经过点，且函数值随增大而减小，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据函数值随增大而减小，得到，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数（，为常数）的函数值随增大而减小， ∴， A、当时，，而，故点的坐标不可能为； B、当时，，，故点的坐标可能为； C、当时，，而，故点的坐标不可能为； D、当时，，而，故点的坐标不可能为； 故选：B． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图，过点作于于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键，同时也要注意下标对应的关系． 根据直线解析式求出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的对角线与相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边的中点得到四边形是______． 【答案】正方形 【分析】本题考查的是中点四边形，正方形的判定.根据四边形对角线互相垂直，运用三角形中位线平行于第三边证明四个角都是直角，判断是矩形． 【详解】解：如图：∵E、F、G、H分别为各边中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 12．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围______________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可得，解不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数不经过第一象限， ∴， 解得． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可知，直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如下图所示，连接 菱形的周长为， ， 菱形的面积为， ， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点，，且，则的长为____． 【答案】7或13 【分析】利用平行四边形的性质得到，，，根据角平分线的定义，结合平行线的性质得到，由等角对等边得到，同理得出，分两种不同位置情况计算的长即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴ 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 15．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 【答案】3 【分析】根据题意，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：直线直线，则可设直线的解析式为， 又， ，解得， 即直线的解析式为， 又，四边形是长方形， 当时，， ， 又， ． 16．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 18．（6分）（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 19．（8分）（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)点是“完美点”，理由见解析 【分析】（1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点B在第四象限内，，求出的值，再代入求出点C的坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； （2）解：点C是“完美点”；理由如下： ∵点的长距为4，且点B在第四象限内， ∴，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴点C的坐标为，即， ∴点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为， ∴点是“完美点”． 20．（8分）（25-26八年级上·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）先求出点B和点C的坐标，然后分三种情况求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 21．（10分）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 22．（10分）（25-26九年级上·吉林松原·期末）【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； 【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； 【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】操作感知：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；探究发现：见解析；探究应用：． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质． 操作感知：根据菱形的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形作答即可； 根据菱形的性质得到，根据等边对等角得到，即，由旋转，得，则，根据，得到，则，即，进而证明，即可得到四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形是菱形； 探究应用：证明四边形是平行四边形，作交于H，则四边形与四边形的面积比，根据菱形的性质得到，，则，根据菱形的性质得到，即可求出的值． 【详解】解：操作感知：∵菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 探究发现：证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 探究应用：∵，， ∴四边形是平行四边形， 作交于H， 则，， 即四边形与四边形的面积比， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形与四边形的面积比． 故答案为：． 23．（12分）（25-26八年级上·江苏苏州·期末）机器人“小智”和“小安”在一条笔直的道路上进行行走测试，“小智”以米／分钟的速度由甲地匀速前往乙地；“小安”由乙地匀速前往甲地，先以米／分钟的速度匀速行走了1分钟，因故障停止行走，经技术人员排除故障后，降低速度继续匀速前往甲地．已知甲、乙两地相距米，两机器人同时出发且同时到达各自的目的地．两个机器人之间的距离（米）关于测试时间（分钟）的函数关系如下图所示，请解答下列问题： (1)“小智”的初始速度为________米／分钟，“小安”的初始速度为________米／分钟； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)求当为何值时，两机器人之间的距离恰好为米． 【答案】(1)； (2)线段所表示的与之间的函数表达式为（） (3)当或时，两机器人之间的距离恰好为米 【分析】本题考查一次函数中的行程问题，准确理解题意是解题的关键． （1）由“小智”甲地匀速前往乙地，可求出的值，再结合第一分钟内的路程情况，得出“小安”在这一分钟的路程，即可求出； （2）根据行程图中的几何意义，可得出、段的值，由点、可求出线段、线段的函数表达式，求出点对应的值，可得到线段函数表达式中的自变量取值范围； （3）根据相遇点，得出相距米时的时间差，可得出对应的时间点． 【详解】（1）解：∵全程“小智”以米／分钟的速度由甲地匀速前往乙地， ∴米／分钟， 分钟时，二者距离减少70米， 故“小安”在这一分钟的路程为米， 故米／分钟， 故答案为：；． （2）解：令线段所表示的与之间的函数表达式为， 在分钟，可知二者速度和为米／分钟， 故在阶段二者速度和也为米／分钟， 故，将点代入， 得，得， 故线段所表示的与之间的函数表达式为， 令线段所表示的与之间的函数表达式为， 线段阶段，仅有“小智”运动， 故，结合点，代入， 得，解得， 故线段所表示的与之间的函数表达式为， 与， 得， 解出， 故线段所表示的与之间的函数表达式为（）． （3）解：第5分钟时，两机器人相遇，二者速度和为米／分钟， 故相距米时，时间差为分钟， ∴，， 故当或时，两机器人之间的距离恰好为米． 24．（12分）（25-26八年级上·重庆北碚·月考）如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， (1)求直线的解析表达式； (2)如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． (3)如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】（1）先根据直线求出A、B的坐标，进而求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移规律求出的解析表达式，然后联立和的解析表达式可求出F的坐标，联立和的解析表达式可求出D的坐标，设直线与y轴交于点G，求出点G的坐标，根据，可求出点P的纵坐标，进而求出横坐标，即可求解； （3）分两种情况讨论：当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形，则，根据等角对等边可证明，证明，得出，，则，，联立解方程组，可求出H的坐标，根据待定系数法求出直线解析表达式，联立直线和直线解析表达式可求出点M的坐标；当M在直线左侧时，类似求解即可． 【详解】（1）解∶对于直线：，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线：与轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析表达式为； （2）解：∵直线向左平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， 设直线与y轴交于点G， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（2）知：直线的解析表达式为， 当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 设直线解析表达式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为； 当M在直线右侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， 同理可求， 直线解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为， 综上，M的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $