八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷（新教材沪科版，举一反三，测试范围：第16章 二次根式～第19章 四边形）

八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用二次根式的性质化简，去绝对值后得到最简结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数非负，分母不为0， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴，， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图是五边形的三个外角，若则=（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案. 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，用斜边长表示出三个阴影三角形的面积，再利用勾股定理将阴影部分面积转化为与有关的式子，最后代入计算即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴，且， ∴，即， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵在 中，， ∴， ∵， ∴． 5．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 7．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 8．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理可证四边形是矩形，再根据对角线互相垂直的四边形面积可求得的值，最后根据矩形的面积公式即可求解； 【详解】解：点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，且， 同理可证，，且， ，且， 四边形为平行四边形， 点，分别为边，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ． 故选：A． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含角的直角三角形和勾股定理求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 由平移的性质可知：，， 四边形为平行四边形， 点A对应直尺的刻度为14，点对应直尺的刻度为0， ， ． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质成为解题的关键． 如图，过点作于于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南湘西·月考）已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得和． 又，代入得， 解得．则． 所以， 即， 解得． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江西上饶·月考）在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 【答案】2或14或 【分析】本题根据已知条件分情况讨论角的位置，排除的情况，得到和两种情况，再结合高的位置分类，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算的长． 【详解】解：分情况讨论如下： 情况1：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； 情况2：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形， 同理可求， ， ， 在中，由勾股定理得，， 综上：边的长为2或14或． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可知，直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如下图所示，连接 菱形的周长为， ， 菱形的面积为， ， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 16．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到答案，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 【答案】（1）；（2）选： ；选：15；选：4（任选其一即可） 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式加减运算，二次根式性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ， ， ； ； ． 18．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 19．（8分）（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 20．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 21．（10分）（25-26九年级上·全国·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率． (2)经调查发现，1条生产线最大产能是万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)应该再增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握通过等量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设前三季度生产量的平均增长率为x，用含有x的式子将第三季度的生产量表示出来，列出对应方程，即可求解． （2）设再增加y条生产线，用含有y的式子将每条生产线的最大产能表示出来，利用总生产量列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：前三季度生产量的平均增长率为． （2）解：设再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 需要增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应该再增加4条生产线． 22．（10分）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明； （2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O， ∴点A和点C关于所在直线对称， ∴； ∵，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与线段相等的线段有，，，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 23．（12分）（25-26九年级上·吉林松原·期末）【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； 【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； 【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】操作感知：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；探究发现：见解析；探究应用：． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质． 操作感知：根据菱形的性质得到，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形作答即可； 根据菱形的性质得到，根据等边对等角得到，即，由旋转，得，则，根据，得到，则，即，进而证明，即可得到四边形是平行四边形，根据即可证明平行四边形是菱形； 探究应用：证明四边形是平行四边形，作交于H，则四边形与四边形的面积比，根据菱形的性质得到，，则，根据菱形的性质得到，即可求出的值． 【详解】解：操作感知：∵菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 探究发现：证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 探究应用：∵，， ∴四边形是平行四边形， 作交于H， 则，， 即四边形与四边形的面积比， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形与四边形的面积比． 故答案为：． 24．（12分）（25-26八年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第16章 二次根式~第19章 四边形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）化简成最简二次根式后等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图是五边形的三个外角，若则=（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，斜边的长为，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 8．（25-26九年级上·河南·月考）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南湘西·月考）已知，，则与的关系为________． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 13．（25-26八年级上·江西上饶·月考）在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 16．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 18．（6分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 19．（8分）（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 20．（8分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 21．（10分）（25-26九年级上·全国·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率． (2)经调查发现，1条生产线最大产能是万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 22．（10分）四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 23．（12分）（25-26九年级上·吉林松原·期末）【操作感知】如图①，在菱形中，点为对角线和的交点．保持菱形不动，将绕点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别为点、、，当时，边分别与边、交于点、点，则四边形为平行四边形，其理论依据为______； 【探究发现】如图②，将图①中绕点按顺时针方向旋转，使，边分别与边、交于点、点，与边交于点，其他条件不变，求证：四边形是菱形； 【探究应用】在图②中，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 24．（12分）（25-26八年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 2 / 30 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