八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷（新教材北师大版，举一反三,测试范围：第1章 三角形的证明及其应用～第5章 分式与分式方程）

八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的基本方法，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解题关键．根据因式分解的提公因式法与公式法，逐一分析各选项． 【详解】解：选项：的公因式为，正确分解应为，未提尽公因式，故错误； 选项：右边，与左边不相等，等式不成立，故错误； 选项：，不符合完全平方公式，故错误； 选项： ，与选项结果一致，故正确． 故选：． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 3．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】先按解分式方程的步骤求出x关于a的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：分式方程可化为：， ， ， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围为且，即选项B符合题意． 5．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 6．（25-26七年级上·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式，然后求解即可，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（    ）． A．120° B．135° C．150° D．160° 【答案】C 【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数． 【详解】连接PM，如图， 由旋转性质可知，△APC≌△AMB， ∴AP=AM，MB=PC=10， ∵∠MAP=60°， ∴△APM是等边三角形， ∴PM=AP=6， ∵PB=8， ∴MB2=PB2+MP2， ∴△PMB是直角三角形， ∴∠MPB=90°， ∵∠MPA=60°， ∴∠APB=150°． 【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形是解答本题的第一个关键． 8．（2026九年级上·安徽·学业考试）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先证明是等边三角形，得到，再根据外角得到，得到，，过作于，中，根据直角三角形的性质得到，，再证明是等腰直角三角形，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵中，，， ∴， ∵中，， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 10．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·月考）如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，． 下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④；⑤．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质逐项判定即可． 【详解】解：等腰中，，于， ， 平分， ， ，，， ， 为等腰三角形， ①正确； 等腰中，，， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ②正确； ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ③正确； ，， ， ， ， ， ， ， ④正确； , ， ， ， ，，， ， ， ， ， ⑤正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是___________． 【答案】2 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 12．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】由作图可知垂直平分线段，，因为，所以，根据等边对等角可知，在中，利用三角形内角和定理可知，则，进而可求的度数． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 13．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 14．（25-26八年级上·江西上饶·月考）在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 【答案】2或14或 【分析】本题根据已知条件分情况讨论角的位置，排除的情况，得到和两种情况，再结合高的位置分类，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算的长． 【详解】解：分情况讨论如下： 情况1：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； 情况2：当时， 过点作于点， ，，， 是等腰直角三角形， 同理可求， ， ， 在中，由勾股定理得，， 综上：边的长为2或14或． 15．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即： ．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用完全平方公式和平方差公式． 原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．则的最小值为______． 【答案】2 【分析】先将绕着点A逆时针旋转60度，至与重合，点C的对应点为点F，连接，得，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，分析得出点N是直线l上的动点，当时，则有最小值，整理得，故可得结论． 【详解】解：∵是正三角形， ∴，， 将绕着点A逆时针旋转60度，至与重合，点C的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为l， 由题意可得：当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 18．（6分）（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 19．（8分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 20．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 21．（10分）（25-26八年级上·山东东营·期末）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，若把绕原点逆时针旋转得到． (1)画出和； (2)已知为轴上一点，若的面积为，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的中心对称作图和旋转作图，正确的得出对应点的坐标是解题的关键． (1)利用中心对称的性质分别作点、、关于点的对称点、、，连接点、、得到；分别作点、、绕点逆时针旋转的对应点、、，连接点、、得到； (2)根据三角形的面积公式可以求出，分两种情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作点、、关于点的对称点、、， 连接点、、得到， 分别作点、、绕点逆时针旋转的对应点、、， 连接点、、得到， 即为所求； （2）解：由图可知点的坐标是，点的坐标是，则点到轴的距离为， ， ， 解得：， 当点在点左侧时，点的坐标是， 当点在点右侧时，点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 22．（10分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 23．（12分）（25-26八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 24．（12分）（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，，点D在所在的平面内运动． (1)如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； (2)如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或1． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，得出，可得，即可得证； （2）连接，，先证明可得，，进而证明，根据全等三角形的性质即可得解； （3）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，得出是等腰直角三角形，证明，得出，，，利用三角形面积公式可求解；当点在的延长线上时，同理可求解． 【详解】（1）解：，， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下， 如图所示，连接，， 以为边在其右侧作等腰直角三角形， ，， ，， ， 点和分别为和的中点， ∴，，则， ， ， ，， ，，， ， 又， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 当点在的延长线上时，如图所示，过点作，交的延长线于点， 同理是等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ∴的面积为； 综上，的面积为或1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第5章 分式与分式方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 4．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 5．（25-26八年级上·河南周口·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．（25-26七年级上·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（    ）． A．120° B．135° C．150° D．160° 8．（2026九年级上·安徽·学业考试）如图，在，，点D，E分别在和上，且，，若，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 9．（25-26七年级上·江苏·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·月考）如图，等腰中，，于，的平分线分别交，于，，点为的中点，的延长线交于，连接，，． 下列结论；①为等腰三角形；②；③平分；④；⑤．其中正确的是（   ） A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是___________． 12．（2026·山西吕梁·一模）阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______． 13．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 14．（25-26八年级上·江西上饶·月考）在中，，，一个内角为（），则边的长为______． 15．（25-26八年级上·湖南常德·期末）阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即： ．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 18．（6分）（25-26八年级上·广东韶关·期末）阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 19．（8分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 20．（8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 21．（10分）（25-26八年级上·山东东营·期末）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，若把绕原点逆时针旋转得到． (1)画出和； (2)已知为轴上一点，若的面积为，直接写出点的坐标______． 22．（10分）（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 23．（12分）（25-26八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    24．（12分）（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，，点D在所在的平面内运动． (1)如图1，当点D在边上运动，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接，发现，请说明理由； (2)如图2，点E为的中点，点F为的中点，为等腰直角三角形，点D在外部时，连接，以为边在其右侧作等腰直角三角形，连接和，判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，当点D在直线上时，连接，在线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $