特训8 解析几何-【创新教程·微点特训】2026年考前复盘高考数学冲刺

数学 特训8解析几何 （时间：60分钟 满分：90分) 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.) 1.已知直线l1:(a-1)x+2y十1=0，l2:ax+(1-a)y十2=0，设甲：l1⊥l2;乙：a=2,则甲是 乙的 ( ) 警 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心率为 州 A.2 B.2 C.7 D.2√2 3.已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，点M(x。,4)在C上，且|MF =2OF,则C的方程为 A.y2=4x B.y2=8x C.y2=2x D.y2=x 刻 4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳 y 鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆 P。 或半圆，已知点P(x,)是阴影部分（包含边界）的动点，则'2的最 小值为 A.-1 c- D.- 2 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为 阳 数 B.若直线BF的方程为y=一2x十2，则|AF|= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知双曲线C: a =1a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,0为坐标原点，P是双 b2 曲线在第一象限上的点，|PF|=2|PF2|=2m(m>0),PF1·PF2=m2,则双曲线C的 渐近线方程为 ( A.y=士2 B.y=士 2 C.y=士x D.y=士√2x 7.已知椭圆C的左、右焦点分别为F,F2,过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若 |AB|=F,B|,则椭圆C的离心率为 () A.3 B.2 3 C. D ·25· 8.费马定理是几何光学中的一条重要原则，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例 如，点P为双曲线上一点，F,F2为双曲线的焦点，点P处的切线平分∠FPE.已知双曲线 c号芳-1.0,6>0.0为坐标原点，双街线C上的点rs写 处的切线为直线1，过左焦 点F,作直线l的垂线，垂足为M,若|OM=2,则双曲线C的离心率为 () A.2 B.⑤ C.5 D.2√5 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比 为常数λ（入>0，且入≠1），那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点P到点O (0,0)与点A(2,0)的距离之比为2，则 () A.点P的轨迹方程为(x一4)2+y2=8 B点P到直线3x-4y十12=0距离的最小值为号 C.点P到圆x2+y2=1上的点的最大距离为5+2√2 D.若到直线kx一y一2k=0的距离为√2的点P至少有3个，则一1≤k≤1 10.2曲线的形状类似希腊字母2，其方程为d+义=1，若点P在2曲线上，A,(-3,0), 4 5 B1(3,0),A2(0,-1),B2(0,1),则 () A.当P在第一象限时，IPA2|十|PB2|=4 B.当P在第四象限时，|PA,I一|PB1|=4 C.直线y=一2x+4与2曲线的所有交点的横坐标之和大于6 D.直线y= 3 十2与0曲线恰有4个公共点 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.） 1,蒙日是法国芳名的数学家，他首先发现椭圆导+ y =1(a>b>0)的两条相互垂直的切 a 线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆 C:大1的焦点在产轴上.AB为桶圆C上任意两点，动点P在直线一Bv-8三0 上.若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆C离心率的取值范围为 12.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，” 反射光线平行于抛物线的轴.如图，抛物线C:y2=4x的焦点为F,由点A 发出的光线经点B反射后经过点P,若点F在AB上，且BP|=|AB|,o ∠PAB-否，B庐-3FA,则PF1= ·26· 四、解答题（本题共2小题，共28分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） I3分)椭圆C:名+1a>b>0)经过点P山 且两焦点与短轴的两个端点的连 a 2 线构成一个正方形， (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A,B两点，且AF=2FB,求|AB. ·27· 5分)双曲线C:号1(@>0，b>0)的离心率为B,过左焦点F的直线1与双曲 线的左支、右支分别交于点A,B,当直线1与y轴垂直时，|AB=2√5. (1)求双曲线C的方程； (2)点C(12,0)满足CB∥OA,其中O是坐标原点，求四边形OABC的面积. 砌 烯 ·28·在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则由题易知A(0,0,0),B(√2,0,0)，C(√2,2,0)， D(0,1十√3,0)，P(0,0,√2) 设点O的坐标为(x,y,之)， .OB=√(x-√2)2+y2+2, 0C=√(x-√2)2+(y-2)2十x2, OD=√x2+(y-1-3)2+2, OP=√x2十y2+(z-√2)2. 点P,B,C,D均在球O的球面上，.由OB=OC,得 y2=（y-2)2,解得y=1;由OB=OD且y=1,得(x √2)2+1=x2十3，解得x=0;由OB=OP且x=0,得 2十x2=（x一√2)，解得x=0, .,点O的坐标为(0,1,0)，故点O在平面ABCD内」 (i)解：由(i)易知PO=(0,1,-√2)，AC=(√2,2,0)， .cos(PO,AC)=- PO·AC 2=2 PO1|AC√3X√63 直线AC与P0片成角的金孩值为号 特训8 1.B[l1⊥l2→a(a-1)十2(1-a)=0,解得a=2或1，故 甲不能推出乙，己能推出甲，故甲是乙的必要不充分 条件.] 2.D[由题意知2b=√7×2a,即b=√7a,则b2=7a 又a2+b=c2,所以c2-a2=7a2,即c2=8a2,得C的离 心率e=￡=22.] a 3.B[由地物线的定义，可知MF=十号，又2OF= D:MF=2OF,所以十合=力，即=台，由点 M(xo,4)在C上，得16=2pxo,结合p>0,解得p=4,所 以C的方程为y2=8x.] 4.B[2表示点P(xy)与点(2,0)连线的斜率，由题图 可知，过点(2,0)且与以(0,1)为圆心，1为半径的半圆(y 抽右侧)相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为 y=k(x-2),即6x-y-2k=0,由01-2k=1,解得 √+1 k=0(含去)或=一青，所以产2的最小值是一青] 3 5.C[因为直线BF的方 6 程为y=一2x十2，所以 当y=0时，x=1,即 2 =1,所以抛物线C的方4-202468x 程为y2=4x,准线方程 为x=一1，则B(-1, 4),由点B坐标得yA= 4,代入y=4x,得A(4,4). 所以AF=√(4-1)+(4-0)F=5.] 6.D[因为PF11-|PF2=2a,PF1=2PF2=2m, 可得m=2a,由PF1·PF。=m2, 可得4a·2acos∠F,PF,=4a,所以∠F,PF,=60°， 即有4c2=4a2+16a-2×4a×2a×2=12a, 即c2=a2+b=3a2, 所以女-厄，所以双曲线的渐近线方程为： y=士√2x.] 7.C[如图，连接AF1,因为 △ABF1的周长为4a,AF1= |AF2=a,AB|=F1B,所 0 3 以AB=FB=Q,BF: = 又cos∠AF2F1十cos∠BF2F1=0, 即」 ）广+(2-（）】 =0,化筒得3c2=a2, a 2x号X2c 所以椭圆C的离心率e= 3 8.B[如图，连接PF1,PF, Y 延长PF2交直线F1M于点 N,由于M是∠FPF2的 F 平分线上的一点，且FM⊥ MP,所以点M为F,N的 中点，所以PF,=PV, 又O为F,F1的中点，所以F2N=2OM|=4,故 PF|-|PF2=|PN|-|PF2|=|FN|=4,故2a= 4,则a=4,将点P(3,写)的坐标代入若- a2=1，可得 9.ACD[设点P的坐标为(x,y),由题意可得 √土y =√2，化筒可得(x-4)2十y2=8,故A正 √（x-2)2十y 确：如图①，点P在圆(x-4)2十y=8上，其圆心为 M(4,0),半径为2√2，故点P到直线3.x-4y十12=0的 距离的最小值为圆心M到直线的距离减半径，即为 3×4+12L-22=24-2反，故B错误； √32+(-4)2 5 y 图① 如图②，点P到圆x2十y=1上的点最大距离为点M到 点O(0,0)的距离加圆M和圆O的半径，即4+1十2√2 =5十2√2，故C正确： 图② 若到直线kx一y-2k=0的距离为√2的，点P至少有3 个，则圆心M到直线kx一y一2k=0的距离小于或等于 其半径减去2，即4h-2≤2，解得-1≤k≤1，故D √+1 正确.] 10.BC[当x≥0，y≥0时，工+义=1可化为兰+上 4 5 45 =1A0,-1DB,0,1)为箱国号+苦=1的两个焦 点，则PA2十PB2|=2a=2√5，A错误： 当空0y<0时，华+=1可化为号-号-1 4 5 A(一803,0方双由线号-苦=1的两个金点。 则|PA1-PB1=2a=4,B正确： 当<0y<0时，1+=1可化为号+号 4 5 =一10，所以点P不可能在第三象限. 当20时，华+兴-1可化为号一号1，所 5 以Ω曲线由三段曲线组成，其图形如图所示， 因为风由线苦一宁-1的新远线方起为y=士 2x, ·73 所以直线y=一2x十4与曲线 5 =1(x≤0，y≥0)无公 4 3 共点 1 将y=一2x十4代入4十长 4 =1, 得21x2-64x十44=0， 由图可知直线y=一2z十4与曲线号十片=1(x≥0， ≥0有2个交底，则这2个文点的横坐标之和为引， 其中1个交点为(2,0). 转y=一2z4代入号-苦-1，得1z-64x+84 可知直线y=一2红十4与曲线子一片三 y≤0)有2个交点，则这2个交点的横坐标之和为， 其中1个交点为(2,0)， 所以直线y=一2x十4与2曲线的所有交点的横坐标 之和为1+片-2>”+部-2=6，C正项： ·=1的渐近线的 斜率， 由因可知直线y=-一是十2与南线苦-兰-1(x<0, y≥0)有2个公共点， 与曲线号+兰=1(x≥0，≥0)只有1个公共点， 45 =1(x≥0，y≤0)没有公共点， 5 所以直线y=手x十2与0曲线恰有3个公共点，D 错误.] 11.解析：由题意可知m>2, 圆x2十y2=m十2即为椭 x-√3y-8=0 因为A、B为椭圆C上任 意两点，动点P满足 ∠APB恒为锐角， 则点P在圆x2十y=m十2外， 又因为动点P在直线x-√3y一8=0上， 则直线x一√3y一8=0与x2十y2=m十2相离， 所以一8>√m+2,解得2<m<14, √1+(-5) 则e-后=1答=1-品∈(0) 即e) 因北，横周C的高心牵的取位范同是(0，) 苔案(0写 12.解析：如图，在△ABP中，BP= |AB|,所以∠BPA=∠PAB B 所以∠ABP=元-∠BPA ∠PAB-, 又周为BP∥x轴，所以∠BFz=吾，因北ka=an号 =√5， 故直线AB的方程为y=√5(x一1)，联立 y=5x-5,得3x2-10x+3=0, y2=4x 设A(),B(y),则十。=号) 由超物线的定义知AB=工十十p=号。 而BF=3F,所以BF=AB=4, 在△PBF中，∠ABP=,BP=AB=19 3 31 由余孩定理，得PF2=BF2十BP2-2BFBP =16+2-2×4×9×(）g婴， cos3 解得PF=4√37 3 答案 13.解：(1)：两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正 方形， .b=c; :国选点P(号) 又a2=b+c2, 解得a2=2,b=1, 椭国C的方程为号+y=1. (2)F(1,0),设laB:x=my+1, A(y）,B(x2y), /x=y十1， 联立方程得 2 ·74 得(m2+2)y2+2my-1=0, 2m y1十y2= m2+21 1 y1y2=- m2+2 AF=2 FB, y1=-2y, 一y2= 2m m2+2 1 -2y=- m2+2 1 m=名 .AB=√1+m·y-y =√1+m.√4m于4(m+2 m2+2 =9 8 14.解：(1)由直线1与y轴垂直时，AB=2√3， 故2a=23,故a=√5， 又离心率为√5，则c=√3a=3,所以b=c2-a=6,双曲 线C的方程为写-苦=1 (2)设直线l的方程是x=ty y -3,A(x1y),B(2). B 由人=3 ,得(2-1)y2 2x2-y=6 -12ty十12=0，y1十y2= 12t 12 2-7y 2t-1 因为cB/0A,所以货-品5=5. 从而y2=5y. 所以6y1= 12t 201,5= 品去得 3(2F-,解得f=3,它满足2F-1≠0,4>0. AB=√1+FM-y2=2√(y十y)-4M2 144t48 t+1-163 =√2-2-8/2 5 数0到上我的花贵为一后一子所以 sam=号ABd=xl65×是-125， 5 2 5 由于器=品=5所以5=5 _35,5ox=24Saoe- 72V5 5 5