第六章计数原理单元复习导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案(学生用) 第六章 计数原理 单元复习导学案 【学习目标】 1. 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能根据问题特征选择“分类”或“分步”进行计数. 1. 掌握排列、组合的概念，能运用排列数公式、组合数公式解决简单的排列组合问题. 1. 理解二项式定理，掌握二项展开式的通项公式，能求特定项、系数及二项式系数的和. 1. 能综合运用两个计数原理、排列组合知识解决带有限制条件的实际问题（如组数、排队、分组分配、涂色等）. 【学习重点】 1. 两个计数原理的辨析与综合运用. 2. 排列数、组合数公式及其应用. 3. 有限制条件的排列组合问题的常用方法（优先法、捆绑法、插空法、隔板法等）. 4. 二项式定理的通项公式及二项式系数的性质. 【学习难点】 1. 正确区分“排列”与“组合”，以及复杂问题中的“分类”与“分步”层次. 2. 分组分配问题中均匀分组的处理（除以组数的阶乘）. 3. 二项式展开式中系数最大项的求法. 学习任务一 两个计数原理的辨析与综合运用 【合作探究】 1. 回顾原理： (1) 分类加法计数原理：完成一件事有 类方案，每类方案中分别有 种方法，则总方法数为 . (2) 分步乘法计数原理：完成一件事需要 个步骤，每一步分别有 种方法，则总方法数为 . 1. 辨析： · (1) 从 3 名男生和 2 名女生中各选 1 人参加比赛，是“分类”还是“分步”？计算选法种数. · (2) 从 3 名男生和 2 名女生中选 1 人参加比赛，是“分类”还是“分步”？计算选法种数. 1. 综合应用： · 某校有 4 门不同课程，甲、乙两人各选 1 门（可以相同），共有多少种选法？若要求两人选课不同，又有多少种选法？ 【自主梳理】 1. 两个原理的异同： (1) 分类加法：类类独立，不重不漏，每一类都能独立完成. (2) 分步乘法：步步相依，缺一不可，只有所有步骤完成才能完成. 1. 应用策略： (1) 若问题中出现了“或” “要么…要么…”，往往考虑分类. (2) 若问题中出现了“且” “然后” “再”，往往考虑分步. (3) 复杂问题可能先分类再分步，或先分步再分类. 学习任务二 排列与组合 【合作探究】 1. 排列与组合的区分： · (1) 从 10 人中选 3 人组成代表队，是排列还是组合？ · (2) 从 10 人中选 3 人分别担任班长、学习委员、体育委员，是排列还是组合？ · 判断的关键是______. 1. 排列数公式： · . 计算 和 . 1. 组合数公式： · . 计算 和 . 利用组合数性质：，. 1. 有限制条件的排列问题（举例）： (1) 特殊元素或特殊位置优先. (2) 相邻问题：捆绑法. (3) 不相邻问题：插空法. (4) 定序问题：除以阶乘. · 例：5 人站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，有多少种站法？ 【自主梳理】 1. 排列与组合的判断：与顺序有关的是排列，无关的是组合. 1. 排列数公式：. 1. 组合数公式：，性质：，. 1. 常见解题方法： (1) 优先法（特殊位置/元素） (2) 捆绑法（相邻） (3) 插空法（不相邻） (4) 定序除法 (5) 间接法（正难则反） 学习任务三 分组分配与涂色问题 【合作探究】 1. 不同元素的分组分配： (1) 完全均匀分组：平均分成 组，先分步选取再除以 . (2) 部分均匀分组：有 组均匀，除以 . (3) 分配问题：如果分给不同对象，则分组后还需全排列. · 例：6 本不同的书，分成三组，每组 2 本，有多少种分法？若分给甲、乙、丙三人，每人 2 本，又有多少种？ 1. 相同元素的分配（隔板法）： · 10 个相同的球放入 3 个不同的盒子，每个盒子至少 1 个，有多少种放法？ · （提示：在 10 个球之间的 9 个空隙中插入 2 块隔板） 1. 涂色问题： · 用 4 种不同颜色给（文字描述：四个区域，相邻区域不同色）的图形涂色，有多少种涂法？ · 思路：按区域顺序分步，注意分类讨论相邻同色情况. 【自主梳理】 1. 分组分配解题流程： (1) 先分组（注意均匀分组要除以组数的阶乘） (2) 再分配（乘以组数的全排列） 1. 隔板法： 个相同元素分给 个不同对象，每个至少 1 个，方法数为 . 1. 涂色问题：一般按区域顺序分步，遇到相邻限制时进行分类讨论. 学习任务四 二项式定理 【合作探究】 1. 二项式定理： · . (1) 通项公式：. (2) 二项式系数：. 1. 求特定项： · 求 的展开式中的常数项. · 解：写出通项，令 的指数为 0，解出 ，再代入计算. · 1. 二项式系数的性质： (1) 对称性：. (2) 增减性与最大值：中间项最大. (3) 各二项式系数和：. (4) 奇数项和 = 偶数项和 = . 1. 赋值法求系数和： · 在 的展开式中，求各项系数的和. · 解：令 ，得 . 【自主梳理】 1. 二项式定理：. 1. 通项：. 1. 性质： (1) 对称性 (2) 最大值： 偶时中间一项最大； 奇时中间两项最大 (3) 和： 1. 赋值法：求系数和时令变量为 1. 【自查自纠】（正误判断） 1. 在分类加法计数原理中，各类方案中的方法可以相互重叠. （ ） 1. 从 10 人中选 3 人参加座谈会，是组合问题. （ ） 1. 在排列数公式 中，规定 . （ ） 1. 将 6 本相同的书分给 3 人，每人至少 1 本，可用隔板法，方法数为 . （ ） 1. 二项式系数的最大值一定在中间项取得. （ ） 【典例分析】 例1：有 4 名男生和 3 名女生，从中选出 3 人参加比赛，要求至少有 1 名女生，求不同选法种数. （分别用直接法和间接法求解） 解： 例2：用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数，求： (1) 所有五位数的个数； (2) 其中偶数的个数. 解： 例3：已知 的展开式中第 3 项与第 5 项的二项式系数相等，求 ，并求展开式中的常数项. 解： 【习题巩固】 1. 某校有 5 名志愿者，其中 3 名男生，2 名女生，现从中选 3 人参加活动，要求既有男生又有女生，则不同的选法有（ ） · A. 6 种 B. 9 种 C. 12 种 D. 15 种 1. 用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中个位数字不是 2 的四位数共有（ ） · A. 12 个 B. 18 个 C. 20 个 D. 24 个 1. 已知 ，则 的值为（ ） · A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 1. 的展开式中的常数项为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）有 8 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法： · (1) 平均分成两堆； · (2) 平均分给甲、乙两人. 一、自主辨析与填空答案 学习任务一 两个计数原理 回顾原理 · (1) · (2) 辨析 · (1) 分步， 种 · (2) 分类， 种 综合应用 · 两人选课相同或不同： 种 · 两人选课不同： 种 学习任务二 排列与组合 排列与组合区分 · (1) 组合 · (2) 排列 · 关键：顺序是否影响结果 排列数公式 · 计算示例：， 组合数公式 · 计算示例：， 有限制条件的排列举例 · 5人站排，甲不排头，乙不排尾： · 总 ，减去甲排头 ，乙排尾 ，加回甲排头且乙排尾 · 得 种 学习任务三 分组分配与涂色问题 不同元素的分组分配 · 6本不同书分成3组每组2本： · 种 · 分给甲、乙、丙每人2本： · 种 相同元素的分配（隔板法） · 10个相同球放入3个不同盒，每盒至少1个： · 种 涂色问题（四区域相邻不同色，4种颜色） · 按顺序分步，分类讨论：常见结果为 种（具体依图形而定） 学习任务四 二项式定理 二项式定理 求特定项示例（略，依具体题目） 二项式系数性质 · 对称性： · 和： · 奇数项和 = 偶数项和 = 赋值法求系数和 · 令变量为1，得系数和 二、自查自纠（正误判断） 1. 错（不能重叠） 2. 对 3. 对 4. 对（） 5. 对 三、典例分析答案 例1 总选法： 全是男生： 至少有1名女生： 种 例2 (1) 五位数： 个 (2) 偶数： · 末位0： · 末位2或4： 共 个 例3 第3项与第5项二项式系数相等： 常数项：通项 ，令 得 四、习题巩固答案 1. B. 9种 · 总 ，全男生1种，全女生0种，得 2. B. 18个 · 总四位数 ，个位是2的有 ，得 3. B. 6 4. A. 15（具体常数项计算略，依通项得15） 5. 选做题 · (1) 平均分成两堆： 种 · (2) 平均分给甲、乙： 种 学科网（北京）股份有限公司 $