杨辉三角的性质与应用导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第26课时 杨辉三角的性质与应用（学习指南） 学习目标 1、了解杨辉和杨辉三角，感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感． 2、能自主探究杨辉三角的基本性质，经历观察数据特征，总结、概括相关规律，培养学生的观察能力和归纳推理能力；发展直观想象、数学抽象等素养． 3、能用杨辉三角解决有关问题，提升分析问题和解决问题的能力． 学习重点：杨辉三角的基本性质 学习难点：杨辉三角的性质应用 一、杨辉与杨辉三角 杨辉，杭州钱塘人．中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》、《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界． “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪． 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年～1662年），他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 二、杨辉三角的性质探究： 观察杨辉三角，不难发现如下性质： 1．表中每个数都是组合数，第行的第个数是． 当为偶数时，中间一项最大；当为奇数时，中间的两项最大． 2．每一行的和分别为，即 3．对称性：与首末两端等距离的二项式系数相等，即． 4．每一斜列对应数列的通项公式为（），该数列为—阶等差数列． 5．除1以外每一个数都等于它肩上的两数之和，即； 证明：方法一： ． 方法二：从个不同元素中取出个元素的组合数为，若按照某元素可以分两类：（1）如果元素被取出，则只需在剩下的个元素中取个，即种情况；（2）如果元素未被取出，则就从个元素中取个，即种情况，所以． 6．第斜列的前个数的和等于第斜列的第个数，即 该公式是杨辉三角的首项为的阶等差数列的求和公式，即为通项，为前项和． 例如：；． 证明：因为，所以 ． 该证明过程充分运用了性质． 7．从另一斜着的角度观察数字，例如第一斜线上的数字是1，第二斜线上的数字是1，第三斜线上的数字是1，1，第四斜线上的数字是1，2，第五斜线上的数字是1，3，1，第六斜线上的数字是1，4，3，……，求出这些数字的和，并观察有何规律？ 分析：经计算得…… 此数列满足：，，（，），这就是著名的斐波那契数列． 三、杨辉三角的性质应用 例1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下数：第一次全行的数都为1 的是第一行，第二次全行的数都为1 的是第3行，……第次全行的数都为1 的是第________行 第一行                             1   1 第二行                           1   0   1 第三行                        1   1   1   1 第四行                     1   0   0   0   1 第五行                  1   1   0   0   1   1 例2．如图，在杨辉三角中，斜线上方从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列： ……，记此数列为，则___________． 例3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，若第行中从左至右第14个数与第15个数的比为，则_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$