精品解析：山西晋中市2025-2026学年高一下学期素养测评(二) 数学试题

2025-2026学年高一下学期素养测评（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数是实数，则实数（ ） A. B. -3 C. D. 3 2. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 零向量没有方向 D. 若，则 3. 如图，在矩形中，为边上一点且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，，且，，若向量与向量所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 8. 在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，或 B. 若向量在向量上的投影向量为，则 C. 当时，向量在向量上的投影向量为 D. 若向量和向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 13. 在中，已知，则的形状为________． 14. 在中，角所对的边分别为，且．若有两个，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为虚数单位，是的两个虚根． （1）设满足方程，求实数的值； （2）设，在复平面内，复数对应的向量分别是，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，在中，边上的两条中线相交于点． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求实数的值． 17. 如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（在上，在半圆上，为圆心），已知的长为． （1）求枫叶林面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）． 18. 如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． （1）若，求的值； （2）若，且与的夹角为，求的值； （3）若，且 ，求的取值范围． 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文． （2）若． ①在中，，点在边上，且，，求的面积； ②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期素养测评（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数是实数，则实数（ ） A. B. -3 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由复数是实数得其虚部为零，列式求解即得. 【详解】因为复数是实数， 所以，解得. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 零向量没有方向 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：单位向量的模长都为，但方向不一定相同，因此不一定相等，A错误； B选项：若，则且时，与不一定平行，B错误； C选项：零向量的方向是任意的，并非“没有方向”，C错误； D选项：若，则两向量模长相等且方向相同，因此，D正确． 3. 如图，在矩形中，为边上一点且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在矩形中，由，得. 4. 已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， ， 与共线，三点共线. 5. 已知平面向量，，，且，，若向量与向量所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的性质求解即可. 【详解】因为，，向量与向量所成的角为， 所以， 即， 所以， 当且仅当与共线方向相反时等号成立. 6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设距离定义及差角余弦公式、已知得，再应用倍角余弦公式求结果. 【详解】由题设， 所以 ， 由， 所以. 7. 设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理和向量垂直的条件，结合复数的运算性质逐一分析选项 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由得，即，， 故，故B正确. 8. 在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】由，得，， 对于A，的虚部为1，A正确； 对于B，在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，因此，D正确. 10. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，或 B. 若向量在向量上的投影向量为，则 C. 当时，向量在向量上的投影向量为 D. 若向量和向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据向量平行条件判断A，再利用投影向量公式验证B，C，最后结合数量积小于0且不共线的条件分析夹角为钝角的情况，得出B、D 错误． 【详解】对于A，由，得，解得，，A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量为， 由题意得，即(*)， 因为，， 代入（*）可得，解得，，B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量为， 当时，，，所以， 因此向量在向量上的投影向量为，C正确； 对于D，当时，，，两向量反向共线，夹角为，不是钝角，但在区间内，故D错误. 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，， 即，，， 所以 由，所以， 解得，因此. 13. 在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【解析】 【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解. 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 14. 在中，角所对的边分别为，且．若有两个，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理将条件化简，求出角，再由三角形有两个的充要条件（为锐角），代值计算即得，​​的取值范围． 【详解】由和余弦定理，可得， 化简得，所以， 因为，所以． 要使有两个，需满足， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为虚数单位，是的两个虚根． （1）设满足方程，求实数的值； （2）设，在复平面内，复数对应的向量分别是，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用实系数一元二次方程虚根的特征、结合韦达定理及复数相等的定义列式求解. （2）利用给定复数求出向量，再利用夹角公式及共线条件列出不等式组求解. 【小问1详解】 由是方程的两个虚根，得互为共轭复数， 设，则，，， 由，得，即， 因此，解得，所以. 【小问2详解】 由，得，则，， 因此，， 由与的夹角为锐角，得，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，在中，边上的两条中线相交于点． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求实数的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积运算律及定义求解. （2）利用向量夹角公式求解. （3）根据中线的性质及三点共线求解. 【小问1详解】 由为BC的中点，得， 所以. 【小问2详解】 依题意，， ， ， 所以. 【小问3详解】 依题意，，由三点共线， 得，又，则， 而不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 17. 如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（在上，在半圆上，为圆心），已知的长为． （1）求枫叶林面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设，结合三角函数定义以及矩形的面积公式计算即可； （2）记，根据正弦定理，结合三角恒等变换公式分析求解即可. 【小问1详解】 设，则，在直角中，由， 则，， 所以矩形的面积为：， 故当，即时，矩形枫叶林面积取得最大值为. 【小问2详解】 因为，所以，记， 由正弦定理有：， 即， 所以修建观景木质栈道所需的费用为： 其中，，且， 当时，所需的费用达到最多即元. 18. 如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． （1）若，求的值； （2）若，且与的夹角为，求的值； （3）若，且 ，求的取值范围． 【答案】（1） （2）13 （3） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得； （2）借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得； （3）建立适当平面直角坐标系后，利用平面向量坐标运算及数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 若，则，即，故； 【小问2详解】 若，则，即， 所以 ； 【小问3详解】 以O为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，∴； 设，则，又，∴，即， ∴，∴，， ∴， ∵P为线段AB上一点，∴， ∴，即， ∴的取值范围为. 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文． （2）若． ①在中，，点在边上，且，，求的面积； ②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：． 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义直接计算即可. （2）①利用给定的定义，结合三角恒等变换求出函数，进而求出，再利用正弦定理及三角形面积公式求解；②由①求出，利用数量积的定义及运算律、余弦定理，结合一元二次不等式恒成立推理得证. 【小问1详解】 “”对应的数字分别为13，5，由， 33对26的余数为7，因此密文两个字母对应的数字分别为18，7，密文为“”， 所以明文为“”的希尔密码的密文为“”. 【小问2详解】 ①依题意， 则， ， 由，得， 在中，由，得， 则，解得，， 在中，， 由正弦定理得， ， 所以的面积为. ②在中，由①及，得， ， 由余弦定理得， 由 两边同时平方得， 整理得 ，即 ， 依题意，，则 ， 因此，，，于是，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $