精品解析：山西省晋中市平遥县2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.同等选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册至第八章8.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】将复数代入计算可得，再根据共轭复数定义及几何意义可得结论. 【详解】由，可得， 则可得的共轭复数为，对应点的坐标为，位于第四象限； 故选：D 2. 若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案 【详解】设，该三角形的最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，三角形形状为钝角三角形. 故选：C 3. 若向量，，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行得到方程，求出解，得到答案. 【详解】，故，即 解得或或， 故的取值集合为 故选：C 4. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】由单位向量，满足， 所以，解得， 则在上的投影向量为． 故选：B． 5. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可. 【详解】 由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且， ， 所以，故. 故选：D. 6. 如图，在等腰梯形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算计算得解. 【详解】在等腰梯形中，，，， . 故选：B 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. . 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性，得出的取值范围即可得出结论. 【详解】由对数函数在上单调递增可得，，即； 由指数函数为减函数可得，，因此； 即可知. 故选：A 8. 财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度（ ） A. 200米 B. 202米 C. 204米 D. 206米 【答案】C 【解析】 【分析】设米，根据题意表示出，，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】设米，因为在点处测得点的仰角为， 所以，则米． 因为在点处测得点的仰角为，所以米． 由余弦定理得， 即，解得． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数的实部为 B. 半径为3的球的表面积为 C. 正五棱台有7个面 D. “，”的否定是“，” 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的概念和球的表面积公式等基础知识即可解题. 【详解】对A.复数的实部为1，故A错误; 对B.球的表面积为，故B正确; 对C.正五棱台有2个底面， 5个侧面,共7个面， 故C正确; 对D. 命题的否定只否定结论， 故D正确. 故选:BCD 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上的最大值为3 D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式及诱导公式化简，再计算可判断A，计算可判断B，由自变量范围求出范围，换元后利用对勾函数求最值可判断C，根据图象平移计算即可判断D. 【详解】. 因为，所以A错误. 因为 ， 所以的图象关于点对称，B正确. 若，则，所以， 因为函数在上单调递增，所以，C正确. ，则，且定义域关于原点对称， 所以为偶函数，其图象关于轴对称，D正确. 故选：BCD 11. 在中，，，，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据内心的定义即可求出，即可判断AC；利用余弦定理求出，再利用等面积法即可求出内切圆半径，即可判断B；结合向量的线性运算及平面向量基本定理判断D. 【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点， 所以在中，，故A错误，C正确； 由余弦定理可得， 因为的面积， 所以，故B正确； 因为在的平分线上，设，则， 同理可设，则， 得， 根据平面向量基本定理得，解得， 所以，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台体积公式代入计算即可. 【详解】该青铜器的容积约为． 故答案为： 13. 已知正方形的边长为，，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】用、为基底表示，，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】正方形的边长为，，， ，， 故． 故答案为：． 14. 在中，，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理求出的最小值，再由平方关系计算可得. 【详解】， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 当且仅当时等号成立， 由同角三角函数关系式，且， 可得， 的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量，满足，. （1）若向量，的夹角为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求向量，的夹角. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式计算即可； （2）两边平方得，从而计算出，得到； （3）根据垂直得到方程，得到，从而利用夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 两边平方得， 即，故， 故， 故； 【小问3详解】 ，故， 即，， 设向量，的夹角为，，则， 故； 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）若，求外接圆的半径， （2）若的面积为，求的大小及的周长． 【答案】（1）； （2）的周长为；的周长为． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理可得，再次利用正弦定理计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得或，利用余弦定理分别求出a，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以．又， 所以． 【小问2详解】 的面积， 则，因为，所以或． 当时，， 得的周长为． 当时，， 得的周长为． 综上，的周长为或 17. 已知复数，满足，. （1）若纯虚数的虚部与的虚部互为相反数，求； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到的虚部，从而求出； （2）设，由得到，从而得到，即可表示出，再由复数的模的计算公式及二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为， 则的虚部为，又纯虚数的虚部与的虚部互为相反数， 则； 【小问2详解】 设， 因为， 又，所以，所以， 则 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为． 18. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【小问1详解】 当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 19. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）延长交于，延长交于，则，设，且，分别求出，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； 【小问2详解】 延长交于，延长交于， 根据题意可得．因为，所以， 设，且， 则， 同理可得， 则 ， 因为，所以， 又， 所以， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.同等选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册至第八章8.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 若向量，，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 6. 如图，在等腰梯形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. . 8. 财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度（ ） A. 200米 B. 202米 C. 204米 D. 206米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 复数的实部为 B. 半径为3的球的表面积为 C. 正五棱台有7个面 D. “，”的否定是“，” 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上的最大值为3 D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称 11. 在中，，，，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______． 13. 已知正方形的边长为，，，则的值为________. 14. 在中，，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知向量，满足，. （1）若向量，的夹角为，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求向量，的夹角. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）若，求外接圆的半径， （2）若的面积为，求的大小及的周长． 17. 已知复数，满足，. （1）若纯虚数的虚部与的虚部互为相反数，求； （2）求的最小值. 18. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 19. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $