山西晋中市2025-2026学年高一下学期素养测评(二) 数学试题

2025-2026学年高一下学期素养测评（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数是实数，则实数（ ） A. B. -3 C. D. 3 2. 下列命题正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 零向量没有方向 D. 若，则 3. 如图，在矩形中，为边上一点且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不共线的向量，若，则四点中共线的三点是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，，且，，若向量与向量所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设复数是关于的方程的两个根，在复平面内所对应的点分别为为坐标原点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为纯虚数 8. 在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. 已知平面向量，，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，或 B. 若向量在向量上的投影向量为，则 C. 当时，向量在向量上的投影向量为 D. 若向量和向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 11. 满足，且，则（ ） A. 三个内角满足关系 B. 的周长为 C. 若的角平分线与交于，则的长为 D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 13. 在中，已知，则的形状为________． 14. 在中，角所对的边分别为，且．若有两个，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为虚数单位，是的两个虚根． （1）设满足方程，求实数的值； （2）设，在复平面内，复数对应的向量分别是，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，在中，边上的两条中线相交于点． （1）求中线的长； （2）求的余弦值． （3）设，求实数的值． 17. 如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（在上，在半圆上，为圆心），已知的长为． （1）求枫叶林面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）． 18. 如图，在中，为线段上一点（包含端点），且． （1）若，求的值； （2）若，且与的夹角为，求的值； （3）若，且，求的取值范围． 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，记，加密矩阵，加密过程是，其中，则密文为数字分别对应的字母．若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，例如，若，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“”的希尔密码的密文． （2）若． ①在中，，点在边上，且，，求的面积； ②在中，角的对边分别为且恒成立，证明：． 2025-2026学年高一下学期素养测评（二） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】等腰或直角三角形 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）元 【18题答案】 【答案】（1） （2）13 （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $