甘肃定西市岷县第一中学、第二中学、第三学校、第四中学2025-2026学年高三三诊模拟考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年岷县多校高三三诊数学模拟卷，以气温统计分析、乒乓球比赛等真实情境为载体，通过导数综合、立体几何体积计算等问题，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、排列组合、函数性质、统计|第4题结合气温散点图判断相关性，体现用数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|等比数列、随机事件、导数极值|第11题导数与极值、值域综合，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|三角函数定义、线性规划、抛物线|第14题抛物线焦点与动点周长最值，渗透数学建模意识| |解答题|5/77|解三角形、概率分布、立体几何、导数应用|16题五局三胜制概率分布，18题四棱台面面垂直与空间角计算，19题导数零点与恒成立证明，综合考查数学思维与语言表达|

绝密★启用前 2025-2026学年岷县第一中学、第二中学、第三学校、第四中学高三三诊模拟考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．集合中的元素个数是（   ） A. B. C. D. 2．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(      ) A.24 B.48 C.60 D.72 3．函数是(      ) A.奇函数,且最小值为 B.奇函数,且最大值为 C.偶函数,且最小值为 D.偶函数,且最大值为 4．“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出天津市三月份每日最高气温与最低气温的数据，绘制了气温与日期关系的散点图（如图），并进行统计学分析，下列说法正确的是(      )    A.小明根据散点图判断气温与日期无相关关系 B.小华利用最小二乘法计算最高气温与日期的经验回归方程为，其中x为日期（3月1日为，3月31日为） C.小红计算出最低气温与日期的相关系数为0.9397，以此判断两者的相关程度很弱 D.小强判断无论是最高气温与日期，还是最低气温与日期都正线性相关 5．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为，则这n个向量(      ) A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等 6．已知曲线在处的切线方程是,则与分别为(      ) A.5, B.,5 C.,0 D.0, 7．如图所示,四面体的体积为V,点M为棱的中点,点分别为线段的三等分点,点N为线段的中点,过点N的平面与棱分别交于,设四面体的体积为,则的最小值为(      ) A. B. C. D. 8．已知,其中i为虚数单位,则(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为等比数列，其前n项和为，公比为q，则下列说法正确的是(      ) A.若，，则 B.若，则 C.若，则 D.若，，则 10．设A,B是两个随机事件,,,则下列说法中正确的是(      ) A.若A与B相互独立,则 B.若A与B互斥,则 C.若,则 D.若,则 11．已知函数，则下列结论正确的是(      ) A.当时，的最小值为 B.若有两个极值点，则实数m的取值范围为 C.当时，的值域为R D.若存在，使得成立，则实数k的最大值为e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知角的终边经过点，且，，则实数a的取值范围是___________. 13．若实数x，y满足，则的最大值为________. 14．已知抛物线的焦点为F,A,B为C上的两个动点,且,,当的周长最大时,抛物线C的标准方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)求B; (2)若,,,边上的中线,相交于点M. (i)求; (ii)求. 16．（14分）甲、乙两位同学进行一场乒乓球比赛，约定采用五局三胜制，当一人羸得三局胜利时，该同学获胜，比赛结束在每局比赛中，都不会出现平局，且甲同学先发球该局甲获胜的概率为，乙同学先发球该局甲获胜的概率为.经抽签，第一局甲先发球，第二局乙先发球，依次轮流发球. （1）求甲连胜三局的概率. （2）求需要进行第五局比赛的概率. （3）比赛结束时，设甲获胜局数为X，求X的分布列和数学期望. 17．（15分）设O为坐标原点,抛物线与的焦点分别为,,为线段的中点.点,在上(在第一象限),点,在上,. (1)求曲线的方程; (2)设直线的方程为,求直线的斜率; (3)若直线与的斜率之积为-2,求四边形面积的最小值. 18．（18分）如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. (ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值； (ⅱ)求点到平面的距离. 19．（18分）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求a的值； (3)若存在a，使得对任意恒成立，证明：. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D D D D D B BCD ACD BCD 1.答案：C 解析：A={0,12,故选C。 2.答案：D 解析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5， 其他位置共有A4种排法，所以奇数的个数为3A=72, 故选D. 3.答案：D 解析：由函数f()six+cosx,可得其定义域x∈R,关于原点对称， 且f(-x)=sin(-x)川+cos(-x)sinx|+cosx=f(x),所以函数f（x)为偶函数， 因为f(2π+x)=sin(2π+x+cos(2π+x=sinx+cosx=f(x, 所以2π为y=f(x)的一个周期， 不妨设x∈[0,2， 若x∈0.利时，可得f)=sinr+cosr=2sin(x+孕， 因为xe0对可得+叠e子经 14’4 当x+至时，即-时.可得f=V2: 当x+π=5元 +44时，即x=元时，可得f=- 若x元2，可得f)=-sinx+cosx=V2cos6+孕， 因为2可得+子e停经。 当x+子-2r时，即x=时，可得fa=2 7 4 当+至子时，即xn时，可得=-小 综上可得，函数f(的最大值为√2，最小值为-1 故选D, 4.答案：D 解析：对于A,观察散点图，横轴代表日期，纵轴代表气温，图中的散点分布并不是 杂乱无章的，而是呈现出一种带状分布， 且整体趋势是随着日期的增加，气温也在逐渐升高，这种趋势表明气温与日期之间存 在密切的联系，即存在相关关系，故A错误： 对于B,回归直线方程y=bx+a中，斜率b反映了变量y随x的变化趋势， 若b>0表示变量y随x的增大而增大，为正相关，若b<0表示变量y随x的增大而减 小，为负相关： 由散点图可知，气温随日期的增大而升高，属于正相关，所以回归方程的斜率应为正 数， 而小华计算最高气温与日期的经验回归方程斜率为b=-0.69<0,故B错误： 对于C,的值越大，相关性越强，小红计算出最低气温与日期的相关系数为 09397,以此判断两者的相关程度很强，故C错误： 对于D,由散点图可知，无论是最高气温还是最低气温，其数据点都呈现出随日期增 加而上升的趋势，为正线性相关，故D正确. 5.答案：D 解析：正n边形的n条边相等，故这n个向量的模相等.故选D. 6.答案：D 解析：由题意得f(5)=-5+5=0,f'(5)=-1. 故选D. 7.答案：C 解析：连接AM, D 由题态：-F-0+0列-0+0)D+名W-而 =x AB=10 AB AP 令 AC =y,则AC=AP y AQ =2 4D=但a=40+1p+40 AD 12x 12y 3z 11,1 1 :N0,P,Q四点共面12x+12y+ -+ =1≥3 432xz (当且仅当：=：时取等 号)， .yz 16 .d=yd, 设点C到平面BAD的距离为d,则点P到平面BAD的距离为AC 又Sao=)AB-ADsin∠BMD,Sae=240A0sin∠BMD, 1 1 .=3Aog'0 AO:A袒. Sowo'd 3 ABDy=2≥ 1 6即的最小值为1· 16 故选：C 8.答案：B 222i--21+1=2-21-1-i,所以 架析：因为-智科1司2 =1+i 所以z(z-1)=(1+i(-i)=1-i. 故选B. 9.答案：BCD 解析：对于A,若a=1,a=2,则公比9=2，S,=1+2+4=7≠6，故A错误： 对于B,血题意知G=a4,故，=4d=4如4又40~所以4=子，故B正确： 4/1- 对于C,当1时， ，,S2” 1 =2a-42，故 ，故 2 an=d. 9= 2 ar +S,=2a C正确； 对于D,由S,-S,=4a,’得a+a,=4a4'a,=3a,’所以9=3由S。-S=d,得 4+4=,又因为a,+4,=g(a+a),即=g×4a,得，=青放DE确 4 10.答案：ACD 解析：若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) Pr4+=P0-风8-风号方成A正确： 若A与B互斥则4仁8P4+国-A到-1日子放B箱误 P=P-PB=.= r=)-P8写京故C下确： P(A+B)=P(A)+(BP(4B)-P(AB)=P(4B)=12=P(4)P(B) 43 .A与B相互独立.∴.A与B相互独立，A与B相互独立 P(AB+AB=P(AB+P(AB)-P(ABAB P(A)P(B)+P(A)P(B) （-》×兮吕故D正脆 故选：ACD 11.答案：BCD 解析：f(x)=xe-mr=xe-m),求导得f'(x)=(x+)e-m A选项，当m=0时，f(x)=xe,f(x=(x+I)e, 令f(x)>0,解得x>-1,所以f(x在(-o,-上单调递减，在(-l,+∞)上单调递 增，则f≥-1-， e 即f(:的最小值为。，所以A选项错误： B选项，fx)有两个极值点，等价于'(x)=0有两个不同的实数根，即m=(x+I)e 有两个不同的解， 令gx=(x+1)e,则g'(x)=(x+2)e,g(x)在(-o,-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单 调递增，则8≥g-2= e2, 且当x→+oo时，8x→+o:当x→-0时，8x)→0；且x<-1时，8x)<0, g-1)=0, 所以当m∈ 。0时，m=x+e有两个不同的解，即f(x)有两个极值点，所以B 选项正确； C选项，若m≤-1”则m≥1”=x+训e-m之。+1>0，所以f内在定义 域内单调递增， 当x→+o时，f(x)→+0；当x→-o时，f(x)→-；则f(x的值域为R,所以C 选项正确； D选项，存在m∈(0，+o),使得f(x)≥k-m,即存在m∈(0，+oo),使得 k≤xe+m1-x, 令h(x)=xe+m1-x),则(x=(x+le-m,由B选项解析可知，当m>0时，若 h(x)=0,则x>-1, 不妨设x,为h'(x)=0的根，即(x+l)e=m, 当-1<x<x,h(x)单调递减，当x<x,h(x)单调递增， 则h()在x=x处取得最小值，h(x)=e(-x,2++1, 需要满足存在x,>-1,使得k≤h(x)成立， 令p(x)=e*(-x2+x+1),则p'(x)=-e*(x2+x-2)=-e*(x+2x-1),其中x>-1, 令p()>0,解得-2<x<1,所以p()在(L,+∞)上单调递减，在(-1，)单调递增， 则p()≤p①=e,此时m=(1+1e=2e>0满足题意，所以k≤e,所以D选项正确. 12.答案：(-2,3] 解析：因为点6a-9,a+2) a+2>0, 在角的终边上， sa>0'cosa50'所以{3a-9≤0解 得-2<a≤3」 13.答案：4 解析：由2x2+y-y2=1,得(2x-yx+)=1, t 3t3 从面2》-户-g-后打新+可片 2t、1 x-y t 故5x-y4+ 11 t-=3× 9 94+ r2 2+14 2t- +18 x-y 配w211，则5-3《 u2+18’ 3 ,则4+18w18 3× 不妨设 184, u>0 42 u 当且仅当u=18 即4=3N2时取等号，即最大值为万 4 √2 故答案为： 4 14.答案：y2=6x 解析：设AF=a,BF=b,a>0,b>0, 在△4FB中，AB=2V3,由余弦定理得12=a2+b-2 abcost120°， 所以2=o--ha+6-生-a+, 所以(a+b)2≤16，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时取等号， 即AF=|BF=2时，△AFB的周长最大， xo+ m=2 此时不妨设点 ,所以 4,化简 ,解得 (舍 3=mx0 m2-8m+12=0 m=6m=2 去)， 故抛物线C的标准方程为y2=6x. 故答案为：y2=6x 15.答案：(08=骨 0 49列 291 解析：()由正弦定理得sinB(cosA+V3sin4=sinA+sinC, .'sinBcos+3sinBsin4=sinA+sin(4+B), .'3sinBsinA sinA+sinAcosB, .sinA≠0， ∴.V3sinB=1+cosB, 1 ∴.sinB- 621 66 8-名君即8-号 3 (2()E-) 网@网+c网- 121 (m在△BCF中，由余弦定理得CF2=BC2+BF2-2·BC×BF×)= 24 即cF= 2 (法一)由题知M是△ABC的重心， :.CM=2cF=2I 3 3 ∴BM=2BE=59 3 在△BMC中，由余弦定理得cos∠BMC=BM+CM-BC_4 2BM.CM 91 (法二)又CF=)BA-BC. EF-+号c-C--4mc-cf-3. :.cos∠EMF=cos(BE,CF）= BE.CF 491 BE CF91 31.33 16.答案：(1)甲连胜三局的概率B=4×3×416 (2)需要进行第五局比赛，说明前四局甲胜两局负两局，有三种情况甲发球的两局甲 都胜，其余都负；乙发球的两局甲都胜，其余都负；甲发球的两局甲胜一局，乙发球 的两局甲胜一局，其余都负所以其概率=C×-+C×付[1- 子引c×分品 (3)X的所有可能取值为0,1,2,3 x=0（-03-4 X=1的情况是比赛四局，前三局甲胜一局负两局，第四局甲负则甲发球胜一局的概率 为×子1--})。乙发球甲胜-局的概率为 -引-副7 rx=2-n=%: x==a+-引子+1-》 所以X的分布列为 X 0 1 2 J 13 61 129 P 24 72 576 192 所以00=0+1号+2x03x-5 172 576192576 解析： 17.答案：(1)y2=4x (2)1 (3)3V2 解析：0览物线C:y=2x的焦点为F行0。 由F为线段OF的中点，可得F(1,0), 所以曲线C2的方程为y2=4x; (2)设4()，4(x),B(),B(x4y4), y=2x-2 联立=2x,消去x整理得y-y-2=0解得y=2⅓=-1 则A.2)5 x4-x2=-3 因为4B,=24B则以，-为=6 因为光=兰=号测菩草=3所以+%=2 所以马=4西=孚=4，即代4直骏4的斜率为号1： 4 3)因为4()，A(x2),B(),B(x44) 所以4B=(6-x-y),4,B=(x4-xy4-2), ONB B x-x2=2(x-x), 因为B=245所以-为=20-)， 图为= ,五 由y4-2=2(为-片)代入①得y4+=2(+), Jy4+=2(+), 由-为-20g-得男=之 因为=艺，=草所以5-产所以0m=20同群0限=20吸， 所以△OAB,△OA,B2且SAoA&:S△o4R=1:4, 所以S四边形44,4=3S△044，因为k46k品=-2，所以k4ko8=-2, 丛当=-2 所以上.当=-2，得上当 ,即 X X3 22 5=-21 y2=2x, 设48：X=m+n联立=网+n消去x得-2网-2n=0 所以y=-2n=-2,所以n=1,则4B:x=my+1,所以AB过定点(1,0)， 当且仅当页即=反时取等号，所以S464=354g≥35， 所以四边形44，B,B面积的最小值为3√2 18.答案：(1)证明见解析 2023V2 22 解析：(I)证明：因为A4L平面ABCD,ABC平面ABCD, 因此AB上AA,又因为正方形ABCD,所以AB上AD,AA∩AD=A, 所以AB⊥平面AADD,又ABc平面AABB, 所以平面AABB,⊥平面AADD: (2)以点A为原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示 的空间直角坐标系， A0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A(0,0,6),B(3,0,6),D(0,3,6. B D 若存在点P,设点P(x,0,6),∈[0,3]， 设平面P8D的法向量为n=(xy,z，PB=(6-,0,-6),BD=(-6,6,0), 元PB=(6-x)x-6z=0 则 z-BD=-6x+6y=0 ，令=6则n=(6.66- x=6 设平面BCD与平面PBD的夹角为0，易得平面BCD的法向量为n,=(O,0,1), nn √22 6-x√22 由已知有cos0=cosn,2 11, V72+(6-x)2 11 整理有(6-x)=16,解得x。=2,或x=10(舍)； 所以P(2,0,6,n,=(6,6,4,A4=(0,0,6), (①)设直线AA与平面PBD所成角为8， AAm √22 sin0,=cos AA,n 11 所以，直线44与平 PBD所成角的正弦值为 PBD 11 DP.n3√22 间易知DP=2,-30,设点，到平面 的距离为d,故d= 22 D PBD 点n到平面D的距离为3 22 19.答案：（①）f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为1，+∞). (2)1 (3)证明见解析； 解析：(1)当a=1时，f(x=(1-2x)lnx+x-l,定义域为(0，+o), 求导得到=-2nx+1-2红+1=-2nx+1-1, 令（到=2n+1,则当xe10,o时=2-月 x<0, 所以hx)在(0，+o)内单调递减，且h(1)=0, 即f'(x在(0，+∞)内单调递减，且'(1)=0， 所以当x∈(0,1时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增： 当x∈山，+∞)时，f'(x<0,函数f(x单调递减： 综上所述，f(x)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+∞). (2)因为f(x有且仅有1个零点， 所以方程(1-2x)lnx+ax-1=0有且仅有1个解， 即a=2lmx-lnx1 +二有且仅有1个解， 令g(d=2nx-nx+l xx’x>0’ 则g1)=2r-2+1mx x2 令m)=2x-2+lnx,则m(d=2+>0, 所以m(x在区间(0，+o)上单调递增， 又因为m(1)=0, 所以当0<x<1时，m(x<0,即g(x)<0,gx)单调递减： 当x>1时，m(x)>0,即g(x)>0,gx)单调递增； 所以函数gx在x=1处取得极小值也是最小值g1)=1, 当x→0*时，gx)→+0，x→+0时，gx)→+0， 因为a=2nx-血x+ 二有且仅有1个解， 所以a=1. (3)因为f(x)≤a+b对任意x>0恒成立， 所以f（xmx≤a+b,即b≥f(x)mx-a, 因此a-b≤2a-fxmx, 要证a-b<4,只需证明2a-f(xmx<4即可， 对函数求导得到fx=-2nx+-2+a, 令n川=-2nx+-2+a,则ny=23 20, 所以nx)在区间(0，+∞)单调递减， 即'(x)在区间(0，+∞)单调递减， 存在隆一极大值点5：满足f5=0:即a=21n+2- 在(0，x)内f'(x)>0函数f(x)单调递增， (x,+∞)内f'(x)<0函数f(x)单调递减， 所以当x=x时取得极大值也是最大值 f(o)=(1-2x)In xo+axo-1 =(1-2x)In xo+ 2n+2-1） -1 =lnx+2x,-2」 因此2a-/=22n+2hx+2-2勇=h-2426, 令=3nx-2x-2+2,则-3-2+3-2+x-2 当0<x<2时，t(x)>0,t(x)单调递增， 当x>2时，(x)<0,t(x单调递减， 故t(x在x=2时取得最大值(2)=3ln2-4-1+2=3n2-3<0, 因此3n6-2x,-2+2<0, 所以2a-7K-3n-2是+6s4,所以2a-11c4 故a-b≤2a-f(xo<4得证.