甘肃省定西市岷县第一中学等4校2026届高三下学期二诊模拟考试数学试卷

绝密★启用前 2025-2026学年岷县第一中学、第二中学、第三学校、第四中学高三二诊模拟考试 （数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．（5分）已知集合,,则(      ). A. B. C. D. 2．（5分）已知是奇函数，则实数a的值为(      ) A. B. C.0 D.1 3．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，，则“”是“”的(      ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．（5分）设是两个随机事件,已知,,,记,则(      ) A. B. C. D. 5．（5分）已知抛物线，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为，当时，如图所示的四边形的面积为(      ) A.43 B. C. D.42 6．（5分）已知正实数a,b满足,则(      ) A.2 B.1 C.-1 D.0 7．（5分）已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为(      )（残差=观察值-估计值） A.2 B. C. D.1 8．（5分）已知函数,在曲线与直线的交点中,若相邻交点的距离为.若且关于x的方程有三个不等的实根,则实数a的取值范围为(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．（6分）若复数,则(      ) A.z的共轭复数 B. C.复数z的实部与虚部相等 D.复数z在复平面内对应的点在第四象限 10．（6分）设点P是边长为2的正方形内部及边界上的动点,则的取值可能为( ) A. B. C. D.4 11．（6分）已知a，b，c成等差数列，若关于x，y的方程组恰有2组解，则(      ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（5分）在平面直角坐标系内，圆，若直线绕原点O逆时针旋转后与圆C恰有两个交点，则a的取值范围是___________. 13．（5分）在中,若,则的最小值为________. 14．（5分）过直线上一点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,则线段AB的长度的范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（16分）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图. (1)估算成绩的中位数； (2)以频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，用X表示成绩在的人数，求X的分布列和方差； (3)用分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记Y为这4人中至少一人成绩落在的人数，求Y的数学期望. 16．（10分）如图,在四棱锥中,,且. （1）证明:平面平面; （2）若,,且四棱锥的体积为,求与平面所成的线面角的大小. 17．（15分）在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足. （1）求角C; （2）若的面积为,点D为AB中点,且,求c边的长. 18．（16分）已知双曲线与双曲线的焦距相等. (1)求t的值及N的离心率. (2)设O为坐标原点，直线（且）与N交于A，B两点. （i）若，，证明：. （ii）若直线，的斜率之积为，证明：直线l不经过N的左焦点. 19．（20分）对于数列，若存在常数M满足，则称为“上界数列”，M为的“上界”，并把最小的M值叫做“上界临界值”，记为.记数列的前项和为，已知，. (1)判断是否为“上界数列”，并说明理由； (2)若，为数列的前n项和，求数列的“上界临界值”； (3)若，数列的“上界临界值”为，证明：. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.答案：D 解析：当x≤1时，0<y=2≤2， 所以M={y∈Rl0<y≤2， 由x+1>0得x>-1, 所以N={xeRx>-l, 所以M∩N={xl0<x≤2，MUN={xx>-I, 故选：D 2.答案：C 解析：要使f(x=1n+!ar2有意义， x-1 测>0，即(x+川->0，解得>1咳<- 所以函数f(x的定义域为(-0，-1)U(1,+o,关于原点对称 f(-x)=I-xtI-a(-x)'-I*-1-ax. -x-1 x+1 国为列=所以号r=背)片 即n-+in+!=2ax2,也即ln x+1 x-1 =n1=0=2a2, 因为x≠0，所以a=0. 故选：C 3.答案：D 解析：如图，ml/a,n/WB, 若a⊥B,则m与n相交或异面，不一定垂直； 若m⊥n,则⊥阝不一定成立. 0 所以“a⊥B”是“m⊥n”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4.答案：C 解析：由已知得P(团=1-P(A)= 5 注意到P闭=P(aB)=,所以4B相互独立， 322 故P(AB)=P(A)P(B)=÷×二= 535 3,2213 P(C)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=+ 53515 又因为C=AUB,故A∩C=A, 3 所以P4C)=PLAC-P_5_9 P(C) P(C)13-13 15 故选：C 5.答案：C 解析：由题意可知：抛物线E:y2=4x的焦点为F(1,0), 由题意可知：直线4C:)=V5(x-,直线BD:y=-5 联立方程 y=5(x-l,消去y可得3x2-10x+3=0, y2=4x 则+号可得4C++2 16 联立方程 x,消去y可得x2-14x+1=0, y=- 3 y2=4x 则xg+xD=14,可得BD=xg+xD+2=16; 所以四边形c0的E积为5o-4CBD小-台15-g 2 3 6.答案：C 解析：a+9b-6=3lna+3lnb=3lnab),a+9b=3lnab)+6, 由基本不等式得，a+9b≥6√ab,即3lnab)+6≥6Vab, 3lnab)≥6√ab-6:6 Invab≥6Vab-6;Invab≥√ab-1 又因为Invab≤√ab-1恒成立，所以ln√ab=√ab-1, 故√ab=bab=1即a=b 1 1=-1. 所以log6a=log 7.答案：B 解析： 289 9 增加两个样本点后x的平均数为9-1+2= =2×=2,÷2y=2x8=16, 84 ∴增加两个样本点后y的平均数为6+5+9=3， 10 .3=3×1+a,解得a=0, .新的经验回归方程为y=3x,则当x=4时，y=12, ∴.样本点4,10)的残差为10-12=-2. 故选：B. 8.答案：B 解析：因为f(x)=2W5 sin0s0x-2cos20x+1=√5sin0x-cos0x 2 2 2 =2sin 因为曲线y=f(x)与直线y=2的交点中，相邻交点的距离为π· 所以两数到的最小正周期为7==行可得0=2.即1到=2n2x-君副 由f(x)-(a+1)f(x)+a=0可得[f(x)-a][fx)-1]=0, 解得f(x)=a或f(x)=l, 当骨≤xsx时，号≤2x君≤1 3 6-6 由f到=2m2x-1可得sm2x-可得2x--解得x= 66 所以方程f(x)=1 [后网上只有一个解故方程了=a在[否上有两个不等的解， 令gx=f(x-a=2sim 由s2x-s3可得sxs5, 62 公扫3π二2x元≤可得≤x元 66 6 所以函数gx)在区间 π5π 上单调递减，在 6,π上单调递增， 5 3’6 由题意可知，函数g(x)在区间 个 上有两个不等的零点， g 3 =2sin5-a=2-a≥0 2 π 所以86 =2sin 3 -a=-2-a<0,解得-2<a≤-1. 1元 8(π=2sin -a=-1-a20 6 因此，实数a的取值范围是(-2，-1 故选：B. 9.答案：ABD -i-i1+i)1-i1i 解析：2=1-i1-1-i1+i222 1+1+,故正确： 选项A:z=。+。= 222 选项B: H日-9故正确： 11 选项C:z= ,实部为虚部为，故错误； 22 选项D:z= 1 在复平面对应坐标为 在第四象限，故正确： 22 故选：ABD 10.答案：BCD 解析：以A为原点，AB,AD分别为x,y轴建立直角坐标系， 则A(0,0),B(2,0),C(22),D(02),设P=(xy), PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PC=(2-x,2-y), 所以PA.(PB+PC=-4x+2x2-2y+2y2 0 又-≥0-≥0.当x=1y时取得最个值为 因为0sx≤20ys2,所以(x-eD-eo 当-1=1，-时取得最大首为21+号)=4， 则A(丽+PC)的取值范围为[4，选项BcD符合 A B末 11.答案：AD 解析：因为a,b,c成等差数列，则2b=a+c, 代入ax+by+c=0得到2ax+(a+cy+2c=0, 2x+y=0 整理得到a(2x+y)+(y+2)c=0,令 y+2=0，解得x=1y=-2, 所以直线ax+by+c=0过定点(1，-2)， 又由lnx-1)-y-1=0,得到y=lnx-1)-1, ax+by+c=0 因为方程组 血(x-1)-y-1=0恰有2组解， 则y=lnx-1-1与直线ax+by+c=0恰有2个交点， 设过点(1，-2)的直线与y=lnx-1-1切于点xo,lnx。-1-1, 叉/=，则s--1-2 七o-1 x-1 ,得到n(x。-1=0,解得x,=2 所以过点(1，-2)且与y=lnx-1)-1相切的直线方程为y-（-2)=x-1, 即y=x-3,又a+创+e=0的斜率为k=名，由图可知， 要使y=lnx-1)-1与直线ax+by+c=0恰有2个交点， 则0<-<1，即-1<<0，所以b<0,0<+1<1,故A和D正确， 取a=-1,b=2,显然满足-1<a<0,但a>0,所以B错误， 取a=1,b=-2,显然满足-1<a<0,但a+b=-1<0,所以C错误， x=1 y=x-3 y=-2 y=In(x-1)-1 12.答案：（-22,2√2) 解析：直线I:x-y+a=0的斜率为l,过点(-a,0), 绕原点O逆时针旋转90°后，斜率为-1，过点(0，-a), 得到直线x+y+a=0,若该直线与圆C存在两个公共点， 则圆心C(-3,3)到直线x+y+a=0的距离d=-3+3+a<2, √2 解得-2V2<a<2√2，即a的取值范围是(-2V2,2W2). 13.答案：√5 解析：anB=cosA若cosA<0,则amB<0,比时4B均为钝角，不合要求， 1+sinA 故cosA>0,tanB>0,即A,B均为锐角，tanA+2tanB>0, cos24 -sin24 -sin A+sin A cos cos 2 2 2 tanB=- cosA 2 2 1+sin cos4+2sin 4 cos4+sin4 2 2 2 +cos 02 2 A A A 0s22=A co sin 1-tan A cos 2 4 1+tan 2 +sin 2 2 A 2tan 1-tan A 2tan +2 _tan 故tanA+2tanB= 2,+2 2 1-tan24 1+tan- 2 1-tan24 2tan4-2tan4+2 2 2 1-tan24 令tm=1.因为40引所以号=01=am子e@, 则tanA+2tanB= 2-21+2(2-2-21+4_2t-2-2, 1-t2 1-t2 1-t2 令u=t-2∈（-2，-1)，则t=u+2, tanA+2tanB=_-2u -2= --2 1-(u+22 2=2-4u-32s2 3 +3+4 共中w+≤-2-25当且仅当w=子即g5时等号成立 u tan4+2tanB = 故 -22,2-2=5 2 u+3+4-2V3+4 3 故答案为：√5 14.答案：「V2,2 解析：由题意知，x2+y2-2x-2y+1=0→(x-1)2+(y-1)2=1, 则圆心C(1,),半径r=1, 如图，过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B, 连接AB,CA,CB,CP,则AC⊥AP,CB⊥BP,易知△CPA=△CPB, 所以AB1CP,有H=20l,SCI4P川-rcPf-r,Se=ADCP, 所以rMCp-r2=)4D-CPl,得 a-vn 当CP最小时，AD取得最大值，即点C到直线x+y-4=0的距离为 特5o-a-- 2所以4B=万： 又A,B,C三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以AB<2r=2 所以√2≤AB<2,即线段AB的长度的取值范围为[V2,2). 故答案为：[2,2) 15.答案：(1) 260 3 ②分布列见解析，引)=子 ®-9 解析：(1)由图知(0.005+0.01+0.015+x+0.04)×10=1,解得x=0.03, 设中位数为m,则0.05+0.1+0.15+m-80)×0.03=0.5,解得m= 260 3 《2)由题知成绩在60,80内的概率为P=0.25,X、83, X的可能取值为0,1,2,3， 又Px-0-c1-x-=-G*- Px-2-c0-日2x=-C日=4 所以X的分布列为 X 0 2 3 P 27 27 9 1 64 64 64 64 x--号 (3)因为0.3：0.4=3：4， 则抽取的7人中，有3个成绩在[80,90)，4个在[90,100， 由题知Y的可能取值为1,2,3， 又P(Y=)= C4,P1y=2= CC 12 CC2 18 -C4341 P(Y=3)= CC 4 C-C34’ 所以y的数学期望为E(Y)=1×2+2×18+3x4-30 34 34 3417 16.答案：（1)证明见解析 （2)30°. 解析：(1)因为在四棱锥P-ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°， 所以AB⊥PA,CD⊥PD, 又ABIICD,所以AB⊥PD, 因为PA∩PD=P,PA,PDC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)取AD中点O,连结P0, 因为PA=PD,所以P0⊥AD, 由(1)知AB⊥平面PAD,ADC平面PAD,所以AB⊥PO, 因为AB∩AD=A,AB,ADC底面ABCD, 所以PO⊥底面ABCD, 设PA=PD=AB=DC=a,求得AD=Va+a2=V2a,Po=2a B 因为四棱锥P-ABCD的体积为 1 1 所以'，-48cD=3×S日边形xP0 =3XAB×ADxP0= 1 f,xa×2axV2a=2a3= -= 3 2 解得a=2, 所以PB=VP02+A02+PB2=√2+2+4=22， 因为PO⊥底面ABCD, 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角， 在RtaP0B中，sin∠PBO=P0=V2_1 PB 22 2 所以∠PB0=30°. 所以PB与平面ABCD所成的线面角为30° 17.答案：1)C=骨