七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷（新教材湘教版，举一反三，测试范围：第1章 整式的乘法～第5章 轴对称与旋转）

七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·北京·月考）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．（25-26七年级上·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及将不等式解集表示在数轴上，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，最后把解集表示在数轴上，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 5．（25-26七年级上·山东临沂·月考）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的平方根是9．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：①、∵，∴是4的平方根，故①正确； ②、∵，∴ 16的平方根是 ，故②错误； ③、∵负数没有平方根，∴没有平方根，故③错误； ④、∵，∴ 0.25的算术平方根是，故④正确； ⑤、∵，∴的立方根是 ，故⑤错误； ⑥、∵，，∴的平方根是，故⑥错误； 综上所述，正确的说法共2个． 6．（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 7．（25-26七年级上·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式，然后求解即可，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 8．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的性质，依次证明各结论即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 若平分， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 若， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故结论②正确； ∵， ∴， 若， ∴， 又∵， ∴，不一定满足，故结论③错误； 综上，正确的结论为①②，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·四川达州·期末）如图，在​中，​，是​上一点，连接​，将​沿​对折得到​，若​恰好经过点​，，则​的度数为________ 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到等角，结合三角形内角和定理，通过等量代换证得，再由角的倍数关系计算出的度数． 【详解】解：将​沿​对折得到， ，， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26七年级上·天津西青·月考）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2），则大正方形纸片的边长为___________． 【答案】 【分析】设大正方形边长为m，根据面积相等可得，即可求解． 【详解】解：设大正方形边长为m， 即， 解得． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是________． 【答案】/30度 【分析】根据旋转的性质可得，根据平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点旋转到的位置， ． ． 在中，． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 15．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 【答案】7 【分析】运用多项式乘多项式求得所拼长方形的面积进行求解． 【详解】解： ， 类纸片面积为， 需要类纸片的张数为． 16．（25-26七年级上·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数． 【详解】解：作，如图， ， ， ，， 是的平分线， ， ， ， 同理可得，， ， ， ，即， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 18．（6分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 19．（8分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明； （2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）解：如图，设与的交点为，过点作， ， ， ， 与垂直， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心是平行线的性质与判定，第1问通过角的转化证平行，第2问通过作辅助线，将角度问题转化为平行线的同旁内角计算，关键是辅助线构造与角度转化． 20．（8分）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上． 图1              图2              图3 (1)在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图，以点C为对称中心画出△DEC； （2）如图，以AC边所在的性质为对称轴画出△ADC； （3）如图，利用网格特点和平行四边形性质画出点D，从而得到. 【详解】（1）解：如图，△DEC为所作； （2）解：如图，△ADC为所作； （3）解：如图，为所作. 【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换． 21．（10分）（25-26七年级上·福建厦门·月考）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 (1)求长方形封皮的长和宽； (2)请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】（1）设长方形封皮的长为，则宽为．长方形封皮的长与宽的比为，面积为列出方程，利用平方根解方程即可． （2）计算出正方形卡片的边长，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设长方形封皮的长为，则宽为． 根据题意，得， 解得：或（负值舍去）． 则长方形封皮的长为，宽为． （2）解：∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵，且 ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 23．（12分）（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 24．（12分）（25-26七年级上·全国·期中）某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数保持不变，为 【分析】（1）根据两直线平行同位角相等，以及平角为，利用角的和差关系得到的度数． （2）过点作，根据，得到，根据两直线平行内错角相等，同旁内角互补，以及，得到和的关系． （3）过点作，得到，根据两直线平行内错角相等，同位角相等，得到，由（2）可知，，继而得到，即，在三角板旋转的过程中保持不变． 【详解】（1）解：如图，标注， 直线， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， , ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：的度数保持不变，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， ， ，且在三角板旋转的过程中保持不变． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材湘教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 整式的乘法~第5章 轴对称与旋转 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·北京·月考）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 4．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东临沂·月考）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的平方根是9．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 9．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级上·四川达州·期末）如图，在​中，​，是​上一点，连接​，将​沿​对折得到​，若​恰好经过点​，，则​的度数为________ 12．（25-26七年级上·天津西青·月考）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2），则大正方形纸片的边长为___________． 13．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是________． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 15．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 16．（25-26七年级上·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 18．（6分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 19．（8分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 20．（8分）如图，在4×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上． 图1              图2              图3 (1)在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形； (2)在图2中，画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； (3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形． 21．（10分）（25-26七年级上·福建厦门·月考）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 (1)求长方形封皮的长和宽； (2)请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 22．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 23．（12分）（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 24．（12分）（25-26七年级上·全国·期中）某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $