七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷（新教材北师大版，举一反三，测试范围：第1章 整式的乘除～第5章 图形的轴对称）

七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 整式的乘除~第5章 图形的轴对称 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）下列事件是随机事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．367人中至少有2人的生日相同 C．在标准气压下，冰融化 D．小明买了一张彩票中奖 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 4．（25-26七年级上·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 6．（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 8．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 9．（25-26七年级上·山东威海·期末）有两根长度分别为4cm，9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm）的木棒与已有的两根木棒钉成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 10．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 12．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 13．（25-26七年级上·四川达州·期末）在分别写着“线段、等腰三角形、直角三角形、等边三角形”的张卡纸中，小刚从中任意抽取一张卡纸，抽到是轴对称图形的概率为________ 14．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 15．（25-26七年级上·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 16．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 18．（6分）（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 19．（8分）（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，．请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点、；与的延长线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）问的条件下，若，求证：． 请将下列证明过程补充完整 证明：∵垂直平分 ∴___________①___________， ∴为等腰三角形 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴___________②___________ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴___________③___________ 在和中 ∴（___________⑤___________） 20．（8分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小； (4)求的面积． 21．（10分）（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 22．（10分）（25-26八年级上·重庆大足·期末）是等边三角形，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点． (1)如图，当点在线段上时（不与点、点重合）作交于点，证明：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接，作交射线于点，连接，请根据题意补全图形，并探究线段、、的数量关系． 23．（12分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 24．（12分）（25-26七年级上·全国·期中）某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）下列事件是随机事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．367人中至少有2人的生日相同 C．在标准气压下，冰融化 D．小明买了一张彩票中奖 【答案】D 【分析】不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：．没有水分，种子发芽是不可能事件，故该选项不符合题意； ．367人中至少有2人的生日相同是必然事件，故该选项不符合题意； ．在标准气压下，冰融化是不可能事件，故该选项不符合题意； ．小明买了一张彩票中奖是随机事件，故该选项符合题意； 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 3．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 4．（25-26七年级上·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 5．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 6．（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 8．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 中，，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最小值 9．（25-26七年级上·山东威海·期末）有两根长度分别为4cm，9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm）的木棒与已有的两根木棒钉成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再找出范围内的整数个数即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即， 又∵为整数， ∴可取6、7、8、9、10、11、12，共7种选择方案， ∴木棒长度的选择方案有7种． 10．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出 ，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴与互余，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·广东河源·期中）河源湿地公园是国家级湿地公园，集自然景观、生态保护和科普教育于一体．为了解该湿地公园内候鸟的情况，从中捕捉只候鸟，做上标记后放回，经过一段时间后，捕捉的候鸟中有标记的频率稳定在左右，则估计该湿地公园中约有________只候鸟． 【答案】 【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体．根据标记重捕法的原理，利用重捕样本中有标记候鸟的频率估计候鸟总数． 【详解】解：设湿地公园中候鸟的总数为只． 首次捕捉并标记只候鸟后放回， 重捕时，有标记候鸟的频率稳定在，即， 解方程得，故估计该湿地公园中约有只候鸟． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要类纸片的张数为______． 【答案】7 【分析】运用多项式乘多项式求得所拼长方形的面积进行求解． 【详解】解： ， 类纸片面积为， 需要类纸片的张数为． 13．（25-26七年级上·四川达州·期末）在分别写着“线段、等腰三角形、直角三角形、等边三角形”的张卡纸中，小刚从中任意抽取一张卡纸，抽到是轴对称图形的概率为________ 【答案】 【分析】先根据轴对称图形的定义，判断出张卡纸中是轴对称图形的图形个数，再利用概率公式计算即可. 【详解】解：根据轴对称图形的定义，可知在“线段、等腰三角形、直角三角形、等边三角形”四个图形中，是轴对称图形的有线段、等腰三角形、等边三角形，共个， 总共有种等可能的结果， 所以抽到是轴对称图形的概率为. 14．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 15．（25-26七年级上·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数． 【详解】解：作，如图， ， ， ，， 是的平分线， ， ， ， 同理可得，， ， ， ，即， ， ． 16．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动，若两点在运动过程中和会出现全等的情况，则点Q的速度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点，表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：，， ， 点D为的中点， ， 设点P、Q的运动时间为t，则，， ①当，时， ， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当，时， ， ， ， 故点Q的运动速度为， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明； （2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）解：如图，设与的交点为，过点作， ， ， ， 与垂直， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心是平行线的性质与判定，第1问通过角的转化证平行，第2问通过作辅助线，将角度问题转化为平行线的同旁内角计算，关键是辅助线构造与角度转化． 18．（6分）（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 19．（8分）（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，．请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点、；与的延长线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）问的条件下，若，求证：． 请将下列证明过程补充完整 证明：∵垂直平分 ∴___________①___________， ∴为等腰三角形 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴___________②___________ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴___________③___________ 在和中 ∴（___________⑤___________） 【答案】(1)图见解析 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】（1）先根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”这一原理，分别以、为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧的两个交点连线即为的垂直平分线，再按要求找到直线与、、延长线的交点、、，连接并保留所有作图痕迹即可； （2）先根据垂直平分，由垂直平分线上的点到线段两端距离相等得到，再结合等量代换得到，接着由垂直和对顶角相等推导出两组对应角相等，再结合与均为直角得到第三组角相等，最后根据判定定理完成的证明，按逻辑补全证明过程中的空缺内容即可． 【详解】（1）解：如图，、、即为所求； （2）证明：∵垂直平分， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 20．（8分）（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小； (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）利用轴对称的性质，即可作出关于直线l对称的； （2）依据格点P到点A、B的距离相等，作出的垂直平分线，经过的格点即为所求； （3）根据两点之间，线段最短，连接，与直线l的交点Q即为所求； （4）依据割补法进行计算，即可得到的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图所示，网格中满足条件的点P共有4个； （3）解：如图所示，点Q即为所求； （4）解：． 21．（10分）（25-26八年级上·四川眉山·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： （1）若x满足，则的值为 ． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，，令，，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】解：（1）设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）设正方形边长为， ∵，， ∴，， 令，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 22．（10分）（25-26八年级上·重庆大足·期末）是等边三角形，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点． (1)如图，当点在线段上时（不与点、点重合）作交于点，证明：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，连接，作交射线于点，连接，请根据题意补全图形，并探究线段、、的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，根据对称的性质得，然后证明，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，根据对称的性质推出，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：补全图形如下，线段、、的数量关系：． 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 23．（12分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 24．（12分）（25-26七年级上·全国·期中）某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数保持不变，为 【分析】（1）根据两直线平行同位角相等，以及平角为，利用角的和差关系得到的度数． （2）过点作，根据，得到，根据两直线平行内错角相等，同旁内角互补，以及，得到和的关系． （3）过点作，得到，根据两直线平行内错角相等，同位角相等，得到，由（2）可知，，继而得到，即，在三角板旋转的过程中保持不变． 【详解】（1）解：如图，标注， 直线， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， , ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：的度数保持不变，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， ， ，且在三角板旋转的过程中保持不变． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $