七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷（新教材人教版，举一反三，测试范围：第7章 相交线与平行线～第11章 不等式与不等式组）

七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材人教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第7章 相交线与平行线~第11章 不等式与不等式组 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）若点在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山东临沂·月考）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的平方根是9．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级上·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江·期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2026分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（  ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·月考）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为______． 13．（25-26七年级上·天津西青·月考）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2），则大正方形纸片的边长为___________． 14．（25-26七年级上·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ____ ． 15．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 16．（25-26七年级上·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 18．（6分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 19．（8分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 20．（8分）（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 22．（10分）（25-26七年级上·福建厦门·月考）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 (1)求长方形封皮的长和宽； (2)请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 23．（12分）（25-26八年级上·浙江金华·期末）中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 24．（12分）（25-26七年级上·全国·期中）某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）若点在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，以及第四象限的点的坐标特征为，进行求解即可. 【详解】解：∵点在第四象限 ∴点的横坐标为正，纵坐标为负 ∵点到轴的距离为，到轴的距离为 ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为 ∴点的横坐标为，纵坐标为 即点的坐标为. 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及将不等式解集表示在数轴上，熟练掌握找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 先分别求出不等式的解集，再利用找一元一次不等式组的解集的规律求解，最后把解集表示在数轴上，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 3．（25-26七年级上·四川泸州·期末）直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 4．（25-26七年级上·山东临沂·月考）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的平方根是9．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：①、∵，∴是4的平方根，故①正确； ②、∵，∴ 16的平方根是 ，故②错误； ③、∵负数没有平方根，∴没有平方根，故③错误； ④、∵，∴ 0.25的算术平方根是，故④正确； ⑤、∵，∴的立方根是 ，故⑤错误； ⑥、∵，，∴的平方根是，故⑥错误； 综上所述，正确的说法共2个． 5．（25-26七年级上·山东泰安·期末）对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如： ，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 7．（25-26七年级上·浙江·期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的意义． 整理方程组，从形式上和原方程组相同，然后根据方程组的解进行求解即可． 【详解】解：， 整理得， 对照得，， 解得， 故选：A． 8．（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 9．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2026分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点的坐标，点的坐标规律问题， 先确定前几个点的坐标变化的规律，进而得出第2024分钟点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知 点表示粒子运动了0分钟，表示粒子运动了（分钟）； 再向左运动，表示粒子运动了（分钟）； 再向下运动，表示粒子运动了（分钟），将向左运动， 表示粒子运动了（分钟），此时粒子向下运动， ∴在第2024分钟时，粒子又向下运动了个单位长度， 此时粒子的位置是，再向右运动1分钟，并向上运动1分钟， 可得第2026分钟的位置是． 故选：D． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的性质，依次证明各结论即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 若平分， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 若， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故结论②正确； ∵， ∴， 若， ∴， 又∵， ∴，不一定满足，故结论③错误； 综上，正确的结论为①②，共个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·月考）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键．将原方程整理后得到关于，的方程组，解方程组即可得到这些方程的公共解． 【详解】解：已知是关于，的二元一次方程， 去括号得：， 整理得：， 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， 可得方程组， 解得：， 这些方程的公共解为， 故答案为： 13．（25-26七年级上·天津西青·月考）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2），则大正方形纸片的边长为___________． 【答案】 【分析】设大正方形边长为m，根据面积相等可得，即可求解． 【详解】解：设大正方形边长为m， 即， 解得． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ____ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，通过作平行线将角进行转化是解题的关键． 过点作，过点作，通过“两直线平行，同旁内角互补”得，进而得，根据、与、 的数量关系，得出的和，结合辅助线的平行关系，将、转化为、，即可得的度数． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 【答案】32 【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和， 可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位， ，， 与坐标分别是和， 如图： 线段在平移过程中扫过的图形面积 ． 故答案为：32． 16．（25-26七年级上·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数． 【详解】解：作，如图， ， ， ，， 是的平分线， ， ， ， 同理可得，， ， ， ，即， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 18．（6分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 19．（8分）（25-26七年级上·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明； （2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）解：如图，设与的交点为，过点作， ， ， ， 与垂直， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心是平行线的性质与判定，第1问通过角的转化证平行，第2问通过作辅助线，将角度问题转化为平行线的同旁内角计算，关键是辅助线构造与角度转化． 20．（8分）（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点的长距为4，且点B在第四象限内，点C的坐标为，判断点C是否为“完美点”，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)点是“完美点”，理由见解析 【分析】（1）根据长距的定义进行判断即可； （2）根据点的长距为4，得到，再根据点B在第四象限内，，求出的值，再代入求出点C的坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的“长距”为2； （2）解：点C是“完美点”；理由如下： ∵点的长距为4，且点B在第四象限内， ∴，， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴点C的坐标为，即， ∴点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为， ∴点是“完美点”． 21．（10分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 22．（10分）（25-26七年级上·福建厦门·月考）为宣传某地旅游资源，一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 (1)求长方形封皮的长和宽； (2)请你通过计算，判断正方形卡片能否直接全部装进长方形封皮中． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】（1）设长方形封皮的长为，则宽为．长方形封皮的长与宽的比为，面积为列出方程，利用平方根解方程即可． （2）计算出正方形卡片的边长，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设长方形封皮的长为，则宽为． 根据题意，得， 解得：或（负值舍去）． 则长方形封皮的长为，宽为． （2）解：∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵，且 ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 23．（12分）（25-26八年级上·浙江金华·期末）中国象棋是我国传统文化中的一部分，体现了古人的智慧，象棋的一个规则是所有棋子最后都要落在网格的格点处．小明是象棋爱好者，在学习了平面直角坐标系后，在如图所示的一半棋盘上建立了一个直角坐标系，这样，“炮”的位置是 (1)请你在图中画出小明建立的直角坐标系，并写出棋子“相”的坐标； (2)棋子“马”走的规则是每步走“日”字形，例如：图中“马”走到“A”处我们可以说成：“马”向上平移1个单位，向右平移2个单位．请回答下列问题： ①“马”可以走到“B”处吗？若可以请写出平移的方法？ ②直接写出点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标． 【答案】(1)坐标系见解析，棋子“相”的坐标为 (2)①可以，“马”向上平移2个单位，向右平移1个单位 ② 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，点的平移，点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系． （1）根据“炮”的位置建立平面直角坐标系，然后根据坐标系写出点的坐标即可； （2）①根据点的平移规律进行求解即可；②在线段上找出一点，写出坐标即可． 【详解】（1）解：∵“炮”的位置是， ∴建立直角坐标系如下： ∴棋子“相”的坐标为； （2）解：①“马”可以走到“B”处， “马”向上平移2个单位，向右平移1个单位； ②如图所示， 点“B”与“炮”所在点之间的线段上的任一点，该点的横坐标取值范围为，纵坐标为2， 故点“B”与“炮”所在点之间的线段上任意一点的坐标为． 24．（12分）（25-26七年级上·全国·期中）某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数保持不变，为 【分析】（1）根据两直线平行同位角相等，以及平角为，利用角的和差关系得到的度数． （2）过点作，根据，得到，根据两直线平行内错角相等，同旁内角互补，以及，得到和的关系． （3）过点作，得到，根据两直线平行内错角相等，同位角相等，得到，由（2）可知，，继而得到，即，在三角板旋转的过程中保持不变． 【详解】（1）解：如图，标注， 直线， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， , ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：的度数保持不变，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， ， ，且在三角板旋转的过程中保持不变． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $