题号猜押09 贵州省中考数学24题（6大考点，解答题）（贵州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押09 贵州省中考数学24题（解答题） 押题预测 ●考点1二次函数的应用 1.(2026贵州遵义播州区练习)【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为横竖”世界第一，己打造“云端景区”，成为贵州桥 旅新地标.某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究. 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线C,以0点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线G经过 A0,12),B(40,4,顶点的横坐标为30. P。 图1 图2 (1)求抛物线C的解析式： (2)【设计应用】在y轴上点P(0,18)处挂一条与抛物线G形状相同的抛物线灯带C,抛物线C,最低点到y轴 的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点M(60,18)处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线G于点N,设射线MN的解析式为 y=c+b(0≤x≤60)，彩灯射线以点M为旋转中心，从抛物线C最低点处顺时针方向旋转，与抛物线 C,C,都有交点时，求k的取值范围. 2.(2026贵州遵义新浦区一模)如图是贵州少数民族的传统体育活动一一打陀螺，人们需要将手中的陀 螺用力掷出，陀螺的运动轨迹可近似看作一条抛物线.小明在比赛中将陀螺从点O0,0)处掷出，己知陀螺 第一次运动轨迹的最高点距离地面0.2m,此时陀螺距离小明的水平距离为4米.陀螺落地后会形成第二次 弹跳，假设第二次弹跳的轨迹形状与第一次相同，但由于能量损耗，最大高度变为0.05米，图中曲线OA是 第一次运动轨迹，曲线AC是第二次运动轨迹 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (①)求陀螺第一次运动轨迹的函数表达式： (2)在距离小明6m处的地面上有一个小石块，石块高度为0.14m.请问陀螺在第一次运动过程中是否会碰到 石块？请通过计算说明理由； (3)在第二次弹跳时经过一棵倒伏的小树附近，其树枝BC与陀螺运动轨迹保持在同一平面内，己知 heiy=-hxt3 80x+20 求在运动曲线BC段内陀螺与树枝的最大竖直高度差 3.(2026贵州遵义汇川区一模)为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机 飞行实验活动.同学们发现，从垂直地面的起降架OA的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞 行路线呈抛物线形状. 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架OA的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架OA的水平距离为18米时，达 到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行.以点O为原点，表示地面的 直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. A E D B C 图1 图2 【解决问题】 (1)求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； (2)如图2，在(1)的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形BCDE,其中 OB为36米，BC为1米， ①当平台升高至0.5米时（(BE0.5米)，求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的取值范围 4.(2025·贵州清镇市·模拟)交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速 度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量9（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数， 速度￥（千米时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k(辆/千米)指通过道路指定断面单位长度内的 车辆数.为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度之间关系的部分数据如下表： 速度（千米时） 5 10 20 32 40 分 流量9（辆时） 550 1000 1600 1792 1600 1152 (I)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画9，v关系最准确的是 (只填正确答案的序号) 10000 ①q=10v+500;②q= ;③g=-2v2+120v. N (②)请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知9，，k满足9=k.某市交通运行监控平台显示，当12≤v<18时道路出现轻度拥堵.试分析当车流 密度飞在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵， ·考点2二次函数中的系数的取值范围 1.(2025·贵州遵义·模拟)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出 的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，喷水 池中心为原点建立直角坐标系 9-876543210123456789x (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式： (②)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离 水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩 大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷 水池水柱的最大高度， 2.(2025·贵州遵义红花岗区一模)2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横 截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 中的抛物线C:y= ++近似表示滑雪场地上的一峰小山，滑雪爱好省小从点O正上方A .55 3 点滑出，滑出后延一段抛物线C2:y= +bx+c运动. 6 跳台 C N水平线O (1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则b=,℃= (2)在(1)的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为，米？ (3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围. 3.(2025贵州铜仁市预测)己知抛物线y=ax2-2ax+3a≠0)与x轴交于点A. (1)抛物线的对称轴是 经过的定点坐标是 (写一个即可)； (2)若点A的坐标为-1,0)，求当-2≤x<2时函数值y的取值范围； (3)点M(x,m、N(x2,n)在抛物线上，若当x=a,2<x2<3时，都有m<n,求a的取值范围 4.(2026贵州遵义红花岗区一模)在某校科技节50米水火箭”项目中，某同学制作了一款水火箭.为验 证其性能，通过测试发现：水火箭相对于出发点的飞行水平距离x(单位：)随飞行时间t(单位：s)的 变化满足一次函数关系：x=4t,飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)的变化满足二次函数关 系，数据如下表： 飞行时间ts 0 2 6 飞行高度ym 0 14 24 30 在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ,当弹射口高度变化时水火箭飞行的轨迹可视为 抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP=64m,AB=8m. 问题解决： 4/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 水平地面 A B 图1 图2 (I)确定函数表达式：求出y关于t的函数表达式： (②)探究飞行距离：当水火箭落地时，求飞行的水平距离； (3)确定弹射口高度：当水火箭落到回收区域AB内（不包括端点A,B)时，求出发射台PQ弹射口高度h 的变化范围 考点3二次函数的平移 1.(2025·贵州六盘水适应性考试)如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计 图为片=+4，为避开B点的淤泥层，第二次设计图为三二6+4，为了更好的利用上A点的岩石层， 次设计图是将16x+4的图象向右平移了4G个单位得 V2 B D E (1)比较大小：a 6（填>”，“<”或= 1 (2)若点A的横坐标为-4，求a的值： (3)在(2)的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标. 2.（2026贵州铜仁二中.一模)在我们的日常生活中，经常采用自然光晾晒衣物.如图1是小星家房前晾 衣服的实景图，绑晾衣绳的铁柱AB和CD均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣 绳AC的形状可以近似看作一条抛物线，如图2是它的示意图，小明以B为原点O,地面BD、铁柱AB所 尿轴建立平面直角坐标系，揽物线部分满足函数表达式y=6?+x+2,已知铁柱C 米，0D=8米. 5/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Ay/m Ay/m M F F2 (B)O D x/m (B)O D x/m 图1 图2 图3 (1)求图2中抛物线的解析式： (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小星用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子，如图3， MN的高度为1.55米，通过调整MN的位置，使左边抛物线F对应的函数关系式为y=(x-2)+k,且最 低点离地面1.4米，求水平距离DW: (3)在(2)的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为2=0.09(x-5)+1.19,将图3中F,F两 条抛物线组成的新函数图象整体向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在5<x<6时，y随x值 的增大而减小，求出m的取值范围， 3.(2025·贵州乌当区·二模)篮球跃动身心，健康点亮生活.小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐， 20 篮球出手时离地的高度为。米，已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手 点水平方向4米处达到最高点4米.小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其 20 中出手点A的坐标为0， ,篮筐点B的坐标为(7,3)，并求出球的高度y(m)关于水平方向运动的距离 9 x(m)的二次函数表达式为y=-二x2+bx+c. P 图1 图2 图3 (1)b的值为 c的值为 (②)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离 请问小明能否成功将正在空中飞行的球栏截？若能，请说明型 时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量x的 取值范围为x之0，并将原二次函数的图象向下平移2 9 个单位，得到一个新的二次函数：y=ax2+bx+c, 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 新函数图象与x轴交于点P,点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，点F在其对称轴上，且到x轴 的距离为1，并且点F位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. ●考点4二次函数与一元二次方程 1.(2026贵州遵义播州区一模)已知二次函数y=-x2+bx+c部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表 所示： -1 0 y 0 3 4 5 4 2 5-4-3-2-19 1 2.3.4.5 -2 -3 -4 ()请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标： ,a= (3)当-x2+bx+c=4时，写出方程-x2+bx+c=4的解 2.(2026贵州六盘水一模)在2026年央视春晚创意杂技《绘新春》表演中，演员们隔空相互抛接“空竹”， “空竹”光在空中绘制出美丽的光线，惊艳现场.“空竹”在空中的一次运动轨迹可以近似的看作一条抛物线.如 图①，以其中一条抛物线的起点为坐标原点建立平面直角坐标系，该抛物线终点A在x轴上，顶点B的坐 标为6,6)，0A=12. D A 图① 图② (I)求这条抛物线的表达式： 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)如图②，点C(2,m,D(5,n在抛物线上，点P为该抛物线对称轴上的一点，当PC+PD的值最小时， 求点P的坐标； (3)若关于x的方程：二x2+2x-t=0(t为实数)，在2<x<7的范围内有实数根，请直接写出t的取值范围. 6 考点5二次函数与几何综合 1.(2025贵州南明区·一模)如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于A, B两点，交y轴于点C(0,4),若点B的坐标为(4,0)，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限. E B B 图① 备用图 ()求二次函数的表达式： (②)连接BC,过点D作DE⊥x轴于点E,交线段BC于点F,当点D运动到什么位置时，线段DF有最大值？ 请求出点D的坐标和DF的最大值； (3)连接OD,CD,若aOCD关于y轴的对称图形是△0CD',是否存在点D,使得四边形ODCD'为菱形？ 若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由. 2.(2026贵州毕节梁才学校一模)运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况，在大自然里，有很多 数学的奥秘，图1是一棵生长的幼苗，可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成. 【探究一】确定幼苗叶片的形状 (1)如图2，建立平面直角坐标系，幼苗叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=ax2-x+c(a≠0)图像的 一部分，己知该抛物线的图像过原点，且对称轴是直线x=2,求抛物线的解析式： 【探究二】研究幼苗叶片的长度 (2)如图2，在(1)的条件下，已知直线PD(点P为叶尖，点D为抛物线的顶点)与x轴的夹角为45°， 求幼苗叶片的长度PD 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 YA 图1 图2 考点6二次函数自变量取值范围内求最值问题 1.(2026贵州铜仁·春季学期模拟)为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族 风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为y=-x2+bx+c,己知该抛物线的 对称轴为直线x=1,它与代表表演场地水平面的x轴交于点A(-1,0)和点B,与代表垂直高度的y轴交于点 C. X=1 备用图 (①)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式： (②)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台P,当∠PBC=15°时，求线段CP的长度； (3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为u≤x≤+1的范围内时，抛物线y=-x2+bx+c的最大 值为2a,求的值. 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 通关特训 1.(2025贵州南明区华附初级中学月考)再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所 示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x(单位：)，距离地面高度为y(单 位：m)满足下表关系： 0 2 3 4 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 A iB C (I)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面EF=0.2m，沙坑边缘EF与男同学的距离0E=5m,计算裁判员测量的铅 球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方0.7m米处，试计算 说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少 2.(2026贵州黔南州联考)石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运 动路线是抛物线，如图所示.在第一次发球时，球与发球机的水平距离为x(x≥0)（米），与地面的高度为 y(米)，y与x的对应数据如下表所示. x米 0 0.4 1 1.6 y米 2 2.16 2.25 2.16 y/米 发球机 0 x米 (1)求y与x的函数解析式： 10/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)当球拍触球时，球与发球机的水平距离为3米，求此时球与地面的高度： (3)发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与x(x≥0)之间满足函数关系 、>1x2+1。,3 +gx+2 ①为确保球拍在(2)中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米 3.(2025·贵州遵义·联考)如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图.现 将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象.己知喷水口H 离地竖直高度OH为1.2m,草坪水平宽度DE=3m,竖直高度忽略不计，上边缘抛物线最高点A离喷水口的 水平距离为2m,高出喷水口0.4m,下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪 的距离OD为d(单位：m)· 2m->4 上边缘 H 下边缘 BD E O d C 图1 图2 (①)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程0C的长： (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为 (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，的取值范围为 4.(2025贵州一模)如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分， OA,BC垂直于地面0C,且AO=BC=2m,OC=8m,以0C所在的直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平 面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y=ax2+x+c（a,c为常数，a≠0)· D 图① 图② 图③ (1)求顶棚抛物线的函数关系式： 11/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)小星想驾驶一辆高为3m,宽为2m的货车进入车棚.通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固.在顶棚A,B之间抛物线上有两个点D和E(不与点 A,B重合)·它们的横坐标分别为，21，连接AD,AE,设点A与点D之间部分（含点A和点D)的最高 点与最低点的纵坐标的差为h,点A与点E之间部分（含点A和点E)的最高点与最低点的纵坐标的差为 么，当么-A=时，求出的值。 12/12 题号猜押09 贵州省中考数学24题（解答题） 考点1 二次函数的应用 1．（2026·贵州遵义播州区·练习）【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． (1)求抛物线的解析式； (2)【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ (3)在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)能 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）由抛物线过点，设抛物线的解析式为：，再用待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线的解析式，然后把，解得，比较得，即可求解； （3）分别求出射线过和、和的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过且顶点的横坐标为30， ∴，即，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线最低点到轴的水平距离为30， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， ， ∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上； （3）解：∵：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵：， ∴抛物线经过点， ∴将和代入中得：，解得：； 将和代入中得：，解得：， ∵射线与抛物线和抛物线都有交点， ∴的取值范围为：． 2．（2026·贵州遵义新浦区·一模）如图是贵州少数民族的传统体育活动一一打陀螺，人们需要将手中的陀螺用力掷出，陀螺的运动轨迹可近似看作一条抛物线．小明在比赛中将陀螺从点处掷出，已知陀螺第一次运动轨迹的最高点距离地面，此时陀螺距离小明的水平距离为4米．陀螺落地后会形成第二次弹跳，假设第二次弹跳的轨迹形状与第一次相同，但由于能量损耗，最大高度变为米，图中曲线是第一次运动轨迹，曲线是第二次运动轨迹． (1)求陀螺第一次运动轨迹的函数表达式； (2)在距离小明处的地面上有一个小石块，石块高度为．请问陀螺在第一次运动过程中是否会碰到石块？请通过计算说明理由； (3)在第二次弹跳时经过一棵倒伏的小树附近，其树枝与陀螺运动轨迹保持在同一平面内，已知，求在运动曲线段内陀螺与树枝的最大竖直高度差． 【答案】(1) (2)不会碰到，理由见解析 (3) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出时的函数值，即可； （3）求出第二次弹跳的轨迹的解析式为， 可得运动曲线段内陀螺与树枝的竖直高度差为，再求出，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为，且抛物线过， 设抛物线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 陀螺第一次运动轨迹的函数表达式：； （2）解：不会碰到，理由如下： 令，则， ， 不会碰到石块； （3）解：令，则， 解得：（舍去），， ， ， 解得：，， （舍去）， ∴第二次弹跳的轨迹的解析式为， ∴运动曲线段内陀螺与树枝的竖直高度差为    联立得：， 解得：或， 即， 当时，随先增大后减小，且， 当时，． 3．（2026·贵州遵义汇川区·一模）为了让同学们感受数学与科技的紧密联系，学校组织开展了小型无人机飞行实验活动．同学们发现，从垂直地面的起降架的顶端A处，以一定倾斜角度发射出的无人机，其飞行路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该无人机飞行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 如图1，已知起降架的高度是1.52米，当顶端A处发射的无人机与起降架的水平距离为18米时，达到最大高度8米，此时无人机完成航拍任务，仍会沿原来的抛物线继续飞行．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求无人机飞行路线所在抛物线的解析式； (2)如图2，在（1）的条件下，距离起降架36米处有一个可升降的平台，其截面示意图为矩形，其中为36米，为1米． ①当平台升高至0.5米时（米），求无人机能否越过该平台； ②为安全回收无人机，使得无人机恰好降落在这个平台上（包含D、E两点），此时平台高度为h米，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)①无人机能越过该平台；② 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）①令，求出的值，比较即可得出结果；②求出当和时的值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①由题可得，， 令，得， ， ∴无人机能越过该平台； ②如图所示： ，， ，得．，得． ， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， 的取值范围为． 4．（2025·贵州清镇市·模拟）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表： 速度（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画关系最准确的是___________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)30千米/小时，1800辆/时 (3) 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了确定函数的解析式，利用二次函数的顶点式求最值，根据自变量的取值求函数值的取值范围等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质． （1）利用代入法进行验证函数的解析式即可得出答案； （2）将函数解析式化成顶点式，分析二次函数解析式，利用顶点解析式即可求出最值； （3）分别当时，时，求出二次函数值，并利用增减性分析二次函数值的取值范围，最后利用反比例函数的性质求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，代入得 ， 故①不符合题意； 当时，代入得 ， 故②不符合题意； 任取表格中值代入， 所求值与表格中值相等， 故③符合题意； 故答案为：③； （2）解：由（1）得函数的解析式为， ， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴当时，，为最大值， 所以，当该路段的车流速度为30千米/小时时，流量达到最大，最大流量是1800辆/时； （3）解：当时，， 当时，， 通过（2）抛物线的顶点解析式可知，当时，随的增大而增大， ， 由得， 当，时，， 当，时，， 根据反比例函数的性质得， 所以，当车流密度在范围时，该路段将出现轻度拥堵． 考点2 二次函数中的系数的取值范围 1．（2025·贵州遵义·模拟）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； (2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1) (2)7 (3) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线函数为，再代入抛物线上已知点的坐标可求出的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； （2）根据（1）所得的函数解析式，代入时求得的值，结合图形即可得出答案； （3）根据（1）的函数解析式求出与轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，再由函数图象过点代入函数表达式，求出的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为， ∵水柱关于轴对称， ∴第二象限抛物线的顶点坐标为 设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． （2）解：当函数值时，有， 解得，， 结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． （3）解：当时，， 喷出水柱的形状不变，水池的高度不变， 设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该函数图象过点， ， 解得， 改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该抛物线的顶点坐标为， 故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 2．（2025·贵州遵义红花岗区·一模）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动． (1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______； (2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？ (3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围． 【答案】(1)， (2)当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米． (3) 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、公式法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，由此即可得； （2）由（1）可得抛物线的解析式，再根据“他滑行高度与小山坡的竖直距离为米”建立方程，解方程即可得； （3）先求出小山坡的顶点坐标为，从而可得，再根据“与坡顶距离不低于10米”建立不等式，求出的取值范围，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， 设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米． （3）解：， 则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为， 由题意得：，解得， 则， 当时，， 小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米， ， 解得． 3．（2025·贵州铜仁市·预测）已知抛物线与x轴交于点A． (1)抛物线的对称轴是________，经过的定点坐标是________（写一个即可）； (2)若点A的坐标为，求当时函数值y的取值范围； (3)点、在抛物线上，若当，时，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)直线；和 (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式即可求出对称轴；根据可以求出函数值与a值无关时自变量的值，据此可求出定点坐标； （2）先利用待定系数法求出解析式，再根据开口方向得到离对称轴越远函数值越小，据此求解即可； （3）分和两种情况，根据函数的开口方向，确定离对称轴的距离与函数值的关系，再结合已给条件讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； ∵抛物线解析式为， ∴当函数值与a值无关时满足， ∴或， ∴抛物线经过的定点坐标为和； （2）解：把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为， ∴当时，y有最大值，最大值为4， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，当时，y有最小值，最小值为， ∴当时，； （3）解：当时， ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越小， ∵当，时，都有， ∴点M到对称轴的距离要大于点N到对称轴的距离， ∴， ∴； 当时，同理可得点M到对称轴的距离要小于点N到对称轴的距离， ∴或 ∴； 综上所述，或． 4．（2026·贵州遵义红花岗区·一模）在某校科技节“50米水火箭”项目中，某同学制作了一款水火箭．为验证其性能，通过测试发现：水火箭相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足一次函数关系：，飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如下表： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行高度y/m 0 14 24 30 32 … 在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知，． 问题解决： (1)确定函数表达式：求出y关于t的函数表达式； (2)探究飞行距离：当水火箭落地时，求飞行的水平距离； (3)确定弹射口高度h：当水火箭落到回收区域AB内（不包括端点A，B）时，求出发射台PQ弹射口高度h的变化范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）根据表格中的数据，待定系数法求出关于的函数表达式即可； （2）令，解方程，求出的值，进而即可求解； （3）设发射台弹射口高度为，表示出此时抛物线的解析式，分别求出落地点和点时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，将，，代入得： ，解得：， 故关于的函数表达式为； （2）解：当水火箭落地时，即， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴时，， 故水火箭落地时，飞行的水平距离为； （3）解：由和得：， 设发射台弹射口高度为，则此时抛物线的表达式为：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 即． 考点3 二次函数的平移 1．（2025·贵州六盘水·适应性考试）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到． (1)比较大小：______；（填“”，“”或“”） (2)若点的横坐标为，求的值； (3)在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】二次函数图象的平移、其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据开口大小，比较大小即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出的坐标，进而求出，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小， ∴， ∵， ∴； （2）由题意，得：，把代入，得：， ∴； （3）当时，解得：， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 当时，解得：或； ∴加固点的坐标为，． 2．（2026·贵州铜仁二中·一模）在我们的日常生活中，经常采用自然光晾晒衣物．如图1是小星家房前晾衣服的实景图，绑晾衣绳的铁柱和均垂直于地面，当晾衣绳的两端均绑在两根铁柱的顶部时，晾衣绳的形状可以近似看作一条抛物线，如图2是它的示意图，小明以为原点，地面、铁柱所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线部分满足函数表达式，已知铁柱的高为2米，米． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小星用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图3，的高度为1.55米，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离； (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图3中两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，随值的增大而减小，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)5 (3)的取值范围是或． 【知识点】二次函数图象的平移、其他问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将代入解析式即可求解； （2）根据的最低点可知抛物线的表达式，再根据的高度可知的长度即可求解； （3）由题可知和的对称轴，在根据图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 抛物线经过点, 将代入得：， 解得：， 则抛物线的解析式为： （2）解：当时，则， ∴， 由题可知：的最低点离地面米， ∴抛物线的表达式为 将代入得： 解得：， ∴抛物线的表达式为 当时，即 解得：，（舍去） ∴． （3）解：由（2）可知，抛物线:,抛物线:的对称轴分别为和， ∴当或时，随的值的增大而减小， 将新函数图象向右平移个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，， 如图所示， ∵平移不改变图形形状和大小， 当或时，随值的增大而减小， ∴当时，随值的增大而减小， 结合函数图象，得的取值范围是： 且，得， 且，得， 由题意知， 综上所述，的取值范围是或． 3．（2025·贵州乌当区·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米 (3)存在，理由见解析，点坐标为或或 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，难度较大，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式． （1），将代入即可求解，而顶点为，根据对称轴公式即可求解； （2）将代入，求出方程的根，再判断是否在范围内即可； （3）先求出平移后的函数解析式，再求出，由题意得：，设，，则以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：①为对角线；②为对角线；③为对角线，根据平行四边形的对角线的性质，结合中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， 由题意得：抛物线顶点为， ∴， 解得：； （2）解：能，理由如下： 由（1）得抛物线表达式为：， 由题意得，将代入， 则， 整理得：， 解得：或， ∵或均在范围内， ∴小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，平移后的函数解析式为：， 即：， 当时，， 解得：或， ∴， 而抛物线对称轴仍为直线， 由题意得：， 设，， ∵以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上：点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或． 考点4 二次函数与一元二次方程 1．（2026·贵州遵义播州区·一模）已知二次函数部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 a 0 … (1)请在平面直角坐标系中根据以上数据进行描点、连线，画二次函数图象； (2)请写顶点坐标：________， _______ (3)当时，写出方程的解． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、画y=ax²+bx+c的图象、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式的性质是关键． （1）根据描点、连线，画二次函数图象即可； （2）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （3）根据图象和顶点坐标进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：∵当和时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴顶点坐标为， ∵当和时，函数值相等， ∴， 故答案为：，； （3）解：根据图象的顶点坐标为，可知二次函数方程的解为． 2．（2026·贵州六盘水·一模）在2026年央视春晚创意杂技《绘新春》表演中，演员们隔空相互抛接“空竹”，“空竹”光在空中绘制出美丽的光线，惊艳现场．“空竹”在空中的一次运动轨迹可以近似的看作一条抛物线．如图①，以其中一条抛物线的起点为坐标原点建立平面直角坐标系，该抛物线终点A在x轴上，顶点B的坐标为，． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如图②，点，在抛物线上，点P为该抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)若关于x的方程：（t为实数），在的范围内有实数根，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可． （2）先求出点C，D的坐标，再求出点关于对称轴直线的对称点为，当P在直线与对称轴的交点时，最小．求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． （3）把转化成，可看做t关于x的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为：． （2）解：点，在抛物线上， ∴，， ∴，， ∵抛物线的对称轴直线， ∴点关于对称轴直线的对称点为，当P在直线与对称轴的交点时，最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， 则， 当时，则， ∴． （3）解：由（t为实数）可得出，可看做t关于x的二次函数， ∵中，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大， 当时，则， 当时，则， ∴t的取值范围为． 考点5 二次函数与几何综合 1．（2025·贵州南明区·一模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 2．（2026·贵州毕节梁才学校·一模）运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况，在大自然里，有很多数学的奥秘，图1是一棵生长的幼苗，可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定幼苗叶片的形状 （1）如图2，建立平面直角坐标系，幼苗叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图像的一部分，已知该抛物线的图像过原点，且对称轴是直线，求抛物线的解析式； 【探究二】研究幼苗叶片的长度 （2）如图2，在（1）的条件下，已知直线（点为叶尖，点为抛物线的顶点）与轴的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1）抛物线解析式为；（2）幼苗叶片的长度为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查二次函数的应用与几何综合，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题干信息，结合对称轴以及经过原点的信息，可分别求出、的值，即可得出抛物线的解析式； （2）过点作垂直抛物线对称轴，且交对称轴于点，易得，先求出点的坐标，设点的坐标为，可根据线段长度关系得出，可解出的值，最终可求出的长度． 【详解】解：（1）∵对称轴是直线， ∴， 解得，故函数表达式为， ∵该抛物线的图像过原点， 将点代入， 得， 故抛物线解析式为． （2）过点作垂直抛物线对称轴，且交对称轴于点，如下图所示： ∵轴，直线（点为叶尖，点为抛物线的顶点）与轴的夹角为， ∴， ∵， ∴三角形为等腰直角三角形，即， 设点的坐标为， ∵点为抛物线顶点，将代入，得， ∴点 ∴，， ∵，得， 化简得，解得舍去或， ∴， 由勾股定理得， 故幼苗叶片的长度为． 考点6 二次函数自变量取值范围内求最值问题 1．（2026·贵州铜仁·春季学期模拟）为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； (3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴和先根据抛物线对称轴公式求出，再把点代入抛物线解析式求出即可； （2）先确定点B和点C的坐标，得出是等腰直角三角形，，当，存在两种情况：点在点的上方， ，点在点的下方， ，据此求出即可， （3）根据对称轴与取值范围的相对位置确定函数最大值的对应的取值，由此即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线， ∴，解得． 又∵抛物线经过点， ∴，解得． 故这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式为． （2）解：当时，即，解得或．故点B的坐标为． 当时，，故点C的坐标为． 设坐标为． 在中， ，，， ∴是等腰直角三角形，． 当，存在两种情况： ①点在点的上方，如图： 此时． 在中，，即，解得． 此时点坐标为． 线段． ②点在点的下方， 如图： 此时． 在中，．即，解得． 此时点坐标为， 线段． 综上所述，线段的长度为或． （3）解：抛物线解析式为，化为顶点式为．抛物线开口向下，顶点坐标为． 根据对称轴的位置不同，函数最大值取值有三种不同情况： 情况一：当时，即，此时函数在范围内，随增大而增大，最大值在处取得， ∴， 整理得，解得．因为，所以． 情况二：当时，即，此时函数的最大值为顶点的纵坐标．． 则，解得．此解不满足的条件，故舍去． 情况三：当时，此时函数在范围内，随增大而减小，最大值在处取得． ∴． 整理得，解得．因为，所以． 综上所述，的值为或． 1．（2025·贵州南明区华附初级中学·月考）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【答案】(1) (2)所以G到F的距离 (3)增大，该男同学成绩增大 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可； （2）当时，，解方程求解即可； （3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， （2）解：当时， ， 解得：， ， 所以G到F的距离 （3）由题意，变化后的二次函数表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ， 所以该男同学成绩增加. 2．（2026·贵州黔南州·联考）石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，如图所示．在第一次发球时，球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为y（米），y与x的对应数据如下表所示． 米 0 0.4 1 1.6 … 米 2 2.16 2.25 2.16 … (1)求与的函数解析式； (2)当球拍触球时，球与发球机的水平距离为米，求此时球与地面的高度； (3)发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，与之间满足函数关系． ①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米； ②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米． 【答案】(1) (2)此时球与地面的高度为米 (3)①应前进米；②两球的高度差不能超过1米． 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性质求得抛物线的对称轴为，得到最高点的坐标为，设抛物线解析式为，把代入，求出值，即可得答案； （2）把代入（1）中所求解析式，求出值，即可得答案； （3）①求得当时，的值，即可求解；②通过计算得到高度差，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知：时，，时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，时，， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为， ∴当时，， ∴此时球与地面的高度为米． （3）解：①∵球拍在（2）中高度还能接到球， ∴当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵， ∴球拍的接球位置应前进米； ②两球与发球机的水平距离相同， ∴两球的高度差为 ， ∵， ∴当时，两球的高度差最大为米， ∴两球的高度差不能超过1米． 3．（2025·贵州遵义·联考）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】(1)喷出水的最大射程为 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 4．（2025·贵州·一模）如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)小星能将车开进车棚，详见解析 (3) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）车身一端点的坐标为，过作于点，将代入得，此时，即可确定能将车开进车棚； （3）分两种情况讨论，①当都在对称轴的左侧时，②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 将分别代入得 ， 解得：， 顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：如图， ∵对称轴为直线：， 车身的宽为， 车身一端点的坐标为， 过作于点， 将代入 得 即， 小星能将车开进车棚； （3）解：在抛物线之间， 且， ， ． ①当都在对称轴的左侧时， 则， ∴ ， （舍）． ②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， ， （舍），（舍） 综上所述：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 题号猜押09贵州省中考数学24题 押题预测 考点1二次函数的应用 1.(1)y= 1x2-3x 10 5+12 (2)能 10 动-4+ 2.0y=- (2)不会碰到，理由见解析 同火品 3.(1)y=-0.02(x-18)2+8 (2)①无人机能越过该平台；②0.78m≤h≤1.52m 4.(1)③ (2)30千米/小时，1800辆/时 (3)84<k≤96 ·考点2二次函数中的系数的取值范围 1.(0y=- 5x+3)2+5(-8<x<0) (2)7 380 9 2.(1)2,2 (2)当小张滑出后离A的水平距离为2+V5)米时，他滑行高度与小山坡的竖直距 8c号 3.(1)直线x=1;(0,3)和2,3) (2)-5≤y≤4 1/4 上好每一堂课 (解答题) 离为4米。 丽学科网·上好课 www zxxk.com (3)a≤-1或0<a≤2 4.(1)y=- (2)64m: (3)0<h<18 考点3二次函数的平移 1.(1)< ②as 4 (3)(0,3),(8,3 2.(1)y= 1 16 *2 (2)5 (3)m的取值范围是1≤m≤2或4≤m≤5. 3.0①820 g’9 (2)能，理由见解析，小明距离小星出手点时的水平距离为4+2√2 (3)存在，理由见解析，点N坐标为8-√7,0或(5,0)或8+√7,0 >考点4二次函数与一元二次方程 1.(1)解：如图，即为所求， (2)1,4),3 (3)x1=x2=1 2.①y三5r-6+6 2/4 上好每一堂课 米或4-2√2米 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②9） 6 >考点5二次函数与几何综合 1.(1)y=-x2+3x+4 2)点D的坐标为2,6)时，DF的最大值为4 (3)存在，D的坐标是 3+17 2 2 2.(1)抛物线解析式为y= x2-x;(2)幼苗叶片的长度PD为4W2 ◆考点6二次函数自变量取值范围内求最值问题 1.(1)y=-x2+2x+3 (2)3V5-3或3-√5 (3)-1-5或5 通关特训 1.1)y=-0.1(x-32+2.3 (2)所以G到F的距离3m (3)增大，该男同学成绩增大4m 2.0=-W号 2此时球与地面的高度为子米 (③①应前进5-V10米，②两球的高度差不能超过1米. 2 3.(1)喷出水的最大射程0C为6m (22,0) (3)2m≤d≤3m 4.0y=-x+x+20≤x≤8 8 (2)小星能将车开进车棚，详见解析 3/4 可学科网·上好课 (3)t= 3 www zxxk.com 4/4 系一每丁