题号猜押10 贵州省中考数学25题（3大考点，解答题）（贵州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押10 贵州省中考数学25题（解答题） 押题预测 一考点1对称 1.(2025·贵州南明区华附初级中学月考)综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开 了拓展探究.如图①，在等腰直角三角形中，AB=AC,∠A=90°，点D是直线AC左侧的一动点.作点C 关于直线AD的对称点为点E,连接BE,直线BE与直线AD交于点F,连接AE,CF. 图① 图② 备用图 【动手操作】 (1)当0°<∠CAD<45°时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若∠CAD=30°，BC=4,则 CE= 【问题探究】 (2)根据(1)所画图形，猜想∠CFB的大小以及EF,BF,AF的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图②，在等腰三角形中，AB=AC,∠A=120°，其余条件不变，当0°<∠CAD<60°时，若 BF=I0,AF=3V3,直接写出EF,BF,AF的数量关系以及EF的值 2.(2025·贵州贵阳十九中模拟)综合与实践 在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点Q在射线BC上，将△ABQ沿AQ翻折，使点B落在点E处. 1/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 备用图 ()【初步探究】如图①，若点Q在线段BC上，点E恰好落在对角线AC上，则CE的长为； (②)【深入思考】如图②，若点Q在射线BC上，点E在矩形ABCD外，且EA=ED,在图中用无刻度的直尺 和圆规作出折痕AQ(不写作法，保留痕迹)，并求BQ的长： (3)【拓展提升】如图③，若点Q在线段BC上，点P是线段DC的三等分点，将△ADP沿AP翻折，点D对 应点为点G,若A,E,G三点共线，求出BQ的长. ●考点2旋转 1.(2026贵州铜仁二中.一模)【特例感知】 (1)如图1，己知AOB和△COD是等边三角形，直接写出线段AC与BD的数量关系是 【类比迁移】 (2)如图2，AOB和△COD是等腰直角三角形，∠BA0=∠DC0=90°，请写出线段AC与BD的数量关 系，并说明理由. 【方法运用】 (3)如图3，若AB=6,点C是线段AB外一动点，AC=2√5，连接BC.若将CB绕点C逆时针旋转90°得 到CD,连接AD,求出AD的最大值. B D D O图1C 0图2 A 图3 B 2.(2026贵州遵义播州区一模)在等边△ABC中，点D在线段AB上（点D不与A点重合），作点D关于 AC的对称点F,射线DF交AC于点E. 2/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 备用图 (I)如图1，若点D是线段AB中点，请补全图形，直接写出线段AE与线段DE的数量关系 (②)若点D是线段AB的三等分点，探究线段CE与线段BD的数量关系，并说明理由： (3)在点D运动过程中，将线段DE绕点E逆时针旋转120°得到EG,射线EG交线段CF于点H,若 DE=2HG,AC=4,直接写出CE的长。 3.综合与实践： 图1 图2 图3 ()【提出问题】 如图1，在菱形ABCD中，∠BCD=120°，点E是对角线AC上一动点，连接BE,将BE绕点E顺时针旋转 60°得到EF,连接BF,AF,则∠BAF的度数为_：线段CE与AF的数量关系为_， (2)【类比探究】 如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，且CE>AE,连接BE,将BE绕点E顺时针旋转 90°得到EF,连接BF,AF,当CE=BC=2时，求AF的长. (3)【迁移运用】 如图3，在矩形ABCD中，AB=4,∠BCA=30°，E是对角线AC上一动点，连接BE,以BE为边在BE的 右边作Rt△BEF,且∠BEF=90°，LBFE=30°，当点F到AC的距离为√6时，求出AE的长. 3.(2025贵州遵义汇川区·一模)综合与探究 如图1，∠ABC=45°，AC⊥BC于点C,点D是射线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD,将线 段AD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE,过点E作EF⊥BA交射线DA于点G,垂足为F. 3/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 备用图 【初步尝试】 (I)当点D在线段BC上时，AD与DE的数量关系为 ,∠DAB与∠DEF的数量关系为 【深入探究】 (②)当点D在线段BC上时，求证：EF=AB; 【拓展延伸】 6诺BC-2,点D在运动过程中，当AF=AB时，求FG的长。 4.(2026贵州铜仁·春季学期模拟)综合实践课上，数学学习小组围绕正方形中的旋转变换开展探究活动， 己知正方形ABCD中，AD=6,点E为AB边上一动点，点M是射线AB延长线上的一点，连接DE,将线 段DE绕点E顺时针旋转90°得线段EF(点D的对应点是点F)· H E B M E B M 图① 图② 图③ 【问题解决】 (I)如图①，过点F作FG⊥AM,垂足为点G,若FG=3,则AG=，EF= 【问题探究】 (2)如图②，设EF与BC边交于点H,求线段CH的最小值； 【拓展延伸】 (3)如图③，连接CF,当CF=2√时，求线段AE的值. 考点3其他类型 1.（2025贵州南明区一模)(1)【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形 ABCD是正方形，CDF是一个等边三角形，连接AF,则AFD=°； (2)【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点E在正方形ABCD内部， 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 且△BCE是一个等边三角形，此时发现点E恰好在AF上，提出问题：你能证明AE+√2AB=AF吗？ (3)【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形 ABCD中，点E在正方形内部，且△BCE是一个等边三角形，以CD为边作等边三角形CDF,连接AE, AF,EF,直接写出 的值， AE D B 图① 图② 备用图 2.矩形ABCD中，点E是CD边上一点（不与C,D重合），点F在射线CB上，∠DAE=∠EAF, D D D B B B C B 图① 图② 备用图 备用图 (I)【初步感知】如图①，若∠DAE=30°，AB=AD=4√5，则∠AFC= DE= (②)【深入探究】如图②，若AB=3V5,AD=2,∠DAE=60°，求EF长： (3)【拓展延伸】若AB=2AD,试探究DE,BF,AF的数量关系 3.(2025贵州铜仁市预测)综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动. 【初步探究】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在线段AB,BC上，且BE=CF,则CE与DF的位置关系 是 ，数量关系是 【知识迁移】 (2)如图2，在矩形ABCD中，BC=2CD,点E,F分别为直线AB,BC上的动点，且BE=2CF,连接 CE,DF.探究CE与DF存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 (3)如图3在(2)的条件下，若点E,F分别在边AB,BC的延长线上，EC的延长线与DF交于点H.点 G为EH上的点，且HG=2HD,请用等式表示线段BG与HC的数量关系，并说明理由. 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 4.(2025贵州一模)劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼. 图① 图② 图③ 图④ (1)【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原 理是 A.三角形的稳定性B.等腰三角形是轴对称图形C.三角形内角和等于180° (2)【思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮.如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中.小 红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法)； (3)【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮.小星只切3刀，也能使饼翻身后，正 好落在“锅”中.用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形ABCD铁皮，他能否在四边形内部取一点P，使切法满足 PA=AB,PB=BC,PC=CD,PD=DA.让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 图③-1 得△AED,△AFD,△BED,△CFD是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 6/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 通关特训 1.(2026贵州黔南州联考)【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正 方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识. B B D H 图1 图2 图3 (1)【数学思考】希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边ABC沿直线DE折 叠，点A恰好落在边BC上的点F处，折痕分别交AB,AC于D,E两点.写出图1中与LCFE相等的角：- 连接AF,则AF与DE的位置关系是_； (2)【数学思考】善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将边长为6的正方形ABCD沿直 线EF折叠，点A落在点G处，点B恰好落在边CD的中点H处，折痕分别交AD,BC于E,F两点，设 GH与AD交于点P. ①求BF的值： CF ②求PH的长： (3)【拓展探究】智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，ABC与ADE都 是等腰直角三角形，∠BAC=LDAE=90°，BC=8,点E是BC边上的动点，DE交AB于点M,当 BE=3CE时，直接写出△AME的面积. 2.(2025贵州遵义红花岗区一模)如图，在矩形ABCD中，AB<BC,AB=3,E是射线CD上一点，连 接BE,BC沿BE折叠，点C恰好与射线DA上的点F重合. 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E B 备用图 (I)如图，当点E在边CD上时. ①若BC=5,则AF的长为； ②若AF·DF=3时，求EF的长； (2)作LABF的平分线交射线DA于点M,当BC=3MF时，求DF的长. 3.(2026贵州黔东南一模)综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形ABCD,然后剪了一个直角三角形纸片并记为△CEF,∠C=90°， CECB ,将这个直角三角形纸片和矩形ABCD按图1摆放，使两个图形的点C重合，点E在BC上，点 CF CD F在CD上，将直角三角形纸片CEF绕点C顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动. 图1 图2 图3 图4 (①)【特例探究】如图2，某生画的矩形ABCD恰好是正方形，连接BE,DF,则线段BE,DF的数量关系是 位置关系是 ； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片CEF绕点C顺时针旋转，位置如图3所示，连接BE、DF,(1) 中BE与DF的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 同【广张】如图者短形48cD中，8=2厅，直角三角形纸片cEP中，c-2,票号-5。 将直角三角形纸片CEF绕点C顺时针方向旋转，使D,E,F三点恰好在同一直线上，求BE的长. 3.(2026贵州六盘水一模)在ABC中，AB=AC,将ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ACD. 8/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 备用图 (1)【问题解决】 如图1，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)【问题探究】 如图2，在四边形ABCD中，对角线AC上有一点P,连接PD,将线段PD绕点P按逆时针方向旋转，点D 的对应点Q恰好落在BA的延长线上，求∠DPQ的度数； (3)【拓展延伸】 在(2)的条件下，若AB=6,求△APQ面积的最大值. 4.(2025贵州云岩区一模)【问题提出】小丽在AⅡ上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的 平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积.于是小丽利用初中所学知识进行初步验证. 【问题探究】 (1)小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条 直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积： 圆 平行四边形 等腰三角形 (2)如图，小丽在直角三角形ABC中，作出一条直线EF,交AC于点E、交BC于点F,直线EF既平分 ABC的周长，又平分ABC的面积.请根据小丽所给的数据计算：若LB=90°，BC=3,AB=4, CE=a,用含有a的代数式表示FC=-,并求a的值： B /F 【问题解决】 (3)小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 条道路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积.小丽利用所学知识进行思考， 通过测量示意图得到AD∥BC,∠B=90°，AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.若该道路的一个出口在 DC边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度， D 备用图 10/10 题号猜押10 贵州省中考数学25题（解答题） 考点1对称 1．（2025·贵州南明区华附初级中学·月考）综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D是直线左侧的一动点．作点C关于直线的对称点为点E，连接，直线与直线交于点F，连接，． 【动手操作】 （1）当时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若，，则　　　　； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当时，若，，直接写出，，的数量关系以及的值． 【答案】（1）；（2），，见解析；（3）当时，，当时， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合． （1）根据要求作点C关于直线的对称点为点E，再连接对应线段即可作图，证明是等边三角形，得到 ； （2）在点B上截取点G，使得，连接，证明，得到， ，再证明，得到，根据对称得到，最后根据，得到； （3）先证明，进而可得，再利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【详解】（1）以为圆心，长为半径画圆，交与点，以为圆心，长为半径画圆，与上一个圆交点即为点，连接，直线与直线交于点F，连接，．如图所示： ∵，，，， ∴， ∵作点C关于直线的对称点为点E，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， 故答案为：； （2），证明如下： 证明：在上截取点G，使得，连接， 由对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）连接交于， 由对称的性质可知，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 当时，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 2．（2025·贵州贵阳十九中·模拟）综合与实践 在矩形中，，点在射线上，将沿翻折，使点落在点处． (1)【初步探究】如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为______； (2)【深入思考】如图②，若点在射线上，点在矩形外，且，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； (3)【拓展提升】如图③，若点在线段上，点是线段的三等分点，将沿翻折，点对应点为点，若三点共线，求出的长． 【答案】(1) (2)作图见解析，； (3)或 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）先根据勾股定理得：，再由折叠的性质得，再根据即可得出答案； （2）先作的垂直平分线，再以为圆心为半径画弧交的垂直平分线于点E，连接，易得，最后作的角平分线交射线于点Q即可；设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，易求，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，设，则，由，建立方程求解即可； 延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，求出，，证明，推出，得到三点共线，分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 由勾股定理得： ∵点E落在对角线上， 由折叠的性质得 ∴； （2）解：如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得：， ∴； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，则，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 如图，当时，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 考点2 旋转 1．（2026·贵州铜仁二中·一模）【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段问题(旋转综合题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）根据题意证明出，然后求解即可； （2）根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点作，使，连接，，，．首先证明出，然后得到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 证明：如图2，和是等腰直角三角形， ∴ ∴即 ∵， ∴， 即， 又∵ ∴ ∴， ∴ （3）如图3，过点作，使，连接，，，． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆． ∴当在的延长线上时，的值最大， 最大值为． 2．（2026·贵州遵义播州区·一模）在等边中，点在线段上（点不与点重合），作点关于的对称点，射线交于点． (1)如图，若点是线段中点，请补全图形，直接写出线段与线段的数量关系_________； (2)若点是线段的三等分点，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交线段于点，若，，直接写出的长． 【答案】(1)图见详解， (2)当点是线段的三等分点时，或，理由见解析 (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据对称可得直角三角形，利用特殊角的三角函数即可得到结论； （2）根据三等分点的不同位置，分情况讨论线段与线段的数量关系； （3）根据旋转及对称可得两三角形相似，进而得到满足题意的点与重合，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵关于对称， ∴，即：， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即：； （2）解：当点是线段的三等分点时，或， 理由如下： 设， ∵点是线段的三等分点， ∴当时，    由（1）可知：， ∴， 即：， ∵在等边三角形中， ∴， ∴， 即：； 当时， 由（1）可知：， ∴， 即：， ∵在等边三角形中， ∴， ∴； 故或； （3）解：∵由旋转可知：， 由对称可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称可知：， ∴与重合，即：与重合， 此时为中点，． 3．综合与实践： (1)【提出问题】 如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ． (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长． (3)【迁移运用】 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为 【知识点】解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、四边形其他综合问题 【分析】（1）结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明，即可求解； （2）过作于点，证明，可得，即可解答； （3）过作于，过作于，则，在中，，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即是等腰直角三角形 ，， 由旋转的性质，得，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ， ； （3）解：在中，，则， ， ， 如图3，过作于，过作于，则， 在中，， ①当在上方时， ， ， 又， ， ； ②如图4，当在下方时， 同理， ； 综上，的长为． 3．（2025·贵州遵义汇川区·一模）综合与探究 如图1，，于点C，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作交射线于点G，垂足为F． 【初步尝试】 (1)当点D在线段上时，与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； 【深入探究】 (2)当点D在线段上时，求证：； 【拓展延伸】 (3)若，点D在运动过程中，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)的值为和． 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由旋转的性质可得，，再根据等角的余角相等即可得出； （2）过点D作于点M，作于点N．先证明得出，，再证明四边形为正方形，得出，最后证明，即可得证； （3）分两种情况：：①若点D在线段上，连接，②若点D在射线上，连接，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （2）证明：过点D作于点M，作于点N． ， ，， ， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：∵，，， ∴， ∴， ①若点D在线段上，连接， 是等腰直角三角形，且， ∴当时，垂直平分， ∴点E，C，F三点共线， ， 由（2）知平分， ， ， 是AB的中点， 是的中位线， ， ， ∴， ， ． ②若点D在射线上，连接， 同（2）可得四边形是正方形，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，则，， ， 解得：， ． 综上：的值为和． 4．（2026·贵州铜仁·春季学期模拟）综合实践课上，数学学习小组围绕正方形中的旋转变换开展探究活动，已知正方形中，，点E为边上一动点，点是射线延长线上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段（点的对应点是点）． 【问题解决】 (1)如图①，过点F作，垂足为点G，若，则______，______； 【问题探究】 (2)如图②，设与边交于点，求线段的最小值； 【拓展延伸】 (3)如图③，连接，当时，求线段的值． 【答案】(1)9；； (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先由旋转可知，，进一步证明，再根据可证明，进而得出，，由勾股定理即可求出， （2）设，，由得到，进而可得，利用二次函数的最值即可解决问题， （3）过点作，，垂足分别为、，设，则，根据（1）可得四边形是正方形，即，再在中，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明： 线段绕点E顺时针旋转，得到线段， ∴， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 在与中， ， ； ∴，， ∴， . （2）解：由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 整理得：， ∴当时，有最小值，. 即线段的最小值为. （3）解：如图③，过点作，，垂足分别为、，    设，则， 由（1）可得：，， ∴， 即， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：，， 即：长为或． 考点3 其他类型 1．（2025·贵州南明区·一模）（1）【试题改编】小聪同学将教材习题进行了如下改编：如图①，四边形是正方形，是一个等边三角形，连接，则________； （2）【深入探索】小悦同学接着小聪同学所编的题目继续进行改编：如图②，点在正方形内部，且是一个等边三角形，此时发现点恰好在上，提出问题：你能证明吗？ （3）【能力升华】老师看到小聪和小悦编的题后，非常高兴，稍作思考，也提出一个问题：在正方形中，点在正方形内部，且是一个等边三角形，以为边作等边三角形，连接，，，直接写出的值． 【答案】（1）15；（2）见解析；（3）1或 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识 ，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由正方形和等边三角形的性质可得是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）由已知、根据正方形和等边三角形的性质可得∶，从而在中，由勾股定理得，再根据线段的和差即可证明结论； （3）当点F在正方形的外部，由（2）知∶，过点A作于点H，在中，由边角关系可得、，则，在中，由勾股定理得，然后代入化简即可；若点F在正方形的内部，根据“等边对等角”和“三角形内角和等于”可得∶，从 而得到，根据“”可证，得到，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得是等边三角形，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵是一个等边三角形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． （2）能证明，过程如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵等边， ∴， ∵等边， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴． （3）若点F在正方形的外部，由（2）知∶ ， 如图∶过点A作于点H，则， ， ∵四边形是正方形， ∴ ∵等边， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴； 若点F在正方形的内部， ∵， ， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即． 综上所述， 的值为或1． 2．矩形中，点E是边上一点（不与C，D重合），点F在射线上，． (1)【初步感知】如图①，若，，则________，________； (2)【深入探究】如图②，若，，，求长； (3)【拓展延伸】若，试探究，，的数量关系． 【答案】(1)，4 (2) (3)或，见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据矩形的性质和三角形的外角性质可求得；在中，根据解直角三角形求解即可； （2）根据矩形的性质和锐角三角函数得到，，，然后利用勾股定理求解即可； （3）当点F在上时，延长到G，使，连接，四边形是矩形，证明得到，，再根据角之间的关系推导出，根据等腰三角形的判定可得，进而由可得结论；当点F在延长线上时，同理可得，，的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：，4； （2）解：四边形是矩形，， ，， ， ，， ，， ， ，， ，则， ； （3）解：当点F在上时，延长到G，使，连接， 四边形是矩形， ，， ，即， ， ， ， ，， ， ，即， ，即， ； 当点F在延长线上时，延长到G，使，连接， 四边形是矩形， ，， ，即， ， ， ， ，， ， ， ，即， ， 综上所述，，，的数量关系是或． 3．（2025·贵州铜仁市·预测）综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明 【分析】（1）设交于T，证明，得到，再导角证明即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）过点B作于M，证明，得到，导角证明，则可证明，推出，则可证明，由勾股定理得． 【详解】（1）解：设交于T， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：，理由如下； 如图所示，过点B作于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 4．（2025·贵州·一模）劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼． (1)【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________； A．三角形的稳定性    B．等腰三角形是轴对称图形    C．三角形内角和等于 (2)【思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形铁皮．他能否在四边形内部取一点，使切法满足．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)依据见解析，推理过程见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据轴对称图形的性质解答即可； （2）作线段的垂直平分线交于点M，连接即可； （3）根据题意可知等腰三角形的饼翻身后能与本身重合，如图③，作，平分，平分，由直角三角形的斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形，得，，，是等腰三角形，翻身后与本身重合，如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接，由垂直平分线的性质得，得是等腰三角形，翻身后与本身重合；如图④，假设点P存在，利用等腰三角形的性质结合四边形内角和即可证明结论． 【详解】（1）解：如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故答案为：B； （2）解：由操作发现：饼正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台，则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形． 作出斜边上的垂直平分线交与点，连接， 则， ∴都是等腰三角形，都是轴对称图形， 如图②所示为所求： （3）解：如图③所示，作于D，平分，平分，分别交和于点E，F， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得，，，是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接， 则， 得是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 如图④，假设点P存在， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与题干矛盾， ∴不能在四边形内部取一点，使切法满足． 1．（2026·贵州黔南州·联考）【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． (1)【数学思考】希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将等边沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．写出图1中与相等的角： ；连接，则与的位置关系是 ； (2)【数学思考】善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将边长为的正方形沿直线折叠，点落在点处，点恰好落在边的中点处，折痕分别交，于，两点，设与交于点． ①求的值； ②求的长； (3)【拓展探究】智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图，与都是等腰直角三角形，，，点是边上的动点，交于点．当时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】（）连接，由等边三角形的性质得，根据折叠的性质可知，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （）①由题意易得，，，由折叠的性质可知：，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理建立方程求解即可；②由①可知：，，，，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （）证明，然后利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴， ∴； ②由①可知：，， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：如图，连接， ∵与都是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2025·贵州遵义红花岗区·一模）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合． (1)如图，当点在边上时． ①若，则的长为______； ②若时，求的长； (2)作的平分线交射线于点，当时，求的长． 【答案】(1)①4；②2 (2)或6 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握以上性质，注意分类思想与方程思想的运用． (1)利用勾股定理进行解答，即可得出答案； (2)分类讨论，利用角的平分线的定义，进行等量代换，运用一元二次方程解决图形问题进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题可知，， 在中，由勾股定理得， ， ∴的长为4； 故答案为：①4； ②由题可知，， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解： ①如图，当点在边上时， 过点作于点， 平分，， ，． ， ． ． ，， ． ， ． ，，， （HL）． ． 设，则． ． 在中，由勾股定理得， ， ． 解得，（舍去）． ． 矩形中，． ． ② 如图，当点在边延长线上时， 同①可得，，． ． ，． 综上所述：或6． 3．（2026·贵州黔东南·一模）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析； (3)或． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程、根据正方形的性质证明 【分析】（1）延长分别交、于点、，根据题意证明，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （2）令与交于点，延长分别交、于点、，证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （3）连接，利用勾股定理求出，，分两种情况讨论：①当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同（2）理可证，，则，再结合勾股定理列方程求解即可；②当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同①理求解即可． 【详解】（1）解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； （2）解：成立，证明如下： 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； 综上可知，的长为或． 3．（2026·贵州六盘水·一模）在中，，将绕点A逆时针旋转得到． (1)【问题解决】 如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探究】 如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，求面积的最大值． 【答案】(1)四边形的形状为菱形，理由见详解 (2) (3) 【知识点】证明四边形是菱形、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据菱形和旋转的性质，得到和，利用等边三角形的判定即可判定为菱形； （2）连接，根据菱形的性质证明，得到，，根据旋转的性质得到，则有，再结合（1）中的结论，利用角的和差即可求出的度数； （3）作于点，于点，连接，利用菱形的性质证明是等边三角形，进而求得，，通过证明，推出，设等边的边长为，表示出，分析可知当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴和为等边三角形， 则， 那么，四边形的形状为菱形； （2）解：连接，如图， ∵菱形， ∴，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图， ∵菱形，， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（2）得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即， 设等边的边长为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 4．（2025·贵州云岩区·一模）【问题提出】小丽在上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积； （2）如图，小丽在直角三角形中，作出一条直线，交于点E、交于点F，直线既平分的周长，又平分的面积．请根据小丽所给的数据计算：若，，，，用含有a的代数式表示 ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到，，，，，．若该道路的一个出口在边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度．      【答案】（1）见解析；（2）；3；（3）见解析；见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆的周长和面积问题、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据圆，平行四边形，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，从而得到，再由直线平分的周长，可得①，再结合②，可得，过点E作于点G，则，可得，从而得到，可求出，然后结合直线平分的面积，即可求解； （3）先求出四边形的面积，然后分三种情况：当出口M在边上，出口N在边时，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图， （2）在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵直线平分的周长， ∴， ∴， 即①， ∵②， 由，得：， 如图，过点E作于点G，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵直线平分的面积， ∴， ∴， 解得：； （3）∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形的面积为， 如图，当出口M在边上，出口N在边时， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：（负值，舍去）， 如图，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， 即， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴没有平分四边形的面积，舍去； 如图，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分四边形的面积， ∴， 解得：， 即，，， 标出线段，如图， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押10 贵州省中考数学25题（解答题） 考点1对称 1．（1）；（2），，见解析；（3）当时，，当时， 2．(1) (2)解：如图所示为所求， ； (3)或 考点2 旋转 1．（1）；（2），理由见解析；（3） 2．(1)图见详解， (2)当点是线段的三等分点时，或，理由见解析 (3) 3．(1)， (2) (3)的长为 3．(1)， (2)见解析 (3)的值为和． 4．(1)9；； (2) (3)或 考点3 其他类型 1．（1）15；（2）见解析；（3）1或 2．(1)，4 (2) (3)或，见解析 3．（1）；（2）；（3），理由见解析 4．(1)B (2)见解析 (3)依据见解析，推理过程见解析 1．（2026·贵州黔南州·联考）【问题情境】数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． (1)【数学思考】希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将等边沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．写出图1中与相等的角： ；连接，则与的位置关系是 ； (2)【数学思考】善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图，将边长为的正方形沿直线折叠，点落在点处，点恰好落在边的中点处，折痕分别交，于，两点，设与交于点． ①求的值； ②求的长； (3)【拓展探究】智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图，与都是等腰直角三角形，，，点是边上的动点，交于点．当时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】（）连接，由等边三角形的性质得，根据折叠的性质可知，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （）①由题意易得，，，由折叠的性质可知：，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理建立方程求解即可；②由①可知：，，，，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （）证明，然后利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴， ∴； ②由①可知：，， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：如图，连接， ∵与都是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 当时，，不符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2025·贵州遵义红花岗区·一模）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合． (1)如图，当点在边上时． ①若，则的长为______； ②若时，求的长； (2)作的平分线交射线于点，当时，求的长． 【答案】(1)①4；②2 (2)或6 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握以上性质，注意分类思想与方程思想的运用． (1)利用勾股定理进行解答，即可得出答案； (2)分类讨论，利用角的平分线的定义，进行等量代换，运用一元二次方程解决图形问题进行解答即可． 【详解】（1）解：①由题可知，， 在中，由勾股定理得， ， ∴的长为4； 故答案为：①4； ②由题可知，， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解： ①如图，当点在边上时， 过点作于点， 平分，， ，． ， ． ． ，， ． ， ． ，，， （HL）． ． 设，则． ． 在中，由勾股定理得， ， ． 解得，（舍去）． ． 矩形中，． ． ② 如图，当点在边延长线上时， 同①可得，，． ． ，． 综上所述：或6． 3．（2026·贵州黔东南·一模）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析； (3)或． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、公式法解一元二次方程、根据正方形的性质证明 【分析】（1）延长分别交、于点、，根据题意证明，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （2）令与交于点，延长分别交、于点、，证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （3）连接，利用勾股定理求出，，分两种情况讨论：①当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同（2）理可证，，则，再结合勾股定理列方程求解即可；②当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同①理求解即可． 【详解】（1）解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； （2）解：成立，证明如下： 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； 综上可知，的长为或． 3．（2026·贵州六盘水·一模）在中，，将绕点A逆时针旋转得到． (1)【问题解决】 如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探究】 如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，求面积的最大值． 【答案】(1)四边形的形状为菱形，理由见详解 (2) (3) 【知识点】证明四边形是菱形、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据菱形和旋转的性质，得到和，利用等边三角形的判定即可判定为菱形； （2）连接，根据菱形的性质证明，得到，，根据旋转的性质得到，则有，再结合（1）中的结论，利用角的和差即可求出的度数； （3）作于点，于点，连接，利用菱形的性质证明是等边三角形，进而求得，，通过证明，推出，设等边的边长为，表示出，分析可知当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴和为等边三角形， 则， 那么，四边形的形状为菱形； （2）解：连接，如图， ∵菱形， ∴，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图， ∵菱形，， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（2）得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即， 设等边的边长为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 4．（2025·贵州云岩区·一模）【问题提出】小丽在上自主学习时，看到一个结论：对于任何一个封闭的平面图形，存在一条直线既平分周长，又平分面积．于是小丽利用初中所学知识进行初步验证． 【问题探究】 （1）小丽先选择了几个特殊图形进行验证，如图，请你在三个图形中任选两个，分别作一条直线，使这条直线既平分你所选图形的周长，又平分它的面积； （2）如图，小丽在直角三角形中，作出一条直线，交于点E、交于点F，直线既平分的周长，又平分的面积．请根据小丽所给的数据计算：若，，，，用含有a的代数式表示 ，并求a的值； 【问题解决】 （3）小丽家所在小区平面示意图如图，小区为方便居民出行，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条道路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积．小丽利用所学知识进行思考，通过测量示意图得到，，，，，．若该道路的一个出口在边上，请帮小丽在图中画出这条直线，并在图中标出所有线段的长度．      【答案】（1）见解析；（2）；3；（3）见解析；见解析 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆的周长和面积问题、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据圆，平行四边形，等腰三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，从而得到，再由直线平分的周长，可得①，再结合②，可得，过点E作于点G，则，可得，从而得到，可求出，然后结合直线平分的面积，即可求解； （3）先求出四边形的面积，然后分三种情况：当出口M在边上，出口N在边时，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，画出图形，如图， （2）在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵直线平分的周长， ∴， ∴， 即①， ∵②， 由，得：， 如图，过点E作于点G，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵直线平分的面积， ∴， ∴， 解得：； （3）∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形的面积为， 如图，当出口M在边上，出口N在边时， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：（负值，舍去）， 如图，当一个出口在点B，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，F， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， 即， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴没有平分四边形的面积，舍去； 如图，当一个出口M在边上，另一个出口N在边时，分别过点D，N作的垂线，垂足分别为E，G， 设，则， 根据题意得：平分四边形的周长， ∴， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分四边形的面积， ∴， 解得：， 即，，， 标出线段，如图， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $