七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第15章 一元一次不等式～第17章 三角形）

七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第15章 一元一次不等式~第17章 三角形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共26题，单选6题，填空12题，解答8题，满分100分，限时90分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）有两根长度分别为4cm，9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm）的木棒与已有的两根木棒钉成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·河南南阳·月考）当______时，代数式​的值是非负数． 8．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若不等式的正整数解是、、，那么实数的取值范围是_____． 9．（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，直线与直线相交于点，与直线相交于点，，，若要使直线，则将直线绕点按如图所示的方向至少旋转_____． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 12．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，则的度数为_____ 13．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 14．（25-26九年级上·山东济宁·月考）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是___________． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 16．（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 17．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为______． 18．（25-26七年级下·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 20．（6分）（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 21．（6分）（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 22．（6分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 23．（6分）（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 24．（6分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 25．（8分）（25-26七年级下·全国·期中）如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 26．（8分）（25-26七年级下·广西钦州·期末）如图，有一副三角板和三角形，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)若将三角板绕点旋转到如图2的位置，使，且，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期第三次学情自测·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 2．（25-26七年级下·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式，然后求解即可，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）有两根长度分别为4cm，9cm的木棒，再确定一根长为整数（单位：cm）的木棒与已有的两根木棒钉成一个三角形木框，木棒长度的选择方案有（   ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再找出范围内的整数个数即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即， 又∵为整数， ∴可取6、7、8、9、10、11、12，共7种选择方案， ∴木棒长度的选择方案有7种． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，，，，被所截，平分，则下列结论正确的有（    ） 结论I：若平分，则； 结论Ⅱ：若，则平分； 结论Ⅲ：若，，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据平行线和角平分线的性质，依次证明各结论即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 若平分， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 若， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴平分，故结论②正确； ∵， ∴， 若， ∴， 又∵， ∴，不一定满足，故结论③错误； 综上，正确的结论为①②，共个． 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出 ，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴与互余，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·河南南阳·月考）当______时，代数式​的值是非负数． 【答案】 【分析】根据非负数的特征列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式的值是非负数，则有， 解得． 8．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若不等式的正整数解是、、，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由，解得，根据题意可得，即可得实数的取值范围． 【详解】解：， 解得， ∵不等式的正整数解是、、， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，直线与直线相交于点，与直线相交于点，，，若要使直线，则将直线绕点按如图所示的方向至少旋转_____． 【答案】 【分析】先根据邻补角的性质可得的度数，再由同位角相等两直线平行即可得解． 【详解】解：如图， ， ， 同位角相等两直线平行， 若要使直线，则应该变为， ， 直线绕点按逆时针方向至少旋转：． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 12．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，则的度数为_____ 【答案】 【分析】利用证明得到，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 14．（25-26九年级上·山东济宁·月考）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵该不等式组有3个整数解，即， ∴， 解得． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，是的角平分线，于点，且，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，过点作的垂线交于点，先证明，得到后，将拆成，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作的垂线交于点， ， ， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 【答案】或10个单位长度 【分析】点Q到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，根据点P求出运动时间，利用路程除以时间得出Q的运动速度． 【详解】解：点P以每秒2个单位长度向点C运动，点Q返回过程中存在与全等， ， ，或， 或， 点Q的运动路程为或， 点Q的速度为：或． 17．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为______． 【答案】/130度 【分析】过点G作，则有，由题意易得，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点G作，则有， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26七年级下·广西玉林·期中）如图，，是的平分线，是的平分线，，交于点O．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数． 【详解】解：作，如图， ， ， ，， 是的平分线， ， ， ， 同理可得，， ， ， ，即， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【分析】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【详解】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 20．（6分）（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明； （2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）解：如图，设与的交点为，过点作， ， ， ， 与垂直， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心是平行线的性质与判定，第1问通过角的转化证平行，第2问通过作辅助线，将角度问题转化为平行线的同旁内角计算，关键是辅助线构造与角度转化． 21．（6分）（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，是边上的高，，． (1)求的度数； (2)若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的高， ， ； （2）解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 22．（6分）（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 23．（6分）（25-26八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）解：证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 24．（6分）（25-26八年级上·安徽安庆·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 25．（8分）（25-26七年级下·全国·期中）如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴； ②由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 26．（8分）（25-26七年级下·广西钦州·期末）如图，有一副三角板和三角形，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)若将三角板绕点旋转到如图2的位置，使，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角的定义，掌握三角形内角和等于及角平分线的应用是解题关键． （1）首先，根据平角的定义及已知条件求得，再根据角平分线的定义求出，最后，根据求解即可； （2）首先，根据平角的定义及已知条件求得，，然后，根据角平分线的定义求出，，最后，相减即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ． ∵平分，平分， ∴，． ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $