第9章 统计（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学苏教版选择性必修第二册

第9章 统计（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·山东·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．经验回归直线必经过样本点中心 B．样本相关系数的值越大，两个变量的相关程度越强 C．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 2．（5分）（24-25高二下·江苏宿迁·期末）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2．表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（5分）（24-25高三下·山西·开学考试）已知变量x和变量y的一组成对样本数据，其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（    ） A．3.15 B．1.75 C．2.35 D．1.95 5．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（    ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 6．（5分）（24-25高二下·山东济宁·期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二下·福建厦门·期中）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 8．（5分）（24-25高二下·吉林·期末）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·辽宁·月考）研究变量，的相关关系时，得到了组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则第二次线性回归分析后（   ） 参考公式：①回归直线，， ②相关系数． A．相关系数不变 B．变量与的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 10．（6分）（24-25高二下·山西运城·期末）从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.其中旱涝频繁发生、世界性与区域性温度的异常给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，通过实验得到部分数据及其变换后的一组数据如下表： x 20 23 25 27 30 y 7.39 11.02 20.09 20.09 99.48 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（    ） A． B．模型中 C．计算得，则在温度时，产卵量y的残差为44.89 D．当时，蝗虫的产卵量y大约为 11．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的常用电池有锂电池与铅酸电池两种．某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，并得到下表．则下列说法正确的是（    ） 性别 偏好情况 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 男性 200 100 女性 A． B．该市大约有65%的市民偏好锂电池电动车 C．有95%的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关 D．若采用分层随机抽样的方法从偏好锂电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，则有女性市民参加座谈的概率为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 13．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本中心点处的残差为，则决定系数的值为__________（结果保留两位小数）． 14．（5分）（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有________人. 附： ， 其中， . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 16．（15分）（24-25高二下·江西景德镇·期中）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数 17．（15分）（24-25高二下·四川广安·期中）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．    (1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 18．（17分）（24-25高三下·山东德州·开学考试）一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 (1)能否在犯错误不超过1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？ (2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率． (3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19．（17分）（2025·宁夏石嘴山·一模）某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； (3)把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 统计（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·山东·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．经验回归直线必经过样本点中心 B．样本相关系数的值越大，两个变量的相关程度越强 C．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【解题思路】利用回归直线的性质判断A；利用相关系数的意义判断B；利用残差图的特征判断C；利用独立性检验判断D. 【解答过程】对于A，经验回归方程必经过样本点中心，A正确； 对于B，样本相关系数的绝对值越大，两个变量的相关程度越强，B错误； 对于C，在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，C错误； 对于D，由，根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断与有关联，即无关，D错误. 故选：A. 2．（5分）（24-25高二下·江苏宿迁·期末）对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2．表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据散点图和相关系数的概念进行判断即可. 【解答过程】根据图1和图2可以看出，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以. 因为图1的数据点比图2的更集中，所以. 所以. 故选：C. 3．（5分）（24-25高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量与的列联表如下表： 对于以下数据，对同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【解题思路】计算每个选项中的，比较大小后可得出结论. 【解答过程】对于两个分类变量与而言，的值越大，说明与有关系的可能性最大， 对于A选项，， 对于B选项，， 对于C选项，， 对于D选项，， 显然D中最大， 故选：D. 4．（5分）（24-25高三下·山西·开学考试）已知变量x和变量y的一组成对样本数据，其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（    ） A．3.15 B．1.75 C．2.35 D．1.95 【答案】D 【解题思路】先计算新数据的平均值，然后计算新数据的回归方程，进而根据残差定义计算. 【解答过程】因为过点，将代入得. 增加两个样本点后x的平均数为，，. 所以新的经验回归方程为，当时，. 所以样本的残差是，解得. 故选：D. 5．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）某景区对2017-2022年景区内农家乐接待人数（单位：万人）进行了统计，得到数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 6 接待人数万人 4.5 5.6 6.1 6.4 6.8 7.2 则接待人数与年份的相关系数约为（    ）（参考数据：） A．0.65 B．0.71 C．0.89 D．0.97 【答案】D 【解题思路】根据已知数据分别计算各个量得出的值即可. 【解答过程】由题得， 所以， 故接待人数与年份的相关系数约为0.97． 故选：D. 6．（5分）（24-25高二下·山东济宁·期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，新得到的经验回归直线斜率不变，则新得到的经验回归方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据原经验回归方程和求出原样本数据的，再计算去除两个样本点后的和，最后根据经验回归方程的性质求出新的经验回归方程. 【解答过程】因为经验回归方程为，， 所以. 原样本有10个数据点，， 则. 去除两个样本点后，样本有8个数据点，且， 所以新样本的 因为新的经验回归直线的斜率不变，则设新的经验回归方程为， 将代入方程得， 所以新的经验回归方程为. 故选：A. 7．（5分）（24-25高二下·福建厦门·期中）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解题思路】根据题意可得列联表，由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 【解答过程】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人. 所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为. 故选：C. 8．（5分）（24-25高二下·吉林·期末）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【解题思路】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【解答过程】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·辽宁·月考）研究变量，的相关关系时，得到了组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则第二次线性回归分析后（   ） 参考公式：①回归直线，， ②相关系数． A．相关系数不变 B．变量与的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 【答案】ACD 【解题思路】当添加新的数据点时，需要重新计算新的均值、斜率、截距及相关系数．通过分析新增点对这些统计量的影响，判断回归系数、相关系数和回归方程是否变化． 【解答过程】设，， 则，，所以，． 对于A，B，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，变量的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C，D，因为，且回归直线过点， 所以，均不变，所以线性回归方程不变，故C和D均正确， 故选：ACD． 10．（6分）（24-25高二下·山西运城·期末）从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.其中旱涝频繁发生、世界性与区域性温度的异常给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，通过实验得到部分数据及其变换后的一组数据如下表： x 20 23 25 27 30 y 7.39 11.02 20.09 20.09 99.48 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得经验回归方程，则（    ） A． B．模型中 C．计算得，则在温度时，产卵量y的残差为44.89 D．当时，蝗虫的产卵量y大约为 【答案】ACD 【解题思路】首先求得，，再结合相关概念逐一判断各个选项即可求解. 【解答过程】对于A，由表格数据知：，， 因为数对满足，得，故A正确； 对于B，，即，∴，∴，故B错误； 对于C，在温度时，，残差为，故C正确； 对于D，当时，蝗虫的产卵量y大约为，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）电动车的安全问题越来越引起广大消费者的关注，目前电动车的常用电池有锂电池与铅酸电池两种．某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名市民，其中被调查的女性市民中偏好铅酸电池电动车的占，并得到下表．则下列说法正确的是（    ） 性别 偏好情况 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 男性 200 100 女性 A． B．该市大约有65%的市民偏好锂电池电动车 C．有95%的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关 D．若采用分层随机抽样的方法从偏好锂电池电动车的市民中随机抽取7人，再从这7名市民中抽取2人进行座谈，则有女性市民参加座谈的概率为 【答案】AC 【解题思路】完成列联表可判断A；根据样本中偏好锂电池电动车的比例估计总体可判断B；求出可判断C；采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，男性市民有5人，女性市民有2人,利用古典概型求出概率可判断D错误． 【解答过程】对于A，被调查的女性市民人数为， 其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为， 偏好锂电池电动车的女性市民人数为，所以列联表为： 性别 偏好情况 偏好锂电池电动车 偏好铅酸电池电动车 总计 男性 200 100 300 女性 80 120 200 总计 280 220 500 故，，，故A正确； 对于B，由A选项中的列联表，知样本中偏好锂电池电动车的比例 为，故由样本估计总体，该市大约有的市民偏好 锂电池电动车，故B错误； 对于C，根据列联表中的数据可以求得 ， 故有的把握认为市民对这两种电池的电动车的偏好与性别有关，故C正确； 对于D，因为偏好锂电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比值为， 所以采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，男性市民有5人，女性市民有2人． 方法一：设“有女性市民参加座谈”为事件，则． 方法二：设这5名男性市民和2名女性市民分别为， 则从这7人中抽取2人的基本事件有 ，， 共21种情况，其中“有女性市民参加座谈”的有11种情况，故所求概率为，故D错误． 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·河北沧州·期中）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________.（结果用四舍五入法保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：，） 【答案】 【解题思路】根据表中数据求出，进而得出的值，代入公式计算即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， ， 则 ， ， 所以， . 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据： 日期代码 1 2 3 4 5 电池级碳酸锂价格（十万元/吨） 4.1 3.9 3.8 3.9 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，根据数据计算出在样本中心点处的残差为，则决定系数的值为__________（结果保留两位小数）． 【答案】 【解题思路】先根据数据在样本中心点处的残差求，再根据回归直线方程必过样本中心点，求出，做出残差表，根据公式求决定系数的值. 【解答过程】由题知，可得． 又， 由，可得． 列出残差表： 0.1 0.1 0.2 0 0 所以 ． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高三下·安徽淮南·开学考试）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若根据的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有________人. 附： ， 其中， . 【答案】30 【解题思路】设男生人数为x，由题意得列联表，计算，对照临界值列出不等式，求出x的取值范围. 【解答过程】设男生人数为x，由题意得列联表如下； 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 x 女生 合计 计算 解得 又， 所以 ， 即根据 的独立性检验，认为中学生追星与性别有关，所以男生至少有30人. 故答案为：30. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2)学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 【解题思路】（1）根据表格数据直接计算即可； （2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可. 【解答过程】（1）补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 （2）零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 16．（15分）（24-25高二下·江西景德镇·期中）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数 【答案】(1)，可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 (2) 【解题思路】（1）利用公式求出即可判断； (2)根据题意表示出小李挑战成功的概率为，再结合基本不等式及二次函数的知识求解即可. 【解答过程】（1）由表知，， ， ， ， ， 则， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． （2）当小李答对题数为3时，概率为： ， 当小李答对题数为4时，概率为：， 所以小李挑战成功的概率为：， 由，，， 则，当且仅当时等号成立， 所以，由二次函数的知识可知， 当时，小李挑战成功的概率最大，最大为. 17．（15分）（24-25高二下·四川广安·期中）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用表示活动推出的天数，表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．    (1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求关于的回归方程（保留两位有效数字），并预测活动推出第8天售楼部来访的人次，参考数据：其中，． 线性回归方程：，其中，． 1.84 58.55 6.9 【答案】(1)选. (2)；690 【解题思路】（1）观察散点图，结合散点图的特征选择合适的回归方程类型. （2）由，得.再根据所给数据，结合线性回归方程的有关计算公式，可求回归方程，再令求值即可. 【解答过程】（1）根据散点图的分布规律，随着的增大，的增长速度越来越快，符合指数函数的增长特征， 所以（均为大于零的常数）适宜作为人次关于活动推出天数的回归方程类型. （2）因为表示活动推出的天数，，则. . 因为，所以. 所以 ，所以. 又，所以. 所以. 当时，. 所以预测活动推出第8天售楼部来访的人次为690. 18．（17分）（24-25高三下·山东德州·开学考试）一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 (1)能否在犯错误不超过1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？ (2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率． (3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)能 (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）由独立性检验知识可完成判断； （2）由题可得抽取的10人中男性7人，女性3人，然后由排列组合与条件概率知识可得答案； （3）由题可得12人中，倾向于购买新能源车的居民人数为5人，据此可得可取0，1，2，3，然后可得分布列及期望. 【解答过程】（1）因为， 所以在犯错误不超过1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异． （2）由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7：3， 所以抽取男性7人，女性3人，再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件，则，恰有2名男性居民记为事件，则， 所以在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为. （3）在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽 12人，抽样比为50：1，可得抽取结果如下表： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 男性居民 7 5 再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 可取0，1，2，3，可求出，， ，， 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望. 19．（17分）（2025·宁夏石嘴山·一模）某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y（单位：亿元） 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度； (2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润； (3)把利润不超过4（亿元）的年份叫做“试销年”，从2018年到2024年这七年中任取2年，X表示取到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：，，， 参考公式：对于一组数据， ①相关系数为：； ②经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，． 【答案】(1)，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强； (2)，6.3亿元； (3)分布列见解析，期望为. 【解题思路】（1）根据题意判断相关性，再应用相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归直线方程，进而估计该人工智能公司2025年的利润； （3）由题意“试销年”的个数能取的值为并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【解答过程】（1）由题设，易知y与x线性相关，且， ， 由于，可以推断变量y与x成正线性相关且相关程度很强． （2）由题设，，， 所以，因此关于x的回归方程为， 当时，，即预测该人工智能公司2025的利润为6.3亿元； （3）由题意，2018年到2024年这七年的“试销年”为三个， 因此从2018年到2024年这七年中任取2个，取到“试销年”的个数能取的值为， 则，，， 因此的分布列如下： 所以其数学期望为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $