精品解析：甘肃天水市秦安县第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

2025~2026学年度（下）高2027届半期试题 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上 2.回答选择题时，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上. 3.考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管. 4.试卷满分：150分，考试时间：120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是，的等比中项，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的等比中项列出式子计算即可. 【详解】因为是，的等比中项，，即， 解得或. 2. 圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得，  整理为圆的标准方程，  对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 3. 用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意直接代入当n=1时，即可得到结果. 【详解】由题意，当时， 左边 故选：C 4. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为直线平面， 则， 即， 解得或. 5. 《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总和及题目条件列方程组求解即可. 【详解】设人所得面包数为递增等差数列，首项（即最小的一份）为所求，公差. 因为份总和为，由等差数列前项和公式， ​化简得 ①， 较大的三份为后三项​，较小的两份为前两项​， 由题意， 代入通项公式展开得， 化简得②， 把②代入①得，即，解得. 因此最小的一份为​. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，且的定义域为， 可知是奇函数，故图象关于原点对称，可排除C； 再求导得：， 当时，，即在上单调递增，可排除D； 又当时，，即在上单调递减，故在时取到极大值，可排除B． 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 8. 已知关于，的方程组恰有一组解，其中为自然常数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得与圆相切于点，根据导数的几何意义，可得曲线在点处切线的斜率k，根据斜率公式，求出切点与圆心连线的斜率，由题意，整理计算，代入求解，可得的值，即可得答案. 【详解】由题意得与圆相切于点， ，则曲线在点处切线的斜率， 切点与圆心连线的斜率， 由题意得，即， 又，所以，即， 又，则， 令，则，所以，解得或（舍）， 所以，解得，， 则，所以. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，则下列说法正确的是（ ） A. 若这组数据的极差为，则 B. 若这组数据的第百分位数是，则 C. 若这组数据的平均数是，则 D. 若，则这组数据的方差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A分和两种情况分别计算极差可得；对B根据在这组数的位置分类讨论可得；对C根据平均数的定义可得从而可判断结果，对D由，直接计算这组数据的方差可得. 【详解】对于A，因为，若，则极差为，得；若 ，则极差不可能为9，所以A正确； 对于B，因为，所以，所以这组数据的第百分位数是第4个数和第5个数的平均数， 若，这组数据第4个数和第5个数为和，所以，不符合； 若，这组数据第4个数和第5个数为和，所以，得； 若，这组数据第4个数和第5个数为和，所以，得但不满足，故不符合； 综上所述，所以B正确. 对于C，由平均数公式得，得，而非，故C错误； 对于D，若，则平均数， 所以这组数据的方差为 所以D正确. 10. 从名男生和名女生任选人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ） A. 若名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有种 B. 若至少有一名女生入选，则一共有种选法 C. 若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有种选法 D. 入选的人恰为两名男生两名女生的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用排列组合的插空法，间接法求解. 【详解】总共有人任选人，总选法为 ，逐一分析选项. 选项A， 名男生全入选后排队，求甲乙不相邻的排法： 用插空法，先排其余名男生，共种排法，产生个空位，将甲乙插入空位共 种，总排法为种，A正确； 选项B，至少名女生入选，用间接法：总选法减去全男生的选法，全男生选法仅种，因此符合条件的选法为，B错误； 选项C， 甲、乙至少人入选，间接法：总选法减去甲乙都不入选的选法.甲乙都不入选时，从剩余人中选人，选法为，因此符合条件的选法为，C正确； 选项D，恰为男女的选法为，概率为，D错误. 11. 双曲线：的离心率为.定义.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 若且动点轨迹长度为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先明确集合的定义，再联立直线与双曲线方程判断直线与双曲线无交点的情况；结合双曲线离心率公式推导的取值范围；确定轨迹及长度，结合圆的弧长公式，推导离心率的值. 【详解】联立直线与双曲线 ， 整理可得，直线与双曲线无交点等价于： 若，需满足； 若，仅当时无交点（此时方程无解）； 若，必有交点.结合题设，逐一分析选项： 选项A，对，，满足条件； ，且，直线是双曲线的渐近线，与双曲线无交点， 故 ，A正确； 选项B，若，对，， 且，不变，原条件仍然满足，故， B正确； 选项C，若，则，代入得：  ，整理得，，，C错误； 选项D，动点满足，且存在使得，等价于， 代入得（​）， 轨迹为单位圆上满足的两段弧，总弧长， 得，代入得， 故​​，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以为准线的抛物线的标准方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线方程为,再利用准线方程求解即可. 【详解】设抛物线方程为,则,故.故抛物线的标准方程为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与准线方程,属于基础题型. 13. 已知曲线与相切，其中为自然常数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】切点坐标为，利用导数的几何意义求解曲线切线斜率. 【详解】对求导得，设切点坐标为， 根据导数的几何意义，切线斜率满足，​ 切点同时在曲线和切线上， 因此可得方程组消去得​， 将代入得， 因为，两边约去得，因此. 14. 数列满足，其中为自然常数，若是单调递增数列，则________. 【答案】 【解析】 【分析】通过和时，构造数列，进而求得通项公式，通过  是否恒成立求解即可. 【详解】由 ， 构造等比数列： ， 展开对比系数得  ，即 ， 即， 当时，得， 即，由指数函数的单调性可知是单调递增数列， 当时， 数列 是公比为  的等比数列， 首项为：，则 通项整理得： ​， 则， 即， 若，则时， 则， 故， 所以， 故当为偶数且时，，与题设矛盾； 若，此时 则时，则， 故， 所以， 故当为奇数且时，，与题设矛盾； 综上可知：是单调递增数列，则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，的前项和记为，，. （1）求的通项公式； （2）令，记的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出等式求解即可； （2）通过错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为，由题意， 解得，故. 【小问2详解】 由（1）知，则， 故， 两边同时乘2，得， 上面两式相减得 ， 所以. 16. 已知函数在处取极值. （1）求的极大值和单调区间； （2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用极值点处导数为零求出参数，再通过导数符号判断函数的单调性与极值； （2）先求出函数在区间上的端点值与极值，再根据 “只有一个零点” 的条件列不等式组求解的范围. 【小问1详解】 记的导函数为，则， 因此由是极值点知，可得， 此时，故列表如下： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 由表知的单调递增区间为，，单调递减区间为， 且在处取到极大值. 【小问2详解】 同上可列表如下： 1 3 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 由表知在上只有一个零点当且仅当或， 解得. 17. 如图，在五棱锥中，已知底面，，，， （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 由条件可知，因此， 又底面，底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可证，根据线面垂直的性质，可证，根据线面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，根据条件，可得点C、D坐标，进而可求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，代入公式，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 由题目条件，得， 由，得，则， 则， 此时，， 设平面的一个法向量为，则由，有， 取则，，则， 所以直线与平面所成角的正弦值满足 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. （1）求椭圆的方程. （2）直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标关系求出点的坐标，再代入椭圆方程并结合题意求解； （2）直线与椭圆方程联立，三点共线，所以​，代入坐标关系即可求出的值； 联立方程，得到范围，利用弦长公式求出，进而得到的面积表达式，利用函数求最值的方法，判断面积是否存在最大值，若存在求出对应的值. 【详解】（1）由，得， 代入椭圆方程可得， 又椭圆离心率为，可知， 解得，， 故椭圆的方程为. （2）①设，，则中点， 由，，三点共线，知， 由，均在椭圆上，，得， 由，则，则. ②由，得， ，解得， 由，故， 则， 而到的距离， 令的面积为，则. 令函数，， 记的导函数为， ， 又根据以及的符号， 知在上单调递增，在和上单调递减， 故在处取得最大值， 所以当，取得最大值. 19. 已知.其中表示的导函数. （1）求. （2）令，记的导函数为，若与在处有相同的切线， ①证明：恒成立； ②，，记，证明：对有. 【答案】（1）； （2） ①由（1）得： 求导得：， 记的导函数为，则有 ， 由题意，解得， 则，， 令，， 则，， 所以是在上单调递减的，且， 则，；，，又， 在上单调递增，在上单调递减， 所以. ②由， 题目条件化为：对任意的，， 由，， 则，， 对于，，， ， 则对任意的， ， 得， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求得导函数，令，即可求解； （2）①通过二次求导确定的单调性，即可求证；②由①，得到，再通过累加求和，即可求证； 【小问1详解】 的定义域为， 由， 代入，得； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度（下）高2027届半期试题 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上 2.回答选择题时，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上. 3.考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管. 4.试卷满分：150分，考试时间：120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是，的等比中项，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3或 2. 圆的半径为（ ） A. B. C. D. 3. 用数学归纳法证明下列等式：．要验证当时等式成立，其左边的式子应为（　　） A. B. C. D. 4. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或1 5. 《莱因德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目，请给出答案：把个面包分给个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于，的方程组恰有一组解，其中为自然常数，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，则下列说法正确的是（ ） A. 若这组数据的极差为，则 B. 若这组数据的第百分位数是，则 C. 若这组数据的平均数是，则 D. 若，则这组数据的方差为 10. 从名男生和名女生任选人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ） A. 若名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有种 B. 若至少有一名女生入选，则一共有种选法 C. 若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有种选法 D. 入选的人恰为两名男生两名女生的概率为 11. 双曲线：的离心率为.定义.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 若且动点轨迹长度为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 以为准线的抛物线的标准方程为________ 13. 已知曲线与相切，其中为自然常数，则________. 14. 数列满足，其中为自然常数，若是单调递增数列，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，的前项和记为，，. （1）求的通项公式； （2）令，记的前项和为，求. 16. 已知函数在处取极值. （1）求的极大值和单调区间； （2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围. 17. 如图，在五棱锥中，已知底面，，，， （1）证明：平面； （2）若，，求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，是平面内一点，是椭圆上一点，若. （1）求椭圆的方程. （2）直线：与椭圆交于，，线段的中点为，若，，三点共线， ①求的值； ②试问：是否存在，使得的面积取到最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由. 19. 已知.其中表示的导函数. （1）求. （2）令，记的导函数为，若与在处有相同的切线， ①证明：恒成立； ②，，记，证明：对有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $