9.2.3总体集中趋势的估计（第2课时）（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2用样本估计总体 9.2.3总体集中趋势的估计（第二课时） 学 习 目 标 1 2 3 掌握频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的计算方法. 能用样本估计总体的集中趋势，如平均数、中位数、众数，理解集中趋势参数的统计含义. 通过总体均值趋势的学习，提升学生的数学运算、数据分析素养. 新课引入 名称 优点 缺点 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感. 中位数 不受少数几个极端值数据（即排序靠前或者靠后的数据）的影响. 对极端值不敏感. 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大. 新课引入 总体 总体数据 样本 抽查 随机抽样 样本观测数据 样本的取值规律、 平均数、中位数、 众数、极差、 百分位数 总体的取值规律、 平均数、中位数、 众数、极差、 百分位数 估计 普查 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图，这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？ 新知探究 探究2:样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据． 如何由频率分布表或频率分布直方图估计样本的平均数、中位数和众数？ 你能以图9.2-1中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗? 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布. 新知探究 ①平均数：样本平均数可表示为数据与它的频率的乘积之和 于是平均数的近似值为 这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大. 所以频率分布直方图中，样本平均数可用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 新知探究 ②中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 根据中位数的意义，在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. ∴中位数落在区间内 设中位数是，则 这个结果与根据原始数据求得的中位数6.8相差不大. 新知探究 ③众数：最高矩形的中点 在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值. 于是众数的近似值为 众数常用在描述分类型数据中，在这个实际问题中，众数“5.7”让我们知道月均用水量在区间内的居民用户最多.这个信息具有实际意义. 知识小结 由频率分布直方图估计总体的集中趋势 众数：最高矩形的中点 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 注：频率分布直方图损失了些样本数据，得到的是一估计值，且所得估值与数据分组有关，有随机性。 新知探究 平均数 中位数 众数 在频率分布直方图中的含义 特点 优点 缺点 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变 把频率分布直方图划分为左右两个相等的面积 只利用了样本数据中间位置的一个或两个值 最高矩形底边中点的横坐标 只利用了出现次数最多的那个值的信息 受极端数据的影响较大. 代表了样本数据更多的信息. 只能表达样本数据中的少量信息. 容易计算，不受少数几个极端值的影响. 平均数、中位数、众数的含义、特点及优缺点 即时训练 1、判断正误. （1）一组数据中的平均数和中位数都不一定是原始数据中的数.( ) （2）样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.( ) （3）若改变一组数据中其中一个数，则这组数据平均数、中位数、众数都会发生改变.( ) 【答案】：√，×，×. 2、抽样调查了某班30位女生所穿鞋子的尺码（单位：码），数据如下.在这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是_______ 码号（码） 33 34 35 36 37 人数（人） 7 6 15 1 1 【答案】：众数 即时训练 3、从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，数据如下： 则可估计这批产品的质量指标的众数为_______，中位数为_______，平均数为_______. 【答案】：, , 即时训练 题型1 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 1、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （1）求这次测试数学成绩的众数; （2）求这次测试数学成绩的中位数. （3）求这次测试数学成绩的平均分. 解：（1）由图可知， 这次测验数学成绩的众数为： （2）∵前3组的频率为0.4，前4组的频率为0.7， ∴中位数一定在内. (法一)设中位数为，则：解得 (法二)即这次测验数学成绩的中位数为73.33. 即时训练 题型1 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 1、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示. （3）求这次测试数学成绩的平均分. 解：（3） 即时训练 题型1 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 2、某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩整理后分成五组,绘制成频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率依次是 (1)估计高一参赛学生的成绩的众数、中位数; (2)估计高一参赛学生的平均成绩. 解：（1） 众数为65；中位数为60+5=65. （2）由题图,估计高一参赛学生的平均成绩为 即时训练 题型1 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 3、从高三抽出名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图． 由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1) 这名学生成绩的众数与中位数； (2) 这名学生的平均成绩． 解：（1）由直方图可知，众数为75分． 中位数约为分. （2）这名学生的平均成绩为 即时训练 题型1 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 4、某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这人根据其满意度评分值(百分制)按照分成组，制成如图所示频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)求这组数据的众数、平均数和中位数(保留两位小数) 解：(1)由， 解得. (2)众数为 75 平均数为 设中位数为，评分小于等于70的频率为0.25， 评分小于等于80的频率为0.6，∴， 则，解得 即时训练 题型1 频率分布直方图中的平均数、中位数、众数 5、(多选)为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”.现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”.下列说法正确的是（　A） .的值为0.015 .该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01 .被抽取的1000名小学生的平均分大约是85分 .学生成绩的中位数大约为75分 【答案】： 课堂总结 总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计： ①直接利用样本数据； ②由频率分布直方图来估计 两者可能不同 ①直接利用样本数据： ②由频率分布直方图来估计： 平均数 中位数 众数 在频率分布直方图中的含义 特点 优点 缺点 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变 把频率分布直方图划分为左右两个相等的面积 只利用了样本数据中间位置的一个或两个值 最高矩形底边中点的横坐标 只利用了出现次数最多的那个值的信息 受极端数据的影响较大. 代表了样本数据更多的信息. 只能表达样本数据中的少量信息. 容易计算，不受少数几个极端值的影响. 平均数、中位数、众数的含义、特点及优缺点 课堂总结 感谢聆听! $