9.2.3总体集中趋势的估计（第1课时）（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2用样本估计总体 9.2.3总体集中趋势的估计（第一课时） 学 习 目 标 1 2 3 掌握频率分布直方图中的平均数、中位数、众数的计算方法. 能用样本估计总体的集中趋势，如平均数、中位数、众数，理解集中趋势参数的统计含义. 通过总体均值趋势的学习，提升学生的数学运算、数据分析素养. 新课引入 2.用原始数据求百分位数 3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数 1.百分位数定义 新课引入 你去应聘一家公司,公司招聘人员告诉你:“我们公司的50名员工的平均年收入是11.5万元.” 假设你希望获得年薪10万元. 问题1：你能根据以上信息决定你是否应聘吗？ 追问：你还希望了解哪些信息再做决定？ 众数 中位数 平均数 新知探究 问题1:平均数、中位数、众数是什么？ (2)中位数： (1)众数： (3)平均数： 一组数据中出现次数最多的数． 一组数据按大小依次排列后处在最中间位置的数(或最中间两个数据的平均数). 一组数据的算术平均数，即： 下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势. 典例分析 例4 利用节中100户居民用户的月均用水量的调查数据, 计算样本数据的平均数和中位数, 并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数. 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 【分析】平均数: ,中位数的计算需先对数据进行排序。 典例分析 解：①根据已知100户居民用户月均用水量的数据，可得样本平均数为 即100户居民的月均用水量的平均数为8. 79 t. ②将样本数据按从小到大排序，结果如下： 1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0 得第50个数和第51个数均为6.8，由中位数的定义，可得： 100户居民的月均用水量的中位数是6.8. 新知探究 追问:假设某个居民小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？ 根据上述思考可得：全市居民用户的月均用水量约为，则2000户居民的月用水总量为. 思考:小明用统计软件计算100户居民用水量的平均数和中位数．但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77．请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较,哪个量的值变化更大? 平均数：8.79 t 9.483 t 中位数：6.8 t 6.8 t 新知探究 追问:你能解释平均数变化更大的原因吗？如果有人说“我们企业员工的年平均收入为20万元”，说明公司待遇好，可信吗？ 样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变； 中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变 与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感. 新知探究 探究1:平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关。在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？ （1）“单峰”，直方图形状对称，平均数≈中位数 和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. （2）直方图在右边“拖尾”，平均数＞中位数 （3）直方图在左边“拖尾”，平均数＜中位数 新知探究 如果数据平均数和中位数相差较大，则可推断这组数据一定是不对称的. 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值； 如果样本平均数小于样本中位数，说明数据中存在较小的极端值； 典例分析 例5 某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示： 校服规格 155 160 165 170 175 合计 频数 39 64 167 90 26 386 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性. 【分析】虽然校服规格是用数字表示的，但它们事实上是几种不同的类别，对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合适. 典例分析 解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据（下图)，可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最多，所以众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适。 由于全国各地的高一年级的女生身高存在 一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国 高一年级女生校服的规格不合理. 众数只利用了出现次数最多的那个值的信息，只能说明它比其他值出现的次数多，但并未体现它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感. 新知探究 中位数、平均数和众数优缺点 名称 优点 缺点 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感. 中位数 不受少数几个极端值数据（即排序靠前或者靠后的数据）的影响. 对极端值不敏感. 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大. 新知探究 思考:根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？ 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数； 对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数。 即时训练 1、判断正误. （1）中位数是一组数据中间的数.(　　) （2）众数是一组数据中出现次数最多的数.(　　) （3）一组数据中的众数只有1个. ( ) （4）平均数反映了一组数据平均水平，任何一样本数据改变都会引起平均数变化.(　　) （5）一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数受极端值的影响较小.(　　) 【答案】：×，√，×，√，√. 即时训练 2、给一位学生在计算个数据的平均数时，错把输成，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为( ) . . . . 【答案】： 3、某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为165,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是　　　　. 【答案】： 即时训练 4、某学习小组在一次数学试验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该学习小组成绩的平均数、众数、中位数分别是（ ）. .85分、85分、85分 .87分、85分、86分 .87分、85分、85分 .87分、85分、90分 【答案】： 5、某校在一次学生演讲比赛中，共有7个评委，学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分的平均分.某学生所得分数为9.6，9.4，9.6，9.7，9.7，9.5，9.6，这组数据的众数是______，该学生最后得分为______. 【答案】： 即时训练 6、某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下： 甲：7.5   7.5   7.8   7.8   8.0   8.0   8.2   8.3   8.4   9.9 乙：7.5   7.8   7.8   7.8   8.0   8.0   8.3   8.3   8.5   8.5 选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数.那么，这两个选手的最后得分是多少？ 去掉最低分和最高分的评分机制更好，可规避个别评委对选手得分的影响. 追问1：若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？ 追问2：你认为哪种评分办法更好？为什么？ ， 乙比甲的得分高 ， 甲比乙的得分高 限时训练 7、(1) 如果你是鞋店经理，你最关心的是哪种号码的鞋销量最大，那么平均数、 众数和中位数这三个数据对你来说最重要的是______. (2) 某次体检中，6位同学的身高(单位:米)分别为 1.72 ，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 则这组数据的中位数是_____. (3) 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为 90，94，87，96，93，89，91，92， 则这组数据的中位数与平均数的和为_____. 【答案】：众数，， 限时训练 8、如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态. 根据所给图作出以下判断，正确的是（ ） . 图（1）中的平均数中位数众数 . 图（2）中的平均数众数中位数 . 图（2）中的众数中位数平均数 . 图（3）中的平均数中位数众数 【答案】： 课堂总结 名称 优点 缺点 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感. 中位数 不受少数几个极端值数据（即排序靠前或者靠后的数据）的影响. 对极端值不敏感. 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大. 感谢聆听! $