精品解析：天津市静海区第一中学2025-2026学年高二第二学期期中学业能力调研数学试卷

静海一中2025-2026第二学期高二数学（期中） 学生学业能力调研试卷 命题人：杨夺 审题人：陈中友 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题:（ 每小题5分，共45分.） 1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以，， 设线在点处的切线的倾斜角为， 由导数的几何意义知，即. 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：B. 2. 的展开式中常数项为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 3. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件， “第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件， 则， 所以. 4. 已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过讨论丙的位置，确定甲，乙两人站在丙的同侧的情况，再结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】4人随机站成一排，总排列数为 ， 按丙的位置分类计数： 丙在最左（第1位）或最右（第4位）：剩余3人全排列，共 ，此时甲乙必然都在丙的同侧，全部符合； 丙在第2位：仅能让甲乙都在丙的右侧（2个位置）排列，丁在左侧，共种； 丙在第3位：仅能让甲乙都在丙的左侧（2个位置）排列，丁在右侧，共  种； 符合条件的事件总数为 ， 故甲，乙两人站在丙的同侧的概率为​. 5. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可. 【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有种； 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法， 故共有种； 当1号实验室有3人时，分配方案有种； 可得不同的分配方案共有种． 故答案为：50 6. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可. 【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为 故选：C 7. 展开式中的系数为（ ） A. 68 B. －80 C. －68 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 9. 若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的指数移项构造一个相同自变量，再根据相同函数类型建立自变量等式，最后分参构造函数，求导分析函数区间内的值域，即可求解. 【详解】先移项， 因为， 所以， 构造函数令，，所以在定义域内单调递增， 所以对于任意一个函数值，都有唯一一个对应， 所以， 令，， 令， 当，，在区间内单调递减， 当，，在区间内单调递增， 最后求端点值确定函数值域，，，， 因为， 所以， 条件为有解，即函数与有交点，所以. 二、填空题：（每小题5分，共25分.） 10. 的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 11. 云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 【答案】72 【解析】 【详解】根据题意，分两步进行分析： 指导老师和学员站在两端，有种情况， 中间5人分两种情况讨论： 若、相邻且、相邻，、不相邻，有种安排方法； 若、相邻且、都不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有种安排方法， 综上所述，共有种排法. 12. 三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 【答案】 【解析】 【详解】记｛球取自号罐｝，{取得红球}， 显然的发生总是伴随着之一同时发生， 即，且两两互斥， ， 由全概率公式可得， 13. 从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以. 14. 若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令得到或，令，利用导数说明函数的单调性，依题意可得与有且仅有一个交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，可得， 令，则，即，所以或， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，当时，且时，时， 则的图象如下所示： 因为关于的方程仅有一个实数根， 所以或有且仅有一个实数根， 显然无解，所以有且仅有一个实数根， 即与有且仅有一个交点，所以或， 即实数的取值范围为. 三、解答题：(本大题共4小题，共50分) 15. 学校要从10名候选人中选3名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，其余6名同学来自除甲班外的其他互不相同的6个班．假设每名候选人都有相同的机会被选到． （1）求甲班恰有2名同学被选到的概率； （2）求选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用排列组合和古典概型的概率公式直接计算； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式直接计算. 【小问1详解】 设选到的3人中甲班同学的人数为X，∴. 【小问2详解】 设“选到的3名同学是来自互不相同的班级”为事件A， 则有可能1个同学来自甲班，2个同学来自其他班，有种； 也有可能3个同学都来自其他班，有种； 则， 所以选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率为. 16. 已知 展开式共有11项. （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值. （4）求的值. （5）结合二项式展开式的特点，针对合理赋值这一方法应如何进行设问. 【答案】（1）0 （2） （3）0 （4）20 （5）答案见解析 【解析】 【小问1详解】 二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此. 【小问2详解】 展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数，等价于令代入原式： 计算得，因此结果为. 【小问3详解】 令，代入等式得， 左边等于，因此结果为. 【小问4详解】 对两边分别求导数，左边，右边， 代入，得到. 【小问5详解】 可以通过给赋值为求系数总和，求常数项，若各项的系数形如，可赋值，如果出现之类，可以先对二项式两边分别求导，然后赋值去求解. 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解极值； （2）求导，分析函数的单调性，进而求解最值； （3）令，得在上有解，结合（1）可知函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域是， 可得， 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 当时，，定义域是 可得 令，定义域是， 而，当时，， 因此在上是增函数，则， 所以，即在上是增函数， 所以. 【小问3详解】 由，定义域是， 令，得在上有解， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，，时，， 则的取值范围为. 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 一、解答题：(本大题共2小题，共27分) 18. 有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. （1）共有多少种不同的放法？ （2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （3）若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （4）若五个小球是相同的，全部放入这三个盒子中，且每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？（注意：请写出式子再写计算结果） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是. 【小问2详解】 第一步将个球分成组，可分为两种情况，一种是个球，个球，个球，有种方法，另一种情况是个球，个球，个球分组，有种方法； 第二步，将分成的组放到个不同盒子，有种放法， 所以每个盒子不空的不同放法种数是. 【小问3详解】 分两种情况，若号盒子放个球，且每个盒子不空， 只需将剩余三个小球进行全排列放入个盒子即可，共有种放法； 若号盒子放个球，且每个盒子不空，将另个球分成2组，放入余下个盒子，共有种放法； 所有不同放法种数是. 【小问4详解】 将小球分为组，若分为个球，个球，个球， 那么在个盒子中选个放个球，其余个盒子各自放个球，共有种放法； 若分为个球，个球，个球， 那么在个盒子中选个放个球，其余个盒子各自放个球，共有种放法； 所有不同放法种数是. 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【答案】（1） . （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【小问1详解】 当时，，则 ，    ，切线方程为 ，即. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴，           ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又，           当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为．           （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证，           ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立，           令， ∴，           ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【点睛】方法归纳：研究时函数的零点个数，可通过分离参数将问题转化为，通过研究函数的单调性、极值与值域，结合函数图象与直线的交点个数确定参数范围；证明双变量不等式，属于极值点偏移问题，可通过将两个零点满足的等式变形，统一为单变量，构造辅助函数，利用导数研究辅助函数的单调性与最值完成证明. 易错归纳：求解过程中易忽略定义域的限制，导致参数范围求解错误；求导运算失误，造成函数单调性、极值点判断错误；极值点偏移证明中变量替换不严谨，辅助函数构造或单调性分析出错，导致证明逻辑断裂. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2025-2026第二学期高二数学（期中） 学生学业能力调研试卷 命题人：杨夺 审题人：陈中友 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题:（ 每小题5分，共45分.） 1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中常数项为（   ） A. B. C. D. 3. 口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（ ） A. 26种 B. 36 种 C. 38 种 D. 50 种 6. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 展开式中的系数为（ ） A. 68 B. －80 C. －68 D. 80 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题5分，共25分.） 10. 的展开式中的系数为___________. 11. 云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法有_______种. 12. 三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 13. 从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 14. 若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 三、解答题：(本大题共4小题，共50分) 15. 学校要从10名候选人中选3名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班，其余6名同学来自除甲班外的其他互不相同的6个班．假设每名候选人都有相同的机会被选到． （1）求甲班恰有2名同学被选到的概率； （2）求选到的3名同学是来自互不相同的班级的概率． 16. 已知 展开式共有11项. （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值. （4）求的值. （5）结合二项式展开式的特点，针对合理赋值这一方法应如何进行设问. 17. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求在上的最小值； （3）若在上存在零点，求的取值范围. 第Ⅱ卷 提高题（共30分） 一、解答题：(本大题共2小题，共27分) 18. 有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. （1）共有多少种不同的放法？ （2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （3）若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （4）若五个小球是相同的，全部放入这三个盒子中，且每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？（注意：请写出式子再写计算结果） 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $