精品解析：天津市静海区第一中学2025-2026学年第二学期高二数学（3月）学生学业能力调研试卷

静海一中2025-2026第二学期高二数学（3月） 学生学业能力调研试卷 命题人：杨夺 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（127分）和第Ⅱ卷提高题（20）两部分，卷面分3分，共150分. 知识与技能 学习能力 内容 导数定义 单调性 极值最值 性质 导数几何意义 参数范围 关键环节 分数 10 36 28 26 14 33 20 第Ⅰ卷基础题（共127分） 一、选择题：（每小题5分，共40分.） 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 9或1 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题5分，共30分.） 9. 已知函数，则__________. 10. 函数的单调递减区间为__________. 11. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 12. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 13. 设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 14. 若不等式≤对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为________． 三、解答题：（本大题共5小题，共57分） 15. 已知函数 . （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）求函数的图像经过点的切线方程. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且，求a的取值范围. 17. （1）已知函数，.若在不单调，求实数a的取值范围； （2）若，若，都有，求实数的取值范围； （3）函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （4）请总结已知函数单调性求参数范围的解题方法. 18. 已知函数，（）. （1）若， ①求的极值； ②求证：在上恒成立； （2）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 第Ⅱ卷 提高题（共20分） 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2025-2026第二学期高二数学（3月） 学生学业能力调研试卷 命题人：杨夺 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（127分）和第Ⅱ卷提高题（20）两部分，卷面分3分，共150分. 知识与技能 学习能力 内容 导数定义 单调性 极值最值 性质 导数几何意义 参数范围 关键环节 分数 10 36 28 26 14 33 20 第Ⅰ卷基础题（共127分） 一、选择题：（每小题5分，共40分.） 1. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的极限表达式计算. 【详解】若，则． 2. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 3. 函数在区间上的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数，所以， 在区间上，因为，所以， 所以在上单调递增， 所以最大值在处取得，. 4. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 9或1 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 5. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数与单调性的关系判断即可. 【详解】由函数的图象可知： 当时，，，此时单调递增； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递减； 当时，，，此时单调递增．故C满足． 6. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 7. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 二、填空题：（每小题5分，共30分.） 9. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】解：由题，则，解得. 10. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 11. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，代入点的坐标，可得. 【详解】对函数，令，则，得. 所以. 函数的定义域为，. ，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 12. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 13. 设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析其单调性和奇偶性，再结合图形即可求解不等式. 【详解】设，则， 因为当时，，所以当时，， 所以函数在上单调递减， 又，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即是上的奇函数， 故函数在上单调递减，， 又为偶函数，则，所以，所以， 不等式等价于，结合图象解得或， 则不等式的解集为. 14. 若不等式≤对任意的正实数x恒成立，则实数k的取值范围为________． 【答案】(0，1] 【解析】 【分析】通过导数研究函数f(x)＝的最值情况，不等式等价于函数最大值小于等于，解得k的范围即可. 【详解】令f(x)＝ (x＞0)，则，因此， 令，解得x＝， 则函数在上单增，在上单减，函数f(x)在x＝处取得极大值，也是最大值，为， 由题意有≤，所以0＜k≤1． 故答案为：(0，1]. 三、解答题：（本大题共5小题，共57分） 15. 已知函数 . （1）求函数的图像在处的切线方程； （2）求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程. （2）分点为切点和不为切点两种情况讨论可求得函数的图像经过点的切线方程. 【小问1详解】 由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. 【小问2详解】 ①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）结合（1）可得时，有极小值，进而结合题意可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 17. （1）已知函数，.若在不单调，求实数a的取值范围； （2）若，若，都有，求实数的取值范围； （3）函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （4）请总结已知函数单调性求参数范围的解题方法. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案见解析 【解析】 【详解】（1）函数， 求导得， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，因此， 设，，则， 则在上单调递增，于是，即； 若单调递减，在上恒成立，即在上恒成立， 因此， 故当在不单调时，的取值范围为； （2）不妨设，则可化为， 即， 令，则在上单调递增， 所以在上恒成立， 由，解得， 故实数的取值范围为； （3）的定义域为， 因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 解得，故，解得， 故实数的取值范围为； （4）对于已知函数的单调性求参数问题： （i）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立； （ii）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立； （iii）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解； （iv）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解. 18. 已知函数，（）. （1）若， ①求的极值； ②求证：在上恒成立； （2）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】（1）①极大值为，不存在极小值；②证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）①根据导函数的正负性得出单调性即可； ②将问题转化为求证恒成立，构造函数求最值即可； （2）利用参变分离将问题转化为求函数的最大值即可. 【小问1详解】 ①若，则，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，不存在极小值. ②要证，即证，即证， 令，则， 故在上单调递减，则， 故，命题得证； 【小问2详解】 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立. 令， 则 因为，所以，， 又在上是增函数，， 所以存在，使得， 当时，，；当时，，； 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 因为，所以, 又因为，所以a的最小值为. 第Ⅱ卷 提高题（共20分） 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数； （3）证明： 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）将函数零点问题转化为直线与函数的交点问题，通过导数研究的单调性与极值，分类讨论的取值，确定的零点个数； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【小问1详解】 ，则， 又，所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时， 个零点. 【小问3详解】 令，， 则， 由可知，令，. 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即；当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $