湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（四）

《湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C C C D C C ABC ABC ABD 1．D 【分析】先解不等式求得集合，再由交集的定义即可求得答案. 【详解】由可得，即得， 又，则. 故选：D. 2．B 【分析】由充分必要条件的定义判断即可. 【详解】时，解得，不一定成立， 当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3．C 【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性可知，. 故选：C. 4．C 【分析】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对； 对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对； 对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错； 对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对. 故选：C. 5．C 【分析】先求出等差数列通项为，再由百分位数的计算方法得到第60百分位数是. 【详解】因为，所以， 设等差数列公差为，则，即，解得， 因此，等差数列通项为：， 因为，向上取整得到7， 所以第60百分位数是第七项，. 故选：C. 6．D 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6． 故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 7．C 【分析】根据抛物线的定义计算即可. 【详解】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为， 过点作的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立. 故选：C. 8．C 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 9．ABC 【分析】根据线性回归方程经过样本中心，可解得，可判断A,B,C.由回归方程做预测，即可判断D. 【详解】，， ∴回归直线经过点，B正确， 将， 代入得，∴变量与呈负相关，A、C正确， 当产品价格为元时，代入得，∴日需求量大约为，D错误， 故选:ABC． 10．ABC 【分析】根据题意，由二项式系数的性质，即可判断ABC，分别令与，然后两式相减，即可判断D. 【详解】对于A，二项式系数之和为，故A正确； 对于B，因为第3项二项式系数为，第8项的二项式系数为， ，故B正确； 对于C，由于为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，令可得①， 令可得②， 两式相减可得， 所以，故D错误； 故选：ABC 11．ABD 【分析】A项列举法求出房间相邻的情况，由古典概型与对立事件的概率公式求解；B项给出取6个房间且两两不邻的例子，由房间均与个房间相邻，分析取个房间必有相邻情况；C项列举可得；D项先列举从到达的情况求出相应条件概率，再利用全概率公式写出递推关系，构造数列求通项进而求具体概率即可. 【详解】A项，任取两个房间，相邻有种情况：， 所以任取两个房间不相邻的概率为，故选项A正确； B项，当时， 可将小球放在，此时房间两两不相邻； 当时，房间均与个房间相邻， 则从个房间任意抽走个房间后，总有相邻的房间，所以，故选项B正确； C项，小球从房间出发，次移动后到达房间有种路径： ；；； ；；； ，故选项C错误； D项，设小球从房间经过次移动到达房间的概率为，由题意可知为偶数， 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 小球在房间，次移动的路径有： ； 所以，小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一， 且当小球经过次移动到达房间时，第次移动后必在房间之一， 小球从房间或经过次移动到达房间的概率均为； 小球从房间经过次移动到达房间的概率均为； ， 则，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则， 所以. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是通过列举分析得出小球从房间出发，经过偶数次移动后一定在房间之一，进而分类分析应用全概率公式得到概率递推关系. 12．4 【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，知：当且仅当时等号成立. 故答案为：4. 13．（] 【分析】先讨论成立，然后讨论时，利用二次函数的图像求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题，当时，成立， 当时，则，解得，故的取值范围是， 故答案为： 14．/ 【分析】先作辅助线，根据双曲线的对称性以及双曲线的定义得到边长之间的关系，再结合勾股定理可求得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， ， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：求双曲线的离心率： （1）熟练掌握双曲线的定义：双曲线上一点到两焦点的距离差的绝对值为定值； （2）双曲线的对称性得到边长之间的关系是解题的关键； （3）根据勾股定理构造等式，进而求得离心率. 15．(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出． 【详解】（1），其中，则， 由导数的几何意义可得， 又， 在点处的切线方程为． （2），其中，则， ，则， 由可得，由可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得，符合题意． 综上，． 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)连接交于，连接，由中位线得EO∥PB； (2)过P作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABCD，故. 【详解】（1）连接交于，连接， ∵、分别为、的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴∥平面； （2） 过P作PF⊥AD于F， ∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD， ∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD， ∴PF⊥平面ABCD， 故. 17．(1)单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 40 10 50 乙校 60 10 70 合计 100 20 120 ，认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异 (2) 【分析】（1）根据题意完成列联表，结合零假设、卡方公式进行运算求解判断即可； （2）利用全概率公式进行求解即可. 【详解】（1）列联表如下：     单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 40 10 50 乙校 60 10 70 合计 100 20 120 零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异. 根据列联表数据，计算得到 . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异. （2）设事件“利用AI自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”， 事件“该学生来自甲校”，事件“该学生来自乙校”，则 ，，且，， 则， 所以该学生数学成绩有效转化的概率为. 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用枚举法列出所有可能取法即可求解； （2）先利用古典概型求出的概率，然后利用期望定义求出，再利用组合数的性质化简即可证明； （3）由对称性对任意的取法构造新的取法， 此时，故，再结合期望的线性性质即可求解. 【详解】（1）从集合中随机选取2个不同的元素，有种情况， 分别为，，，，，， 的所有可能取值为，，， ，，， . （2）从集合中随机选取个不同的元素，有种方法， 要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选出的， 所以， ， 因为， 所以 . （3）从集合中随机选取个不同的元素，对每一种满足的取法，如取到，，，，，其中， 我们都可以构造另一种取法，取到，，，，，在这种取法中，， 所以. 因为， 所以， 所以 . 19．(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法列方程，根据点和椭圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. （3）设，联立直线与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，由此化简已知条件，求得点坐标以及的值. 【详解】（1）由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，是椭圆上关于直线：对称的两个点， 设是线段的中点，则点在直线上，且. 则两式相减， 得. ，故， 联立 解得. ， 点应在椭圆的内部， ，解得. 实数的取值范围是. （3）设，（且），，， 将与联立得， 则， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又， 又为定值，则，所以， 当时，为定值， ， 所以.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（四） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（    ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 4．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（    ） A．样本中多数男生喜欢手机支付 B．样本中的女生数量少于男生数量 C．样本中多数女生喜欢现金支付 D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 5．已知是等差数列，，，则，，， ，的第60百分位数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 7．已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（    ） A．841 B．2026 C．2027 D．4111 8．若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示： 数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A．变量与呈负相关 B．回归直线经过点 C． D．该产品价格为元时，日需求量大约为 10．对于二项式，下列说法正确的是（    ） A．展开式中各项的二项式系数之和为512 B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 C．二项式系数最大的项是第5和第6项 D．若，则 11．如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个房间等概率地移动到相邻房间，则（   ） A．将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为 B．将个小球放至不同的房间，若房间两两不相邻，则 C．小球从房间出发，4次移动后到达房间的移动路径有6种 D．小球从房间出发，20次移动后到达房间的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，且，则的最小值为________． 13．已知命题：“”为真命题，则的取值范围是______． 14．已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）若函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 16．（15分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点． (1)求证：平面EAC； (2)求三棱锥的体积． 17．（15分）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.     单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 50 乙校 10 70 合计     表（一） (1)完成表（一）列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？ (2)已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为.若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生数学成绩有效转化的概率. 参考公式与数据： ，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）设整数，满足，从集合中随机选取个不同的元素，记这个元素中最大的为，最小的为. (1)当，时，求； (2)证明：； (3)设，用，表示. 19．（17分）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围； (3)若动直线与交于点，，点是轴正半轴上异于的一定点，若直线，的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $