小升初专题训练：图形的规律（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦图形变化规律，通过观察-归纳-建模的方法体系，系统培养抽象能力与推理意识，涵盖小升初高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形数量规律|5题（正方形/圆形/三角形排列）|n²、n(n-1)等通项公式|从具体图形数量到n项表达式的归纳推理| |周长/小棒规律|4题（正六边形/帐篷/正八边形）|5n+1、12n+9.42等线性关系|通过前3项数据推导增量与初始量关系| |交点/点阵规律|3题（三交六椀/点阵图）|5n+3、n(n+2)+1等复合规律|结合图形结构分析交点/点数的叠加关系|

小升初专题训练：图形的规律 一、填空题 1．小华用边长1厘米的正方形纸片分别摆出下面的图形，按这样摆下去，第6个图形要用( )个边长1厘米的正方形，它的周长是( )厘米。 2．用白色和灰色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当一个图形中有n个灰色圆形时，白色的圆形有( )个。 3．有一组图形，它的排列规律如下图．第4个图形中有____个三角形，第n个图形中有____个三角形 4．用●表示实心圆，用○表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…问：前2016个圆中，有________个空心圆。 5．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第 n 个图 案中正方形的个数是________. 6．如图1所示，搭建单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建。如果想串起来搭建顶帐篷，那么需要( )根钢管。 7．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。 8．按如图规律，第5个点阵共有( )个点，第n个点阵共有( )个点。 9．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有( )个点。 …… 10．用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖( )块，第n个图案中白色地砖( )块。 二、选择题 11．如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（    ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 12．观察下边图形，按此规律，第⑩个图中○的个数有（    ）个。 A．55 B．40 C．36 D．10 13．一张正方形的桌子可以坐4人，同学们吃饭的时候把桌子拼在—起，如下图，那么8张桌子可以坐多少人？（   ） A．23 B．18 C．25 D．24 14．观察下面的点阵图形，根据圆点的变化，探究其规律，则第8个图形中圆点的个数为（ ）。 A．25 B．26 C．27 D．29 15．如下图，用同样的小棒摆图形，照这样摆下去，摆第6幅图需要（     ）根小棒。 A．45 B．54 C．63 D．108 三、解答题 16．判断推理． 三角形个数 1个 2个 3个 4个 … 小棒的根数 3根 5根 7根 9根 … 观察图形和表格，如果要摆100个三角形，需要多少根小棒？要摆n个三角形，需要多少根小棒？ 17．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律，第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 18．照下图的样子，摆1个正八边形需要8根小棒，摆2个正八边形需要15根小棒…… (1)摆20个正八边形需要多少根小棒？ (2)有561根小棒能摆成多少个正八边形？ 19．观察下面图与算式的规律并解决问题。              （     ＝     ） （1）根据前三幅图与算式的规律，写出第四幅图下面的等式。 （2）根据以上观察，（    ）。 20．把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要 厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要 厘米的绳子。 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初专题训练：图形的规律》参考答案 题号 11 12 13 14 15 答案 A A B D C 1． 36 34 【分析】仔细观察给出的图形，并结合图中的层数、正方形的个数和周长，可以发现：正方形的个数＝层数×层数；周长＝6×层数－2；据此解答即可。 【详解】6×6＝36（个） 6×6－2 ＝36－2 ＝34（厘米） 第6个图形要用36个边长1厘米的正方形，它的周长是34厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键是根据图示发现这组图形的规律，利用规律做题。 2． 25 n×（n－1） 【分析】根据图可知，第几个图形，则每行和每列就有几个圆形；即第一个图形有1个圆形，1×1＝1；第2个图形有4个圆形，即2×2；第3个图形有9个圆形，即3×3；由此即可知道第n个图形圆形的个数：n×n，把n＝5代入，即第5个图形有5×5＝25个圆形； 由于第几个图形，则灰色圆形就有几个，即第n个图形，总共圆形的个数：n×n，灰色圆形有n个，则白色圆形有：n×n－n＝n×（n－1），由此即可填空。 【详解】由分析可知： 第5个图形中圆形的个数：5×5＝25（个） 第n个图形中，白色的圆形数量：n×n－n＝n×（n－1） 【点睛】本题主要考查图形的变化规律以及用字母表示数，清楚的找到它的规律是解题的关键。 3． 12 4(n-1)   【详解】观察图形中三角形的个数，第一个没有三角形，第二个有4个，第三个有8个，三角形个数=4×(图形个数-1) 4．672 【分析】根据图形的变化可得出每9个图形循环一次，每一个循环中有6个实心圆，3个空心圆，计算一下有多少个循环，再求有多少个空心圆。 【详解】2016÷9＝224， 空心圆个数＝3×224＝672 【点睛】找出本题中两种圆的排列规律和周期是解决本题的关键所在。 5．4n-1   【分析】根据题意可得：第1个图案中正方形的个数4×1−1=3个，第2个图案中正方形的个数4×2−1=7个，……，第n个图案中正方形的个数4×n−1个，据此解答. 【详解】根据分析可知，第n个图案中正方形的个数是：4n-1. 故答案为4n-1. 6． 【分析】搭建单顶帐篷需要17根钢管，往后每增加一顶帐篷，增加11根钢管，据此规律解答即可。 【详解】搭1顶帐篷，需要17根钢管，即； 搭2顶帐篷，需要28根钢管，即； 搭3顶帐篷，需要39根钢管，即； 搭顶帐篷，需要的钢管根数为：。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多搭1顶帐篷就多需11根钢管是解题的关键。 7． 21 51 5n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（5×2＋1）根小棒，摆3个正六边形需要（5×3＋1）根小棒，摆4个正六边形需要（5×4＋1）根小棒……则摆n个正六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答即可。 【详解】5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 5×10＋1 ＝50＋1 ＝51（根） 5×n＋1＝（5n＋1）根 摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒；摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。 8． 17 4n－3 【分析】根据图示可知：每一个图形上面点的数量比上一个图形点的数量多4个， 第1个图形有（1－1）×4＋1＝1（个）点， 第2个图形有（2－1）×4＋1＝5（个）点， 第3个图形有（3－1）×4＋1＝9（个）点， 第4个图形有（4－1）×4＋1＝13（个）点， …… 第n个图形有（n－1）×4＋1＝（4n－3）个点，据此解答即可。 【详解】（5－1）×4＋1 ＝4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） （n－1）×4＋1 ＝4n－4＋1 ＝（4n－3） 所以第5个点阵共有17个点，第n个点阵共有（4n－3）个点。 9．111 【分析】根据给出的几幅图的点数，我们可以得到：第②比第①多4；第③比第②多6；第④比第③多8…由此可得，从第②幅图开始，每一幅图比前一幅多的点数分别为4、6、8… 据此总结规律求解即可。 【详解】观察题图可知： 图①中点的个数为； 图②中点的个数为； 图③中点的个数为； 图④中点的个数为； 图n中点的个数为； 当时，图中点的个数有（个）点。 【点睛】考查数与形，能总结出一般规律是解题关键。 10． 18 （4n＋2） 【分析】第1个图案中有白色地砖6块，即4×1＋2； 第2个图案中有白色地砖10块，即4×2＋2； 第3个图案中有白色地砖14块，即4×3＋2； …… 第n个图案中有白色地砖的块数为：4n＋2。 【详解】根据分析可知，第n个图案中有白色地砖的块数为：（4n＋2）块。 当n＝4时， 4×4＋2 ＝16＋2 ＝18（块） 用黑白两种颜色的正六边形地砖按图所示的方式排成若干个图案，第4个图案中有白色地砖18块，第n个图案中白色地砖（4n＋2）块。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图形就多4块白色地砖是解本题的关键。 11．A 【分析】看图可知，搭1个房子需要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2个房子需要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3个房子需要13根小棒，13＝3×4＋1，由此可知，小棒根数＝搭几个房子就用几×4＋1。 【详解】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 搭10间房子用41根小棒。 故答案为：A 12．A 【分析】第几个图中就有几层，且每层圆的个数与层数相同，据此把各层圆的个数进行求和解答。 【详解】图①中圆的个数：1＝1 图②中圆的个数：3＝1＋2 图③中圆的个数：6＝1＋2＋3 图④中圆的个数：10＝1＋2＋3＋4 …… 图⑩中圆的个数：55＝1＋2＋3＋4＋……＋10 故答案为：A 【点睛】本题考查运用数形结合的方法探究数学规律，注意要把图形和数一一对应。 13．B 【分析】根据题意可知，一张正方形的桌子可以坐4人，每增加1张桌子，就多坐2人，增加7张桌子，就增加2×7＝14人，再加上原来的4个人即可得到答案。 【详解】2×7＋4 ＝14＋4 ＝18（人） 故答案为：B 【点睛】本题的关键是找出增加的桌子与增加的人数之间的关系。 14．D 【详解】4×8－3＝29（个） 则第8个图形中圆点的个数为29个. 故答案为：D 15．C 【分析】图形是多个三角形组合而成，需要找出新图形小棒的根数，从上向下一层观察，我们发现第2图比第1图多了2个完全不共用小棒的三角形，第3图比第2图多了3个完全不共用小棒的三角形，1个三角形有三根小棒，先求出每图有几个小棒不共用的三角形，再求棒数即可。 【详解】第1图有1个三角形，有1×3＝3根小棒； 第2图有1＋2＝3个小棒不共用的三角形，共有（1＋2）×3＝9根小棒； 第3图有1＋2＋3＝6个小棒不共用的三角形，共有（1＋2＋3）×3＝18根小棒； 第6图有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21个小棒不共用的三角形，共有（1＋2＋3＋4＋5＋6）×3＝63根小棒。 故答案为：C 16．摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要2n+1根小棒． 【详解】试题分析：搭第一个图形需要3根火柴棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根火柴． 解答：解：：搭第100个图形，需要小棒： 3+2×（100﹣1）=3+198=201（根）； 则要搭n个三角形时，需要小棒： 3+2（n﹣1）=2n+1（根）． 答：摆100个三角形，需要201根小棒，要摆n个三角形，需要2n+1根小棒． 点评：此题考查了规律型中的图形变化问题，要能够从图形中发现规律：搭第n个图形，需要3+2（n﹣1）=2n+1（根）． 17．(1) 18 48 (2)75幅 【分析】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【详解】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 18．(1)141根 (2)80个 【分析】解答这道题的关键是找到每一组图中不变的部分，认真看图可以发现，每一组图中最左边的1根小棒固定不变，其关系为一个正八边形为1＋7，两个正八边形为1＋2个7，三个正八边形为1＋3个7，由此可得n个正八边形为1＋n个7。 （1）根据上面的分析，摆20个正八边形，小棒数量为1＋20个7。 （2）求561根小棒能摆几个正八边形，可以用倒推的方法，先从561里面把最左边固定的1根减掉，剩560根，再求560里面有几个7，就可以摆成几个八边形。 【详解】（1） （根） 答：摆20个正八边形需要141根小棒。 （2） （个） 答：有561根小棒能摆成80个正八边形。 19．（1）62－52＝6＋5 （2）2n＋1 【分析】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1；第二幅图形算式为：32－22＝3＋2；第三幅图形算式为：42－32＝4＋3；由此可得：两个相邻数的平方差等于这两个数的和，且第几幅图，减数就是几的平方，由此写出第四幅图形的算式； （2）再根据规律算出（n＋1）2－n2的结果即可。 【详解】（1）第一幅图形算式为：22－12＝2＋1； 第二幅图形算式为：32－22＝3＋2； 第三幅图形算式为：42－32＝4＋3 …… 第四幅图形算式为：62－52＝6＋5 （2）（n＋1）2－n2 ＝n＋1＋n ＝2n＋1 （n＋1）2－n2＝＝2n＋1 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解答本题的关键。 20．（1）57.42，理由见详解 （2）（9.42＋12n） 【分析】如下图所示，第1组中，四个角落为4个的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算出一个圆的周长，其次在两个圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为一个直径，图中有4条边，那么共有4条直径，则周长为：一个圆的周长＋4条直径的长度； 第2组与第1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度 第3组与第2组比较，每条边又多了1个圆，则周长比第2组又多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋12条直径的长度； 由以上分析可得，每增加一组都会增加4条直径，第1组为4条直径，第2组为2×4条直径，第3组为3×4条直径，由此规律可得第n组为n×4条直径，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径为3厘米，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周长＋12n，据此即可解答。 【详解】（1）理由： 第①组：3×3.14＋12×1 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 第②组 3×3.14＋12×2 ＝9.42＋24 ＝33.42（厘米） 第③组 3×3.14＋12×3 ＝9.42＋36 ＝45.42（厘米） 第④组 3×3.14＋12×4 ＝9.42＋48 ＝57.42（厘米） （2）3×3.14＋3×4×n ＝（9.42＋12n）厘米 【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $