精品解析：河南 新乡市河南师范大学附属中学2025－2026学年第二学期九年级期中考试《数学》试卷

2025-2026学年第二学期九年级期中考试 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质化简，再利用相反数的性质得出答案． 【详解】解：，故的相反数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、相反数的性质，解题的关键是正确掌握相关性质． 2. 如图，这是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从左往右看，得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1．如下： 3. 截至2026年3月30日，《疯狂动物城2》的全球总票房约为132亿元人民币，数“132亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵亿， ∴亿． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故原计算错误． 5. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ，分别为的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键． 6. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，再根据平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知， ∵，与是对顶角， ∴， ∴． 7. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得， 整理方程得， ， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，点，，均在半径为的上，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，在圆上取点，连接，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，在圆上取点，连接， ，四边形是的内接四边形， ， ， 的长为：． 9. 已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B. 每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C. 每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D. 每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 【答案】B 【解析】 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多8天，即实际生产提前8天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成． 10. 如图1，在中，，点D为上一点，点P从A出发，沿边运动，连接，，设点P运动的路程为x，，其中关于的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图2的函数图象可求、、、，作，于点，连接交于点，则，可由等面积法求出，再由勾股定理求出的长，从而得出点与点重合，即可得出结果． 【详解】解：由图2可得：，， ∴， ∴， ∵当，即点运动到点，， ∴， 如图，作，于点，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______. 【答案】x>3 【解析】 【分析】利用二次根式的定义和分母不为零，分析得出答案即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x-3＞0， ∴x的取值范围是：x＞3． 故答案为x＞3． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 12. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，10.7，15.6，由此可知_____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】 甲 【解析】 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，长势越整齐．据此解答即可． 【详解】解：∵， 甲种秧苗的方差最小，长势更整齐． 13. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 14. 若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据不等式组解集的确定法则，得到关于a的不等式，计算求解即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，是线段上的动点，连接，过点作与轴相交于．将沿翻折，使点落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】先根据折叠的性质得，再根据矩形的性质得，然后分两种情况：当时，是等腰三角形，根据勾股定理得，求出解即可；当时，是等腰三角形，再作，可根据等腰三角形的性质得，然后根据“角角边”证明，可得，接下来求出，则答案可得． 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵点，且四边形是矩形， ∴． 当时，是等腰三角形， ∴． 在中，， 即， 解得， 即， ∴点； 当时，是等腰三角形， 过点B作于点F， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点． ∴点D的坐标是或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某校学生开展了以下球类活动：A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球，学生需任选一项参加．为了解学生参与情况，某校进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图． （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生3000名，请估计参加B项活动的学生人数； （4）小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由的人数除以所占的比例即可； （2）求出的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可； （4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小丽参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：在这次调查中，一共抽取了学生（名）． 【小问2详解】 解：参加项活动的人数为（名） 【小问3详解】 解：（名）， 故估计参加B项活动的学生为名． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小丽参加同一项活动的结果有4种， ∴小明和小丽参加同一项活动的概率为． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，点的纵坐标为3． （1）求的值； （2）利用图象直接写出时的取值范围； （3）如图2，将直线沿轴向下平移5个单位，与函数的图象交于点，与轴交于点，再将函数的图象沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数的解析式求出点的坐标，再将点的坐标代入一次函数的解析式求出的值； （2）联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，结合图象判断一次函数的图象不低于反比例函数的图象的部分，从而得出的取值范围； （3）连接、，作于点，设直线交轴于点，由平移的性质可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积．由平移可知，直线的解析式为，从而求出点，，，容易判断和都是等腰直角三角形，进而计算出，利用勾股定理计算出，最后计算出平行四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，一次函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 结合图象可知，在之间（包括点）和点以及点的右侧部分，一次函数的图象不低于反比例函数的图象， ∴的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，连接、，作于点，设直线交轴于点， 由平移的性质可知，四边形是平行四边形，且阴影部分的面积等于平行四边形的面积， ∵直线由直线向下平移5个单位得到， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， 在中，， ∴，解得， 由勾股定理可得，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 19. 某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． （1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； （2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元 （2） 购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套时获利最大，最大利润为2990元 【解析】 【分析】（1）设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元，根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．再建立方程组解题即可； （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套，根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，求解的范围，再建立一次函数求解即可． 【小问1详解】 解：设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元． 根据题意，得， 解得， 答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元． 【小问2详解】 解：设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套． 根据题意，得且 解得：， 设获利W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵且m为非负整数， ∴当时W值最大，最大利润为（元）， （套）． 答：购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套才能使这批体育用品全部售完时获利最大，最大利润为元． 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 方法不唯一，如图所示． （2） 证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略． 21. 如图，已知水平地面上方有一个水平平台，平台上有一个竖直的信号塔．在处测得塔顶的仰角为，在处测得的仰角为．斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） （1）求平台的高度； （2）求信号塔的高度（精确到）．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由斜坡的坡度，得出，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）延长交于点，证明四边形为矩形，得出，，设，则，解直角三角形得出，从而得出，由（1）可得，再结合，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解过点作于点，如图所示： 则， 斜坡的坡度，则， ， 在中，，由勾股定理可得， 则，解得， 答：平台的高度为； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图所示： ， ， 四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，，则， ∵， ∴， 由（1）可得， ， ∴ ，解得， ∴， 答：信号塔的高度（即的长）约为． 22. 投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离； （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）人离壶的距离为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式； （2）令，求出，则米； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【小问1详解】 解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得或， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，即， ∴， ∴人离壶的距离为； 【小问3详解】 解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 23. 综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动． 问题情境： 在边长为2的正方形中，以点为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为，连接，过点作的垂线交的延长线于点． 问题探究： （1）如图1，当时，_____，_____； （2）如图2，连接，判断，的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下： 如图，连接， 在正方形中，，， ∵， ∴点B，C，G，D四点共圆， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）先找到旋转角，即，再通过等边对等角，用含的式子表示和，从而计算得出，推出是等腰直角三角形，再利用，推出是等边三角形，得到的长，利用等腰直角三角形边的关系计算即可； （2）利用圆周角定理，由，推出B，C，G，D四点共圆，进而得到，即可证明平行关系； （3）分类讨论，利用（2）中的结论，寻找的时刻，即已知一组对边平行，找另一组对边平行，求出此时的长即可． 【小问1详解】 解：由旋转，得，， 又在正方形中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况： 第一种：，由（2），得， ∴若以D，F，C，G为顶点的四边形是平行四边形，则， ∴，作示意图如下，记与的交点为， 由题意，得为，的中点， ∴，， 由（1），可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 由平行四边形的性质，得； 第二种：，如图，当时，点G与点A重合，此时，，四边形是平行四边形， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级期中考试 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2026年3月30日，《疯狂动物城2》的全球总票房约为132亿元人民币，数“132亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 6. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 如图，点，，均在半径为的上，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多生产10个，结果延期8天完成 B. 每天比原计划多生产10个，结果提前8天完成 C. 每天比原计划少生产10个，结果延期8天完成 D. 每天比原计划少生产10个，结果提前8天完成 10. 如图1，在中，，点D为上一点，点P从A出发，沿边运动，连接，，设点P运动的路程为x，，其中关于的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______. 12. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，10.7，15.6，由此可知_____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 13. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则____________． 14. 若关于的不等式组解集为，则的取值范围为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，是线段上的动点，连接，过点作与轴相交于．将沿翻折，使点落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校学生开展了以下球类活动：A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球，学生需任选一项参加．为了解学生参与情况，某校进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图． （1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生3000名，请估计参加B项活动的学生人数； （4）小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，点的纵坐标为3． （1）求的值； （2）利用图象直接写出时的取值范围； （3）如图2，将直线沿轴向下平移5个单位，与函数的图象交于点，与轴交于点，再将函数的图象沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积． 19. 某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． （1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； （2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？ 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 如图，已知水平地面上方有一个水平平台，平台上有一个竖直的信号塔．在处测得塔顶的仰角为，在处测得的仰角为．斜坡的坡度，，．（点在同一竖直平面内） （1）求平台的高度； （2）求信号塔的高度（精确到）．（参考数据：，） 22. 投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离； （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 23. 综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动． 问题情境： 在边长为2的正方形中，以点为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为，连接，过点作的垂线交的延长线于点． 问题探究： （1）如图1，当时，_____，_____； （2）如图2，连接，判断，的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $