微专题 利用几何法解决线面角问题（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

微专题 利用几何法解决线面角问题 题型一 定义法 解题时严格遵循线面角的定义，先在直线上选取合适的点，过该点向已知平面作垂线并确定垂足，连接斜足与垂足得到直线在平面内的射影，直线与射影所成的锐角即为线面角，然后在由此形成的直角三角形中，结合几何体的棱长、高、中点、对称性等条件，利用勾股定理求出各边长度，再通过正弦、余弦、正切的定义计算出线面角的三角函数值。 1．（2026高三·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·模拟预测）已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 3．（2026高一·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海静安·模拟预测）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 5．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 7．（2026高一·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 题型二 垂面法 先利用面面垂直的判定定理找到经过目标直线且与已知平面垂直的平面，再依据面面垂直的性质定理，在垂面内作两平面交线的垂线，该垂线即为平面的垂线，从而确定直线在平面内的射影，射影与直线的夹角就是线面角，最后在由垂线、射影、直线构成的直角三角形中求解角度，适合折叠、正四面体、正棱柱等有明显面面垂直关系的题型。 8．（2026高一·天津南开·期末）已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为______． 9．（2026高一·湖北宜昌·月考）如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 10．（2026高一·江苏盐城·期末）已知如图（1）为梯形，，，点E在CD上，，，，现将沿AE折成如图（2）位置，使得二面角的大小为，则直线AB与平面APE所成角的正弦值是__________.    11．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，已知，，且．现将沿对角线翻折成，则在翻折到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为______．    题型三 等体积法 当难以直接作出点到平面的垂线时，不寻找垂足，而是通过更换三棱锥的顶点，利用体积相等求出直线上某点到平面的距离，再确定斜线段的长度，根据线面角的正弦值等于 “点到平面的距离” 除以 “斜线段长度”，直接计算线面角的正弦值，进而求出角度，适用于不规则几何体或垂线不易作出的线面角求解。 12．（2026高一·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 13．（2026高二·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 14．（2026·北京顺义·模拟预测）如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 15．（2026高一·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 题型四 三余弦定理 应用三余弦定理（最小角定理）进行快速求解，先确定斜线与平面所成的线面角，再找到斜线在平面内的射影以及平面内的某条直线，明确三个角之间的余弦关系：斜线与平面内直线夹角的余弦等于线面角余弦乘以射影与平面内直线夹角的余弦，代入已知角度或边长即可求出线面角，适合底面为平行四边形、菱形、正多边形的几何体。 16．（2026高一·广东清远·期末）三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.    (1)证明以上三余弦定理； (2)如图2，在平行六面体中，，. ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 题型五 由线面角的大小求其他 先根据线面角的定义将已知角度转化为 “对边（高）与斜边（斜线）” 的比值关系，再结合正三棱柱、正三棱台、圆锥、长方体等几何体的结构特征，利用勾股定理、面积公式、体积公式、相似关系等，反求棱长、高、距离、侧面积、体积等未知量，解题时注意线面角的范围，结果取合理值。 17．（26-27高二·云南·期末）已知圆锥的高为1，且圆锥的母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为_________． 18．（2026·广东清远·模拟预测）在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 19．（2026高三·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    20．（2026高三·安徽·期中）在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 21．（2026高三·河南·月考）在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 利用几何法解决线面角问题 题型一 定义法 解题时严格遵循线面角的定义，先在直线上选取合适的点，过该点向已知平面作垂线并确定垂足，连接斜足与垂足得到直线在平面内的射影，直线与射影所成的锐角即为线面角，然后在由此形成的直角三角形中，结合几何体的棱长、高、中点、对称性等条件，利用勾股定理求出各边长度，再通过正弦、余弦、正切的定义计算出线面角的三角函数值。 1．（2026高三·浙江·开学考试）已知正三棱柱存在内切球，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正三棱柱底面的边长为a，所以内切圆的半径， 因为正三棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高． 取中点D，连接，，易证平面，所以为所求角． 在中，，，于是， 所以． 2．（2026·山西运城·模拟预测）已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 【答案】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． 3．（2026高一·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 4．（2026·上海静安·模拟预测）在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为______． 【答案】/ 【分析】设的中点为，在底面的投影为，则就是与底面所成角，再解三角形求正弦值即可． 【详解】设的中点为，在底面的投影为，如图， 由对称性可知在上， 就是与底面所成角， 又 ，， 又是等腰直角三角形，， ，， ． 5．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（2026高一·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 7．（2026高一·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 题型二 垂面法 先利用面面垂直的判定定理找到经过目标直线且与已知平面垂直的平面，再依据面面垂直的性质定理，在垂面内作两平面交线的垂线，该垂线即为平面的垂线，从而确定直线在平面内的射影，射影与直线的夹角就是线面角，最后在由垂线、射影、直线构成的直角三角形中求解角度，适合折叠、正四面体、正棱柱等有明显面面垂直关系的题型。 8．（2026高一·天津南开·期末）已知正四面体的棱长为1，则直线与平面所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】根据正四面体的特征，应用面面垂直性质定理及线面垂直判定定理结合线面角的定义计算即可. 【详解】如图， 取的中点，连接，，过点作交于点G， 则，，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 又平面平面，，平面，所以平面. 由正四面体的性质，知，且即为直线与平面所成的角. 在中，； 故答案为： 9．（2026高一·湖北宜昌·月考）如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【分析】取的中点M，连接，根据题意，易证平面平面，作，得到平面，然后由直线与平面所成角的正弦值为求解. 【详解】解：如图所示： 取的中点M，连接， 因为，又， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 又平面平面， 作，则平面， 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 10．（2026高一·江苏盐城·期末）已知如图（1）为梯形，，，点E在CD上，，，，现将沿AE折成如图（2）位置，使得二面角的大小为，则直线AB与平面APE所成角的正弦值是__________.    【答案】/ 【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，平面平面，利用面面垂直的性质可证平面，再利用线面夹角的定义分析运算. 【详解】在图（1）中，， 在图（2）中，，则二面角的平面角为， 且，平面， 可得平面， 因为平面，所以平面平面， 在中，作边的高线，垂足为，连接，可得， 因为，平面平面，平面平面，平面， 可得平面，则直线AB与平面APE所成角为， 所以， 即直线AB与平面APE所成角的正弦值是. 故答案为：.    【点睛】方法点睛：求解平面图形折叠问题的关键和方法 1.关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口． 2.方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何中解决． 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，已知，，且．现将沿对角线翻折成，则在翻折到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为______．    【答案】 【分析】取的中点，连接、，得到直线与平面所成角，再根据正弦定理列式，最后根据正弦函数有界性确定最大值，求得结果. 【详解】取的中点，连接、，   ，，， 又，平面， 所以平面，又平面， 从而平面平面， 因此在平面的射影在直线上，即为直线与平面所成角， 因为，，且， 所以， ， 即最大值为，因此直线与平面所成最大角的正切值为. 故答案为： 题型三 等体积法 当难以直接作出点到平面的垂线时，不寻找垂足，而是通过更换三棱锥的顶点，利用体积相等求出直线上某点到平面的距离，再确定斜线段的长度，根据线面角的正弦值等于 “点到平面的距离” 除以 “斜线段长度”，直接计算线面角的正弦值，进而求出角度，适用于不规则几何体或垂线不易作出的线面角求解。 12．（2026高一·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出平面，最后应用线面角的定义结合边长关系得出正弦值即可. 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 13．（2026高二·天津西青·月考）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 14．（2026·北京顺义·模拟预测）如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明得到，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）作平面的垂线，垂足为，易得即与平面所成的角，通过等体积求出，即可求得答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为中点，则，又，则， 因，则，可得，故， 又平面，而平面，故平面. （2）过点作平面的垂线，垂足为，连接， 因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即， 因平面，，则平面，， 在中，，由余弦定理，， 则，因， 由可得，解得， 在中，，即直线与平面夹角的正弦值为. 15．（2026高一·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 题型四 三余弦定理 应用三余弦定理（最小角定理）进行快速求解，先确定斜线与平面所成的线面角，再找到斜线在平面内的射影以及平面内的某条直线，明确三个角之间的余弦关系：斜线与平面内直线夹角的余弦等于线面角余弦乘以射影与平面内直线夹角的余弦，代入已知角度或边长即可求出线面角，适合底面为平行四边形、菱形、正多边形的几何体。 16．（2026高一·广东清远·期末）三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点为平面外一点，过点的斜线在平面上的射影为为平面上的任意直线，则.    (1)证明以上三余弦定理； (2)如图2，在平行六面体中，，. ①证明：平面平面； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）在射线上任取不同于点的点，作图将分别置于直角三角形内，再利用直角三角形边角关系推理得证. （2）①连接，连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证；②利用线面角的正弦，结合①求出，利用（1）的结论求出，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在射线上任取不同于点的点，设点在平面上的射影点为， 则平面，，在平面内过点作于点，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，平面， 则平面，又平面，因此， ， 所以.    （2）①在平行六面体中，连接，连接， 由，得是菱形，则，为中点， 又，则≌，，因此， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面.    ②由①得，在平面内射影为，令在平面内射影为， 则平面，是直线与平面所成角， 即，，由①得平分，即， 由（1）得，， ， 由平面平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离， 由，得，又， 因此，解得， 所以点到平面的距离为. 题型五 由线面角的大小求其他 先根据线面角的定义将已知角度转化为 “对边（高）与斜边（斜线）” 的比值关系，再结合正三棱柱、正三棱台、圆锥、长方体等几何体的结构特征，利用勾股定理、面积公式、体积公式、相似关系等，反求棱长、高、距离、侧面积、体积等未知量，解题时注意线面角的范围，结果取合理值。 17．（26-27高二·云南·期末）已知圆锥的高为1，且圆锥的母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征求出其母线及底面圆半径，再利用圆锥侧面积公式计算得解. 【详解】由圆锥的母线与底面所成角为，其高为1，得该圆锥的母线长， 底面圆半径，所以圆锥的侧面积为. 故答案为： 18．（2026·广东清远·模拟预测）在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 19．（2026高三·上海宝山·期末）如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    20．（2026高三·安徽·期中）在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 21．（2026高三·河南·月考）在三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，可证平面，由线面夹角可得，求相应长度即可得体积. 【详解】作，垂足为，连接，    因为平面，平面，则，， 且，平面，可知平面， 可知直线与平面所成的角为， 且，则， 又因为，则，， 且，可得， 所以三棱锥的体积为. 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $