专题02 分式运算（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 聚焦分式运算九大题型，以基础运算到综合应用为逻辑主线，通过典型题组培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式乘法|5题|单分式乘法化简|从分式基本性质到乘法法则应用| |分式除法|4题|除法转化为乘法运算|与乘法法则形成互逆关系| |乘除混合|4组题|含符号与因式分解的混合运算|综合乘法除法法则，强化步骤逻辑| |同分母加减|5组题|直接加减分子的化简|为异分母加减奠定基础| |最简公分母|5题|确定多分式公分母|异分母加减的关键预备技能| |异分母加减|5题|通分后转化为同分母运算|体现“转化”思想，衔接最简公分母| |加减实际应用|5题|结合工程、经济等情境|培养用数学语言表达现实问题的能力| |加减乘除混合|5题|含括号与运算顺序的综合运算|整合四则运算，提升运算能力| |化简求值|5题|先化简再代入求值|综合运算与代数推理的结合|

专题02 分式运算（九大题型） 【题型1 分式的乘法运算】..............................................................................................。.....1 【题型2 分式的除法运算】....................................................................................................1 【题型3 分式的乘除法混合运算】.........................................................................................2 【题型4 同分母分式的加减】.................................................................................................3 【题型5 最简公分母】...........................................................................................................4 【题型6 异分母分式的加减】................................................................................................4 【题型7 分式的加减法的实际应用】....................................................................................5 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】................................................................................6 【题型9 分式化简求值】......................................................................................................6 【题型1 分式的乘法运算】 1．化简的结果为_______． 2．化简的结果为_________． 3．计算的结果为______． 4．化简的结果是________． 5．计算：___________. 【题型2 分式的除法运算】 6．计算: _____ 7．化简：_____． 8．化简：___________． 9．计算 ______． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 10．计算： (1)； (2)． 11．分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 12．计算： (1) (2) (3) (4) 13．分式计算： (1)； (2)． 【题型4 同分母分式的加减】 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 16．计算：． 17．化简下列各式： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2) (3) 【题型5 最简公分母】 19．分式和的最简公分母为______． 20．分式，，的最简公分母是______________． 21．分式，的最简公分母是_________． 22．分式，，的最简公分母是_________________． 23．分式、的最简公分母是________． 【题型6 异分母分式的加减】 24．计算： (1)． (2)． (3)． 25．计算：. 26．计算：． 27．计算：． 28．计算： (1)； (2)． 【题型7 分式的加减法的实际应用】 29．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 30．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 31．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 32．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 33．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 34．化简： 35．化简：． 36．化简： 37．化简：． 38．化简：． 【题型9 分式化简求值】 39．先化简，再求值：，其中． 40．已知，求代数式的值． 41．先化简，再求值：，其中． 42．已知，求代数式的值． 43．先化简：，再从，0，1，2这四个数中选一个你最喜欢的a值代入求值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式运算（九大题型） 【题型1 分式的乘法运算】..............................................................................................。.....1 【题型2 分式的除法运算】....................................................................................................2 【题型3 分式的乘除法混合运算】.........................................................................................4 【题型4 同分母分式的加减】.................................................................................................8 【题型5 最简公分母】...........................................................................................................11 【题型6 异分母分式的加减】................................................................................................12 【题型7 分式的加减法的实际应用】....................................................................................15 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】................................................................................19 【题型9 分式化简求值】......................................................................................................20 【题型1 分式的乘法运算】 1．化简的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，先将第二个分式的分子、分母因式分解，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．化简的结果为_________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，先把分子、分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先把分子分解因式，再约分即可． 【详解】解：； 故答案为： 4．化简的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先将分子分母因式分解，然后根据分式的乘法运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 5．计算：___________. 【答案】 【分析】根据分式的乘法法则即可得． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键． 【题型2 分式的除法运算】 6．计算: _____ 【答案】1 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握相关计算顺序是解题的关键． 利用平方差公式和分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：1． 7．化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，掌握分式的运算法则是关键，根据分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 8．化简：___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是熟练掌握分式除法运算法则． 将除法转化为乘法，并利用完全平方公式因式分解后约分． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．计算 ______． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型3 分式的乘除法混合运算】 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，关键是熟练运用因式分解化简分子分母并正确约分； （1）先对提公因式、用平方差公式因式分解，再根据分式乘法法则，约去分子分母公因式得出结果． （2）先对提公因式、用完全平方公式因式分解，接着将除法变乘法，最后约去公因式得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算规则是解题关键； （1）直接利用分式的乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变成乘法，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （4）先将除法变成乘法，同时对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．分式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4 同分母分式的加减】 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加法或减法运算，熟练掌握分式加法或减法运算法则，是解题的关键． （1）根据同分母减法运算法则，进行计算即可； （2）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （3）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （4）根据同分母减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）直接将分子相减即可； （2）直接将分子相加并约分即可； （3）将原式变形后把分子相加减，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 16．计算：． 【答案】2 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握同分母加减运算法则是解题的关键． 把化为，利用同分母分式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式． 17．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查利用平方差公式化简分式， （1）根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； （2）变式后根据同分母通分，再利用平方差公式进行分解约分即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果要化为最简． （1）根据同分母分式加减法则进行运算即可； （2）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可； （3）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ． 【题型5 最简公分母】 19．分式和的最简公分母为______． 【答案】 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 20．分式，，的最简公分母是______________． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 21．分式，的最简公分母是_________． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式，的最简公分母是， 故答案为：． 22．分式，，的最简公分母是_________________． 【答案】． 【分析】本题考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 先对分式的分母因式分解，然后确定最简公分母． 【详解】解：， ， ， ∴最简公分母是：． 故答案为：． 23．分式、的最简公分母是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式． 根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是：， 故答案为：． 【题型6 异分母分式的加减】 24．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减运算，通分、因式分解与符号变形的技巧，掌握找最简公分母，统一分母后合并分子，再约分的步骤是解题的关键． （1）通分后合并分子再约分； （2）先统一分母，变形为再通分计算； （3）先对分母因式分解，再通分合并分子． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 25．计算：. 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，先通分，再利用同分母分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 26．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法．根据异分母分式减法法则“异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减”计算即可． 【详解】解：原式 ． 27．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解：原式 . 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分，再化简，得，即可作答． （2）先整理原式，再化简，通分，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7 分式的加减法的实际应用】 29．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质和运用知识解决实际问题的能力．增加前的窗户面积与地板面积的比值减去增加后的窗户面积与地板面积的比值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， 即． 所以他这样做采光条件变好了． 30．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 31．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 32．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是 (2)所以乙的购买方式平均单价低． 【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． （1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价； （2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】（1）解：甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）解：甲－乙  即 因为（）， 所以， 所以，即 所以． 所以乙的购买方式平均单价低． 33．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 【答案】（1）；（2）嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格 【分析】本题考查分式减法的实际应用： （1）作差法比较大小即可； （2）求出两人购买商品的平均价格，作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，嘉嘉两次所购买商品的平均价格为：（元），琪琪两次购买该商品的平均价格为：（元） ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格． 【题型8 分式的加减乘除法混合运算】 34．化简： 【答案】 【详解】解：原式 . 35．化简：． 【答案】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出结果． 【详解】解： ． 36．化简： 【答案】 【分析】先算分式乘法和括号里的加法，再把所得分式相减，即可求解． 【详解】解：原式 ． 37．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 38．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型9 分式化简求值】 39．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 40．已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】先对所求式进行化简，再利用整体法求解即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， 代入得，原式． 41．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的运算法则进行计算，再把代入，即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 当时，原式． 42．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先由已知得，然后化简所求代数式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 43．先化简：，再从，0，1，2这四个数中选一个你最喜欢的a值代入求值． 【答案】，当时，原式；或当时，原式 【详解】解： ， 根据题意得：且， ∴， 当时，原式； 或当时，原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $