专题02 矩形的性质和判定（九大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年苏科版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题02 矩形的性质和判定（九大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】....................................................................................4 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................9 【题型4 矩形与折叠问题】....................................................................................................12 【题型5 添一条件使四边形是矩形】...................................................................................16 【题型6 矩形的判定】..........................................................................................................18 【题型7 矩形的性质与判定综合】.......................................................................................19 【题型8 矩形中最小值问题】..............................................................................................26 【题型9 矩形中动点问题】..................................................................................................34 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 3．如图，，矩形的顶点在直线上，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据矩形的性质和平行线的性质即可得的度数． 【详解】解：如图，作， 则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，矩形中，点E在上，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由矩形的性质可得，则可求出，由作图方法可知，垂直平分，则，由等边对等角即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， 故选：B． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 1．如图，四边形是矩形，对角线和相交于点O，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质． 根据矩形的性质，即可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线和相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：B． 2．如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 3．如图，在矩形中，，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形性质、矩形性质、全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质可得,再根据,进而可得，结合已知条件，利用“”即可证明, 由全等三角形的性质可得，据此求解即可． 【详解】解： ∵四边形是正方形, ∴， ∵, ∴， ， ∴． ∵四边形是矩形, ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为（   ） A．9 B．12 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质是关键． 根据矩形的性质，角平分线的定义得到，设，则，在中，由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， 故选：D ． 5．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，那么点到矩形的两条对角线的距离和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理求线段长的运用，如图所示，连接，根据矩形的性质，勾股定理得到，，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：B ． 6．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”!已知，，则走路比走路少了 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是矩形性质、勾股定理的应用，解题关键是正确应用勾股定理． 在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案． 【详解】解：草坪是矩形的， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 故答案为：． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 1．如图，已知矩形的长为，宽为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称．根据中心对称的性质可知，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积， 再根据中心对称的性质得： 图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半， 则图中阴影部分的面积． 故答案为：． 2．如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．根据矩形的性质得到对角线、相等且互相平分，进而判断出是等边三角形，从而求出，，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积是． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴对角线、相等且互相平分，， ∴, ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴矩形的面积是． 故答案为： 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，直线过点O，且分别交边、于点E、F．若矩形的面积是10，则图中阴影部分的面积是 ．      【答案】2.5 【分析】只要证明，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ， ∴， 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证得是解决本题的关键． 4．如图，在矩形中，，，分别交、于点、，在上任取两点、，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、三角形的面积公式，用矩形的面积减去和的面积求解即可．将阴影部分的面积转化为求解是解题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 是三角形中上的高，是三角形中边上的高， ． 故答案为：6． 5．如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算；由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为S， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为 ， 故答案为：． 【题型4 矩形与折叠问题】 1．把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，由题意得，；根据，即可求解. 【详解】解：∵，， ∴； ∴； 由折叠可知：， ∴ 故选：B. 2．如图，将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折，最后在字母x处打一个洞，将纸片展开后所得图象为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，．结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状是解题的关键． 【详解】解：当将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折时，所打的四个洞分别以两折痕为对称轴，且四个洞靠近短折痕，远离长折痕， 故选：A． 3．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，2，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】D 【分析】根据长方形的性质得出，，由折叠的性质可得：，设，则，根据勾股定理得出：，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵长方形中，， ∴，， 由折叠的性质可得：， 设，则， 根据勾股定理得出：， 解得：，即， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 4．如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ） A．是等腰三角形 B． C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等得到，可推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，即可判断A、C、D，无法判断和是否相等． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴是等腰三角形， ∴折叠后得到的图形是轴对称图形 无法判断和是否相等， 故其中正确的是A、C、D， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换及其应用问题，灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，借助矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 5．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，等角对等边，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． 利用矩形的性质和翻折的性质得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， 由翻折的性质可得， ， ， 假设，则，在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ， 的面积为， 故选：B． 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 1．数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（    ）    A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加的条件可以根据对角线相等的平行四边形是矩形说明是矩形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形． 2．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB ∴四边形ABCD是矩形 故选A 【点睛】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键． 3．如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据题意，推出，得到四边形为平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形，添加条件即可． 【详解】解：∵两个完全相同的三角尺和， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形； 故答案为：（答案不唯一） 【题型6 矩形的判定】 1．如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】证明：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵，且， ∴， 即， ∴四边形是矩形. 2．如图，在中，对角线相交于点O，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上性质和判定定理． 根据平行四边形的性质得出对角线互相平分，根据条件得出对角线相等，然后可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 3．已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．求证：四边形为矩形； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质及矩形的判定，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质及矩形的判定定理是解题的关键；根据三个角是直角的四边形是矩形即可证明 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴． ∴， ∵是外角的平分线， ∴． 又∵, ∴， ∵， ∴． ∴四边形为矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 1．如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由，D是的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质，由，得，根据勾股定理求出，再根据矩形性质求出的长． 【详解】（1）证明：，D为的中点， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：， ， 为的中点，， ∴， ， 四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟记矩形性质与判定及等腰三角形性质是解题关键． 2．如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点O在中点时，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，掌握等腰三角形和矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，得到相等角，利用等角对等边得到线段的相等关系即可； （2）一个四边形是矩形的前提是该四边形是平行四边形，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，确定点O的位置，再通过角平分线的性质得到直角即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，可得， ∴； （2）解：当点O为的中点时，四边形是矩形， 理由：当点O为的中点时，， 又由（1），得， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 3．如图，在中，与相交于点，是等边三角形，，求的周长． 【答案】 【分析】由的对角线、交于，是等边三角形，，证得是矩形，然后由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：是等边三角形，， ， 四边形是平行四边形， ， ▱是矩形， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由，D是的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质，由，得，根据勾股定理求出，再根据矩形性质求出的长． 【详解】（1）证明：，D为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：， ， 为的中点，， ， ， 四边形是矩形， ， 的长是3． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟记矩形性质与判定及等腰三角形性质是解题关键． 5．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质易证，得出，即可得出结论； （2）由矩形和角平分线的性质得出，则，再推出，证明是等边三角形，求出，求出的长即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，平分， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点及运用数形结合思想是解题的关键． 6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 【题型8 矩形中最小值问题】 1．如图，在中，，是边上的一点，作垂直垂直，垂足分别为，则的最小值是（   ） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【答案】C 【分析】先判断四边形是矩形，连接，如图所示，由矩形性质得到，求的最小值就是求的最小值，由垂线段最短得到当时，线段最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， 则四边形是矩形， 连接，如图所示： ， 则求的最小值就是求的最小值， 是定点、是线段上的一个动点， 垂线段最短可知，当时，线段最小， 在中，，则由勾股定理可得， 则由可得，，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查求线段长，涉及矩形的判定与性质、垂线段最短求最值、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、垂线段最短求最值、勾股定理、等面积法求线段长是解决问题的关键． 2.如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 故选：A． 3．如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点C、Q、F在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，使，连接、，过点Q作，交的延长线于H，如图所示： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴的最小值为线段的长， 即的最小值为线段的长， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段最短问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是边上任意一点，将线段绕点E顺时针旋转，点F旋转到点G，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于，的延长线交于点，过点作于，可证四边形是矩形，得到，进而证明，得到，，即可知点在边上移动时，点在射线上移动，又可证明四边形是矩形，得到，，作点关于的对称点，连接，可得，可知最小值为线段的长,再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，的延长线交于点，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又由旋转可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在射线上移动， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 即， 作点关于的对称点，连接，如图，则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为线段的长， ∵，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是求出动点的轨迹． 5．已知如图，直角梯形中，，，，，点P在上移动，则当取最小值时，中边上的高为 ． 【答案】 【分析】此题考查了梯形一般辅助线的作法、勾股定理、三角形的面积计算等知识点．要求中边上的高，根据三角形的面积，由勾股定理即可得解． 【详解】解：过点D作于E， ，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 延长到，使得，连接交于P，此时最小， ， ， ， ， ， 在中，由面积公式可得中边上的高． 故答案为：． 6．如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，然后求解即可． 【详解】解：如下图，过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴当取最小值时， 可有， ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型9 矩形中动点问题】 1．如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．      (1)为何值时，四边形为矩形？ (2)为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1)当秒时，四边形为矩形 (2)当秒时，四边形为平行四边形 【分析】（1）根据，矩形的判定和性质，得，求出，即可； （2）根据平行四边形的判定和性质，得，求出，即可． 【详解】（1）∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， ∵动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为矩形． （2）∵， ∴， 当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质． 2．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)直接写出边的长为_____； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或3或； 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． （1）过点B作于点H，证明四边形是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分，，三种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． （2）解：，，， 当四边形是矩形时，， ， 解得； （3）解：当时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； 3．如图，在矩形中，，动点，分别从点，同时发出，点以的速度向点运动，到点停止运动，点以速度向点运动，到点停止运动，设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． (2)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）由题意知，，则，则当时，四边形是矩形，从而求得t的值； （2）过Q作于E，则；再证明四边形是矩形，则；由可得到关于t的方程，解方程即可求得t的值． 【详解】（1）解：当为时，四边形是矩形， 理由：由题意，可知，， 在矩形中，，， ∴， 当时，四边形是矩形， 即， 解得， ∴当为时，四边形是矩形； （2）解：由题意，可知，， 则， 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴为时，． 4．在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)20 (2)或 (3)当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形 【分析】（1）过点D作交于点E，证出四边形为矩形，得出，，根据勾股定理即可求出． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，分为当点P在上运动，即时，运用求解，和当点P在上运动，即时，运用即可求解； （3）分为①当时，②当时，③当时，④当时，分别画图求解即可计算； 【详解】（1）解：过点D作交于点E， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动， 如图1，当点P在上运动，即时， 则， ； 如图2，当点P在上运动，即时， 则， ； 综上，或； （3）如图，①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形为平行四边形； ③当时，四边形是平行四边形， ， 此时； ④当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识；本题综合性强，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中考常考题． 1．如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．由矩形对角线互相平分的性质，得到是等腰三角形，根据等边对等角求出的度数，最后根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 在中， 故答案为：． 2.如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作于点，且，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得到，由得到，推出垂直平分，得到，即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ，即， 垂直平分， ， ． 故答案为：12． 3．如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形翻折变换的性质，勾股定理．根据矩形的性质以及折叠的性质可得到，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 4．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明四边形是矩形即可求证． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 5．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 【答案】5 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键，根据题意，只需，即，由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 设最快后，四边形为矩形， 要使四边形为矩形， 只需，即， 解得， 故最快后，四边形为矩形， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形的性质和判定（九大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】....................................................................................2 【题型3 根据矩形的性质求面积】........................................................................................4 【题型4 矩形与折叠问题】....................................................................................................5 【题型5 添一条件使四边形是矩形】...................................................................................6 【题型6 矩形的判定】..........................................................................................................7 【题型7 矩形的性质与判定综合】.......................................................................................8 【题型8 矩形中最小值问题】..............................................................................................10 【题型9 矩形中动点问题】..................................................................................................11 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，矩形的顶点在直线上，则（    ）． A． B． C． D． 4．如图，矩形中，点E在上，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，是对角线，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，交于点E，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 1．如图，四边形是矩形，对角线和相交于点O，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 2．如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，点在边上，连接，以为边向右上方作正方形，作于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为（   ） A．9 B．12 C． D．10 5．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边，那么点到矩形的两条对角线的距离和等于（　　） A． B． C． D． 6．文化广场有一块矩形的草坪如图所示，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，足下留“青”!已知，，则走路比走路少了 ． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 1．如图，已知矩形的长为，宽为，则图中阴影部分的面积为 ． 2．如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ．    3．如图，在矩形中，对角线、交于点O，直线过点O，且分别交边、于点E、F．若矩形的面积是10，则图中阴影部分的面积是 ．      4．如图，在矩形中，，，分别交、于点、，在上任取两点、，那么图中阴影部分的面积是 ． 5．如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形以此类推，则平行四边形的面积为 ． 【题型4 矩形与折叠问题】 1．把一张矩形纸片 按如下图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为 ．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸片先沿短边对折，再沿长边对折，最后在字母x处打一个洞，将纸片展开后所得图象为（   ） A．B． C． D． 3．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，2，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．4.8 D．5 4．如图，把矩形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为，那么下列说法错误的是（ ） A．是等腰三角形 B． C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D． 5．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点．若，则图中阴影部分的面积为（      ） A．12 B．10 C．8 D．20 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 1．数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（    ）    A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 3．如图，两个完全相同的三角尺和在直线上滑动，要使四边形为矩形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）． 【题型6 矩形的判定】 1．如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 2．如图，在中，对角线相交于点O，且．求证：四边形是矩形． 3．已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点E．求证：四边形为矩形； 【题型7 矩形的性质与判定综合】 1．如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 2．如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 3．如图，在中，与相交于点，是等边三角形，，求的周长． 4．如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 5．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【题型8 矩形中最小值问题】 1．如图，在中，，是边上的一点，作垂直垂直，垂足分别为，则的最小值是（   ） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 2.如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（   ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 3．如图，在矩形中，，点F，E分别是，上的动点，满足，则的最小值为 ． 4．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是边上任意一点，将线段绕点E顺时针旋转，点F旋转到点G，则的最小值为 ． 5．已知如图，直角梯形中，，，，，点P在上移动，则当取最小值时，中边上的高为 ． 6．如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为 ． 【题型9 矩形中动点问题】 1．如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．      (1)为何值时，四边形为矩形？ (2)为何值时，四边形为平行四边形？ 2．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)直接写出边的长为_____； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 3．如图，在矩形中，，动点，分别从点，同时发出，点以的速度向点运动，到点停止运动，点以速度向点运动，到点停止运动，设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由． (2)连接，当为何值时，？ 4．在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 1．如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为 ． 2.如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作于点，且，若，则的长为 ． 3．如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 4．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为 5．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $