2026年九年级数学中考二轮复习 《二次函数与特殊四边形综合压轴题》 专题训练

2026年九年级数学中考复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》考前冲刺专题训练 1．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．    (1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限； (2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行； (3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点． 2．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图， 抛物线 与x轴交于、两点， 与y轴交于点C，连接，点P是抛物线对称轴上的一个动点，点Q是抛物线上的动点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在对称轴上运动时，求周长的最小值； (3)是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 ． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标． 5．（2024河南周口·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线在第一象限内的点，连接，若的面积是面积的，求点P的坐标； (3)M为直线上的动点，N为抛物线上的动点，当以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 6．（25-26九年级下·山东济南·月考）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 7．（2024重庆·开学考试）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点． (1)求，，三点的坐标； (2)线段的端点坐标分别是，，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围； (3)点与点关于点中心对称，过点的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点．试说明轴上总存在点，使四边形是平行四边形． 9．（2024·山东菏泽·三模）如图，已知抛物线图象经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若是抛物线上位于第一象限内的点，是线段上的一个动点（不与、重合），过点分别作交于，交于． ①求证：四边形是矩形； ②连接，线段的长是否存在最小值，若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 10．（24-25湖北武汉·期中）如图1，抛物线：与x轴的正半轴交点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由． (3)如图2，作抛物线关于原点O中心对称的抛物线，若抛物线与直线交于E，F两点，与直线交于M，N两点，且，点P，Q分别是、的中点，求证：直线必定经过一个定点，并求出该定点坐标． 11．（25-26九年级上·重庆忠县·期末）如图所示，设抛物线与x轴相交于O，M两点，点Q在抛物线第一象限图象上，若，面积的最大值为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，设D是抛物线的顶点，点A在x轴上，点B在抛物线上；若四边形是平行四边形，且点C恰为线段中点，求点A坐标； (3)如图2，已知P是直线l：上方的抛物线上的动点，于点E，轴于点F，设与直线l交于点N，当周长最大时，求点N的坐标． 12．（25-26辽宁沈阳·期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点C，A，二次函数经过点A，C． (1)求二次函数解析式； (2)如图2，点P为抛物线上一点，过点P作轴交直线于点Q，若，求点P的横坐标； (3)如图1，连接，在x轴上找一点M，使得，直接写出点M的坐标； (4)二次函数与组成新函数G：，点，，，当函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点时，请直接写出此时m的取值范围． 13．（2024湖北武汉·月考）已知抛物线：经过点，与x轴交于、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知，以为顶点作平行四边形，若两点都在抛物线上，求两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿轴平移，使其顶点在轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于两点，过的直线与抛物线都只有唯一公共点，求证：点在定直线上运动． 14．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2024黑龙江哈尔滨·月考）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的顶点到轴的距离为，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第三象限内的抛物线上一点，连接交轴于点，过点作轴于点，连接并延长交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为第二象限内的抛物线上的一点，分别连接、，点为的中点，点为第二象限内的一点，分别连接，，，且，，若，求点的横坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：， 令，得， 解得：，， ，， ， 设交轴于点，交轴于点，如图，    ， ， 又， ， ， 的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限， ，， 点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且， ； （2）证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，， 则， 同理可得：， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 设的解析式为， 则， ， ， ， 即， ， ， 解得：， 又， ，即直线与直线平行， 一定与定直线平行； （3）证明：设解析式，与抛物线的解析式联立，得， ， 设，，， ， ，且四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 点在抛物线上， ， ， 解得：， 直线过定点． 2．（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 3．(1) (2) (3)存在, 点或或． 【分析】（1）利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，求解，，，当三点共线时，可得周长的最小值为. （3）如图所示，分类讨论：当四边形为平行四边形时，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样的方法即可求出对应Q点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线 与x轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线解析式为． （2）解：如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，， ∴， ∵， ∴当，，抛物线的对称轴为直线， 即，而， ∴，， ， 当三点共线时，周长的最小值为. （3）解：存在．理由如下： ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， 如图所示： 当四边形为平行四边形，由平移可得， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时，由平移可得：， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时， ∴，， ∴为对称轴与轴交点，，关于直线对称，， 此时满足，符合题意， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；轴对称的性质，勾股定理的应用，平移的性质，会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用点平移的坐标规律表示平行四边形的顶点坐标，连接坐标与图形性质． 4．(1) (2)； (3)当时，点G的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算、一次函数的性质等，有一定的综合性． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设点P的坐标为，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）当四边形是平行四边形，此时，利用待定系数法求得直线的解析式，联立两解析式可求得点G的坐标；再抛物线的对称性，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，与y轴交于点， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，得， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点P的坐标为，则， ∴， ∴． ∵， 故四边形的面积有最大值， 当四边形的面积最大时，． ∴； （3）解：对于， ∴抛物线的顶点E的坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∵轴， 当时，四边形是平行四边形，此时， ∴设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点G的坐标为， 由抛物线的对称性， 当点关于对称轴直线的对称点时，也符合题意， 如图，设交直线于点，则，存在， ∵， ∴， ∴， ∴当时，点G的坐标为或． 5．(1) (2) (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点，，再将两个点的坐标代入可得答案； （2）由点的坐标得，，再设，然后根据得出方程，求出解即可； （3）先设，再分两种情况：当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，可得，进而得出，再根据时四边形是平行四边形，即当，时，求出答案； 当为平行四边形的对角线时，先确定点，由得出方程，再求出解可得坐标． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴点，， 将，代入中得： 解得：，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得：，， 设， ∴， ∴， 得：， 解得：，（舍）， ∴； （3）解：设， ①当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，如图， 则， 则， ∵， ∴当时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴，当时，即， 解得：，， 此时，； 当时，即， 则， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵，， ∴， 则，即， 解得：，， ∴或， ∴点M的坐标为或或或或． 6．(1) (2)存在， (3)①；②点到直线的距离的最大值为， 【分析】（1）把代入，解关于、的二元一次方程组求出、的值即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）①过点作轴于，交于，先利用待定系数法求出直线解析式为，得出，，，利用三角形面积公式即可得出；②利用勾股定理求出，利用的面积求出，得出时，的最大值为，把代入即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点作轴于，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为， 当时，， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、菱形的性质及二次函数的性质，合理作出辅助线是解题关键． 7．(1) (2)四边形的最大面积为，此时点的坐标为 (3)存在满足条件的点，点的坐标为或或 【分析】（1）先通过直线求出与坐标轴交点、，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组求得、，即可确定抛物线表达式； （2）先求出抛物线与轴另一交点，算出面积，将四边形面积拆分为；设动点坐标，将面积转化为关于横坐标的二次函数，配方后结合取值范围，即可求出面积最大值及对应点坐标； （3）先根据的方向和平移距离，确定抛物线向右、向上各平移个单位，求出平移后解析式；分两类讨论：①为平行四边形的边，利用对边平行且相等的性质求解；②为对角线，利用对角线互相平分的中点公式求解，最终汇总所有符合条件的点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点、与轴交于点， 令，得；令，得； ∴、， 将、代入抛物线，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，得， 解得 ，， ∴， ∴， ∵，垂直轴， ∴， ∵，​为固定值， ∴要使四边形面积最大，只需最大， 设第二象限内抛物线上的点，过点作垂直轴，交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，且， ∴当​时，四边形面积取得最大值， 将代入点纵坐标，得， ∴四边形的最大面积为，此时点的坐标为； （3）解：存在满足条件的点， ∵直线的解析式为，直线与轴夹角为， ∴沿射线方向平移时，水平方向（轴）与竖直方向（轴）的平移距离相等， 设向右平移个单位，竖直向上平移个单位，平移总距离为， 由勾股定理得 ， 解得， ∴抛物线整体向右平移个单位、向上平移个单位， ∵原抛物线为，顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为，即， ∴平移后的抛物线解析式为， 已知、，点在轴上，设，点在抛物线​上，分两种情况讨论： 情况1：为平行四边形的边， ∵平行四边形对边平行且相等，在轴上，， ∴且，即、纵坐标相等，横坐标差的绝对值为， ∵N的横坐标为， ∴的横坐标为或， ①当的横坐标为时： ∵在​上， ∴把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； ②当的横坐标为时： 把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； 情况2：为平行四边形的对角线， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点与的中点完全重合， ∵、， ∴的中点坐标为，即， ∵、，的中点为， ∴，， 解得，， 即， ∵在上， ∴把代入，得 ， ∴， 解得， 即； 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或或． 【点睛】求四边形面积的最大值，把不规则四边形拆成“固定面积的 动态面积的”，化繁为简，用铅垂高把斜三角形面积，直接转化为动点坐标的纵坐标差，完美避开复杂几何计算，是二次函数面积最值的通用通法；平行四边形存在性问题，必须先分“为边”、“ 为对角线”两类，这是避免漏解的核心，再用“对边平行且相等”、“对角线互相平分（中点公式）”，把几何性质直接转化为坐标计算，不用画图硬凑，是此类问题的标准解题逻辑． 8．(1)，， (2)的取值范围为或或 (3)见解析 【分析】（1）令，求出，可得出点坐标，令，求出，，可得出点、坐标； （2）先求出直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得出，分方程有两个相等实数根、及三种情况，根据一元二次方程根的判别式，结合图像求解即可； （3）根据中心对称的性质得出，得出直线的解析式为，设，，联立直线与抛物线的解析式求出，，联立直线与抛物线解析式得出，根据平行四边形的性质得出对角线的中点坐标为，即可得出点在轴上，可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴，，． （2）解：∵时，， ∴与重合，不符合题意， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， 如图所示： ①当方程有两个相等的实数根时，直线与抛物线有一个交点， ∴， 解得：； ②方程有两个解，但只有一个解在的的范围内， 当时， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴，且， 解得：； 当时， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴，且， 解得：； 综上所述：的取值范围为或或． （3）解：∵点与点关于点中心对称，， ∴， 设直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线的解析式为， 联立直线和抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， 设，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， ∵直线交抛物线于另一点，是此方程的解， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分， ∴对角线中点的横坐标为， ∴对角线的中点在轴上， ∴点也在轴上， ∴轴上总存在点，使四边形是平行四边形． 9．（1）；（2）①见解析；②存在．的最小值是2． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）①利用函数解析式求得点C的坐标，过点作，垂足为，方法一：证明，推出，由，，得到四边形是平行四边形，由此得到结论；方法二：利用勾股定理的逆定理推出，由此得到结论； ②方法一：连接，根据矩形的性质得到当时，的值最小．方法二：连接，设点，利用勾股定理求出，利用函数的最值问题解答． 【详解】（1）∵抛物线图象经过，两点， ∴解之，得 ∴． （2）①证明：∵点在抛物线上， ∴， 解之，得或． 又∵位于第一象限， ∴ ∴， ∴舍去， ∴， ∴点坐标为． 过点作，垂足为，则． 由、、，得，，，． （以下解答提供两种不同方法供参考） 方法一：∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴是矩形． 方法二：∵，， ∴． ∵，∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴是矩形． ②存在． 方法一：连接， ∵四边形是矩形， ∴． 当时，的值最小． ∵， ∴的最小值是2， ∴的最小值是2． 方法二：连接， ∵四边形是矩形，∴ ． 设点， 在中，， ∴当时，的最小值是4． ∵， ∴最小值是2， ∴的最小值是2． 【点睛】此题考查二次函数与图形问题，利用待定系数法求函数解析式，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，二次函数的最值，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并运用解决问题是解题的关键． 10．(1) (2)存在，G点坐标存在，为或或 (3)直线过定点，证明见解析 【分析】（1）由得出，根据对称轴为直线和代入即可解得； （2）设D点坐标为，G点坐标为，分三种情况①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，进行讨论即可； （3）联立与，解得，根据韦达定理得出，，得出P和Q点的坐标，表示出直线的解析式即可判断； 【详解】（1）对称轴为直线， 即， 又∵， ， 将和代入解得：， 即函数解析式为：； （2）设D点坐标为，G点坐标为，且，， 分情况讨论： ①当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知： 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 此时的中点与的中点为同一个点， ， 解得， 经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为； ②当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知： 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 此时的中点与的中点为同一个点， ， 解得， 经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为； ③当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知： 线段的中点坐标为，即， 线段的中点坐标为，即， 此时的中点与的中点为同一个点， ， 解得， 经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为； 综上所述，G点坐标存在，为或或； （3）抛物线关于原点O中心对称的抛物线为， 故抛物线的解析式为：， 联立与得， 所以，，故， 联立与得， 可得， ， 设直线的解析式为， 将P、Q两点代入得的解析式为， 所以直线过定点； 【点睛】该题主要考查了二次函数和一次函数的图像和性质，平行四边形的性质以及韦达定理等知识点，解答该题的关键是掌握二次函数和一次函数的图像和性质． 11．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，，然后根据当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值，结合三角形面积公式，即可求得抛物线的顶点坐标，进而利用待定系数法即可解答； （2）当A在点O右侧时，由（1）可知，，根据中点可得点C的坐标和的长度，再根据平行四边形的性质可得点B的纵坐标和的长度，进而求得点B的横坐标，然后过点B作轴于点N，则有和的长度，利用勾股定理求得，从而得到的长度；当A在点O左侧时，同理计算即可； （3）设直线l交y轴于点G，根据题意易证，推出三边的比例为定值，即当取得最大值时，的周长取得最大值，然后设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于O，M两点，， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，取得最大值， ∵点Q在抛物线第一象限图象上，面积的最大值为， ∴， ∴当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值， 此时，即抛物线的顶点坐标为， 将点，代入解析式， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当A在点O右侧时， 由（1）可知，， ∵点C恰为线段中点 ∴， ∴， ∵点A在x轴上，点B在抛物线上，四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∴点B的纵坐标为，代入抛物线， 得， 解得， ∴， 如图，过点B作轴于点N， 则，， ∴， ∴， ∴； 当A在点O左侧时， 同理可得，， 如图，过点B作轴于点R， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设直线l交y轴于点G， 由题意可知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴三边的比例为定值， ∴当取的最大值时，的周长取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即的周长最大， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合——特殊四边形和线段周长问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．(1) (2)2或或 (3)， (4)， 【分析】（1）求出A、C点坐标，将A、C代入中，即可求函数的解析式； （2）设，则，根据题意可得，求出t的值即可； （3）过点M作交于N，由，，可得，则，设，则，，求出，即可求出，即可得点M的坐标； （4）当时，，解得，，解得，当时，G与矩形四条边有两个交点，当时，G与矩形四条边有两个交点，再结合图象可得或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， 将A、C代入中， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵过点P作轴交直线于点Q， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或或， ∴点P的横坐标为2或或； （3）解：过点M作交于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 当在左边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或； （4）解：当时，， 解得， ， 解得， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， 当时，，，G与矩形四条边有两个交点， ∴或时，函数G的图象与矩形四条边有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，三角函数值的求法是解题的关键． 13．(1) (2)或或， (3)证明见解析 【分析】（1）将、两点代入抛物线得，解得，从而得到解析式为； （2）已知、，分两种情况：①若为平行四边形的边；②若为平行四边形的对角线，由平行四边形性质及点的平移，列方程求解即可得到答案； （3）抛物线向左平移1个单位，求出抛物线，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系可得，，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系求出，，则直线解析式为：，同理解析式为：，联立方程组，求出点坐标为即可求解． 【详解】（1）解：抛物线：经过点，与x轴交于， 将、两点代入抛物线得，解得， 解析式为； （2）解：、， 若以为顶点作平行四边形，两点都在抛物线上，分两种情况: ①若为平行四边形的边，设， 由点的平移得， 将D点代入抛物线得：，解得， ； ②若为平行四边形的对角线，设， 由平移得， 将D点代入抛物线得：，解得或， 或，； 综上所述，或或，； （3）解：， 要求沿着轴（即左右平移），且平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线向左平移1个单位， 抛物线，设解析式为，联立方程组， ， ，， 设解析式为，联立方程组，可得， ，， ，， 直线解析式为：； 同理，设解析式为，联立方程组，可得， ，， ，， 直线解析式为：； 联立方程组，解得， ，， 点坐标为， 点在定直线上运动． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，用待定系数法求函数解析式，联立方程组的方法求函数交点坐标，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 15．（1）y=；（2）见详解；（3） 【分析】（1）把化为函数的顶点式y=，得到顶点坐标Z（-1，4），即可得出m=4，令y=0，求出x的值，即为A、B两点的横坐标，根据即可求出a的值，代入函数解析式即可； （2）由（1）可得出点A（-3，0），点B（1，0），点C（0，3），设P（t， ），利用PH∥y轴得出，推出OD=-t-3，进而证得EH=AH=-3-t即可得出结论； （3）连接DE，延长CG交DE于N，可证得2∠QEH=∠ENQ，通过作CK⊥DQ，推出△CKD≌△EQD，设QK=x，利用勾股定理得到方程，解出x=，由等积法求出QM，进而得出tan∠QCM，设Q点坐标（m，-），由，解出m值即得到点Q的横坐标． 【详解】（1）根据题意知，， =， ∴顶点Z的坐标为（-1，4）， ∵顶点Z到x轴距离为4， ∴m=4， 令y=0，则， 解得x==， ∴A（，0），B（，0）， ∵AB==， ∴=， ∴a=1， ∴抛物线的解析式为y=， 故答案为：y=； （2）由（1）知，点A（-3，0），点B（1，0），点C（0，3）， 设P（t， ）， ∵PH⊥x轴，即PH∥y轴， ∴H（t，0），且，PH=，BH=1-t，OB=1， ∴， ∴OD===-t-3， ∵OA=3，OC=3， ∴∠CAO=∠HAE=45°， ∴EH=AH=-3-t， ∴OD=EH； （3）连接DE，延长CG交DE于N， ∵EH=OD，EH∥OD， ∴DE∥x轴， ∴∠CDE=90°， ∵CG=DG， ∴G为CN中点， ∴FG∥QN，且FG=QN， ∵CD=4FG， ∴CD=2QN， ∵∠CDG=∠2=∠1， ∴90°+∠CDG=∠90°+∠1=∠CNE， ∴∠CNE-∠CGF=∠CNE-∠4， ∴2∠QEH=∠ENQ， 设∠QEH=，∠ENQ=2， ∴∠QEN=90°-=∠EQN， ∴QN=EN， ∵CD=ED， ∴DE=2EN， ∴ND=EN=QN， ∴∠EQD=90°， 过点C作CK⊥DQ， M型全等， ∴△CKD≌△EQD， ∴EQ=DK，CK=QD， 设EQ=3=DK， CQ=， QK=x， ∴CK=x+3， ∴， ∴， ∴，（舍）， ∴CK=+3=4， ∴CD=5， 等积法： QD×CK=CD×QM， ∴4×4=5×QM， QM=， ∴CM=， ∴tan∠QCM=， 设Q（m，-）， ∴QM=-m，CM=3-（-）=， ∴， ∴16+45m=0， ∴（舍），， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的解析的求解，平行线段成比例的应用，平行线的性质，全等的判定和性质，等积法求线段长度，三角函数值的应用，熟练掌握数形结合的方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $