精品解析：上海外国语大学附属大境中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试卷

上外附属大境中学二零二五学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一､填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积和弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，圆心角为， 则扇形的面积为， 所以，所以. 故答案为：. 2. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】分子分母同时除以，把目标式转为的表达式，代入可求. 【详解】，则 故答案为． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，常用方法：(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等类型可进行弦化切；（2）“1”的灵活代换和的关系进行变形、转化. 3. 已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定终边对应的角，再结合三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，点所在终边为角，，，， 顺时针旋转后终边对应的角为，且， 则，， 所以，，所以. 故答案为： 4. 函数在上的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 故解得， 故在上的单调递减区间为 5. 已知和是两个不平行的向量，向量与平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为向量与平行，所以存在使得， 又因为和不平行，所以解得，所以. 6. 在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合任意角的三角函数的定义可得，利用二倍角的正切公式可求得的值． 【详解】在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，， 不妨设角的终边过点，则角的终边过点， 结合任意角的三角函数的定义可知，若，则， 则， 故答案为：． 7. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得； 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 8. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，新函数解析式为， 因为其图象关于轴对称，所以，得， 则当时有最小正值，最小正值是 9. 已知 则在上的投影向量为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为，且 所以在 上的投影向量为 . 故答案为： . 10. 已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，结合正弦函数的对称性有，对数函数的性质得，即可得. 【详解】由解析式，函数的大致图象如下， 由图，要使，则，且， 令，可得，令，可得， 所以，故. 故答案为： 11. 设，若，则的最大值等于__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的有界性求出的所有值，进而求出比值的最大值. 【详解】由，得，则，同理， 于是，而， 因此，解得， 又，则， 要最大，则同号，且最小，最大， 所以当时，取得最大值6. 故答案为：6 12. 已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为______. 【答案】10 【解析】 【分析】运用向量共线、向量垂直画图，运用平行线性质及直角三角形性质可得、，再运用数量积运算及几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以A、D、E三点共线，且， 又因为，所以，所以， 因为，所以B、E、F三点共线，又因为，所以，如图所示， 设，则， 所以，解得：， 所以在上的数量投影为. 故答案为：10. 二､选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 由正弦定理得. 若，则由正弦定理得， 根据大边对大角可知， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 14. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果. 【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反， ，充分性成立； 当时，的夹角可能为钝角，此时不存在负数，使得，必要性不成立； “存在负数，使得”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用余弦的二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用周期公式和奇偶函数的定义判断即可求解. 【详解】由余弦的二倍角公式可得： ， 所以周期为：， 且，所以是奇函数， 所以函数是最小正周期为的奇函数， 故选：C. 16. 三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数周期的定义判断①②即可. 【详解】对于①，设，该函数的定义域为， 因为， 故函数是周期函数，①对； 对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 若函数是周期函数，设为该函数的一个周期， 则存在非零整数、，使得，，可得，所以，， 因为为无理数，而为有理数，故等式不成立， 所以函数不是周期函数，②错. 故选：C. 三､解答题（本大题共5题，8+8+10+12+12，共50分） 17. 已知 （1）求与的夹角大小； （2）求在上的数量投影. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据数量投影的概念计算即可. 【小问1详解】 由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 【小问2详解】 在上的数量投影为. 18. 已知角、的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点位于第二象限，角的终边和单位圆的交点位于第三象限，若点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求、的值； （2）若，求的值.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）可根据单位圆定义求出，再由二倍角正弦公式即可求解； （2）先求出由可求得，结合反三角函数即可求得 【详解】（1）由题可知：， ，， ； （2）由， ， 又， 【点睛】本题考查单位圆的定义，二倍角公式的应用，两角差余弦公式的用法，属于中档题 19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 （1）试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. （2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1），，； （2）；. 【解析】 【分析】（1）已知三角形中的两角一边，用内角和定理和正弦定理可表达剩余两边； （2）表达面积，应用余弦定理和基本不等式可得解. 【小问1详解】 在种，由已知可得，， 由正弦定理可知，， 则整理可得：，， 面积. 【小问2详解】 因为，当有最大值时，三角形的面积最大， 由已知及余弦定理，可得 则，即，此时，，为等腰三角形，， . 20. 已知函数的图象，如图所示： （1）求的解析式； （2）若在上是严格增函数，求实数的最大值. （3）将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，周期，由此可求，，再结合关系及的范围，求，由此可得的解析式； （2）由条件结合正弦函数的单调性结论列不等式求的最大值即可， （3）根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据条件根据正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 观察图象可得函数的最大值为，最小值为，， 所以， 所以，， 所以， 又，所以， 所以，，又， 所以 所以. 【小问2详解】 由条件可得，， 设，则当时，， 因为在上是严格增函数，又 由条件，， 所以，解得， 所以. 所以的最大值是. 【小问3详解】 因为函数的图象向右移动个单位，可得函数的图象， 将图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象， 所以， 令，可得，所以，， 所以，， 因为在区间上至少有个最大值， 又， 所以，所以， 所以，又， 所以. 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）利用换元法再对分类讨论即可. 【小问1详解】 由已知得存在实数， 使得. 所以. 【小问2详解】 假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. ⑤当，即，有个根，不符合. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学二零二五学年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 （90分钟内完成，总分120分） 一､填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 半径为3的扇形面积为π，则此扇形的弧长为_____. 2. 已知，则_____． 3. 已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 4. 函数在上的单调递减区间为__________. 5. 已知和是两个不平行的向量，向量与平行，则实数__________. 6. 在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则____________. 7. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 8. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是__________. 9. 已知 则在上的投影向量为______ 10. 已知函数，若满足（），则的取值范围是______. 11. 设，若，则的最大值等于__________． 12. 已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为______. 二､选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 16. 三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三､解答题（本大题共5题，8+8+10+12+12，共50分） 17. 已知 （1）求与的夹角大小； （2）求在上的数量投影. 18. 已知角、的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点位于第二象限，角的终边和单位圆的交点位于第三象限，若点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求、的值； （2）若，求的值.（结果用反三角函数值表示） 19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 （1）试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. （2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 20. 已知函数的图象，如图所示： （1）求的解析式； （2）若在上是严格增函数，求实数的最大值. （3）将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围. 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $