精品解析：上海市存志学校2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

存志学校2025-2026学年第二学期期中质量调研卷八年级数学 时间：100分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 如果一个边形的内角和为，那么的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 4. 如图，在中，，点是的重心，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 19的算术平方根是____________． 8. 函数的自变量取值范围是_______________． 9. 在实数范围内分解因式______. 10. 若多边形每一个外角都等于，那么它是_________边形． 11. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 12. 已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 13. 如图所示，在平行四边形中，交的延长线于点交的延长线于点，，则___________． 14. 如图，菱形的周长为16，，点E、F分别为、的中点，则EF的长度为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 16. 如图，为等腰三角形，，点M，N分别为中点，点D、E在边上，且，连接，则图中阴影部分的面积为________________． 17. 如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为______． 18. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为__________ 三、计算题（5+5+5+5=20分） 19. 计算： 20. 计算： 21. 解方程： 22. （用配方法解方程） 四、解答题（6+5+10+10+15=46分） 23. 小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？ 24. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF． 25. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，其中在的左侧且，点的坐标为． （1）求的值及； （2）若点在轴的负半轴上，且，试求点的坐标． 27. 【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； （2）如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； （3）【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 五、综合题（5+5+6+6+8=30分） 28. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=__________ 29. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长是3，点A的横坐标为1，则点B的坐标为______． 30. 如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ___________________． 31. 如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG =__________． 32. 如图，在平行四边形中，，，点E在上，如果，F是中点，过点D分别作于点P，于点Q，那么等于______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 存志学校2025-2026学年第二学期期中质量调研卷八年级数学 时间：100分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 如果一个边形的内角和为，那么的值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 2. 在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，根据三角形全等的判定与性质以及平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图， A选项：∵，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； C选项：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； D选项：由无法证明四边形是平行四边形，本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，，点是的重心，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，，  ∴，  ∵ 点 是的重心， ∴， ∵，  ∴． 5. 如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 通过点坐标求出正比例函数解析式，再计算和比较和的大小即可． 【详解】解：∵ 正比例函数图象经过点， ∴ 设函数为，代入得， ∴， ∴ 函数解析式为， ∵ 点和点在图象上， ∴，， ∵， ∴，即 ． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 19的算术平方根是____________． 【答案】 【解析】 【分析】一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，据此即可解答． 【详解】解： ，且， 的算术平方根是． 8. 函数的自变量取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，得： ∴ ∴． 9. 在实数范围内分解因式______. 【答案】 【解析】 【分析】令，然后用公式法解出方程的根，即可写出因式分解的结果. 【详解】解：令， 解得， 所以 故答案为 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，根据先解方程是关键. 10. 若多边形每一个外角都等于，那么它是_________边形． 【答案】十 【解析】 【分析】根据题意可知该多边形每个外角都相等，利用多边形外角和为除以单个外角的度数即可求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，该多边形每一个外角都等于， ． 它是十边形． 11. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“左减右加，上加下减”的平移规律求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征求出点C的坐标． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B关于x轴的对称点为C， ∴点C的坐标是． 12. 已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的坐标特征，解题的关键是牢记平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等这一性质． 根据轴，得出点和点的纵坐标相等，据此列方程求解的值，同时验证横坐标不相等以保证两点不重合． 【详解】解：轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得， 此时点的横坐标为，符合题意． 故答案为：． 13. 如图所示，在平行四边形中，交的延长线于点交的延长线于点，，则___________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】由四边形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果；本题考查了平行四边形的性质、四边形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，由四边形内角和定理求出是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 故答案为：． 14. 如图，菱形的周长为16，，点E、F分别为、的中点，则EF的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得出，由的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，然后证明为的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】∵四边形是菱形，周长为16，， ∴，， ∴， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案是： ． 【点睛】考查了菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理；根据勾股定理求出和证明三角形中位线是解决问题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴上．若点C的坐标为，则点A的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，勾股定理求出的长 ，根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：延长至点， ∵菱形， ∴， ∴轴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，为等腰三角形，，点M，N分别为中点，点D、E在边上，且，连接，则图中阴影部分的面积为________________． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作，勾股定理求出的长，根据三角形的中位线定理，求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵点M，N分别为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 观察可知，阴影部分的面积等同于底边为，高为的三角形的面积， ∴阴影部分的面积． 17. 如图，点C为直线外一动点，，连接，点D、E分别是的中点，连接交于点F，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键． 18. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、计算题（5+5+5+5=20分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 20. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 22. （用配方法解方程） 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 四、解答题（6+5+10+10+15=46分） 23. 小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？ 【答案】这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°． 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解． 【详解】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则 （n﹣2）•180°＝1380°﹣α， ∵1380°＝7×180°+120°，内角和应是180°的倍数， ∴同学多加的一个外角为120°， ∴这是7+2＝9边形的内角和， 答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°． 【点睛】多边形内角和、边角的关系一定要熟悉.会应用即可. 24. 如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC， ∴∠BAE=∠CFE， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△ABE和△FEC， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB=FC， ∴DC=CF． 【解析】 【分析】由已知条件易得AB∥CD，AB=DC，得出∠BAE=∠CFE，根据点E是BC的中点，得出BE=CE，再证△ABE≌△FCE（AAS）即可． 【详解】略 【点睛】熟悉平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质掌握是平行四边形的性质，平行线性质，线段中点，和全等三角形的判定与性质解题的关键． 25. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）矩形， 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，其中在的左侧且，点的坐标为． （1）求的值及； （2）若点在轴的负半轴上，且，试求点的坐标． 【答案】（1）， （2）的坐标 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标与三角形面积计算，掌握点的坐标与各线段长的关系是解决此题的关键． （1）已知、在轴上且在左侧，，利用轴上两点间距离公式（两点横坐标之差的绝对值 ），由，可得，解此方程求出的值；再根据三角形面积公式，以为底，点到轴距离为高，计算面积 ． （2）设，先表示出的长度，根据求出的值，再利用三角形面积公式列出关于的方程，求解方程得到的值，进而确定的坐标 ． 【小问1详解】 ，且在左侧，， ，即， 解得． 点 ； 【小问2详解】 解：设的坐标为，则． ，， ． 以为底，高为点到轴的距离3， ． 即， 解得（舍去）；． 的坐标为． 27. 【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； （2）如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； （3）【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）的长为； （2）的最小值为； （3）灌溉水渠总长度的最小值为米． 【解析】 【分析】（）由矩形性质可得，又，则，再证明，然后通过性质即可求解； （）连接，连接，与交于点，根据题意可得，所以当时，最小，从而最小，又四边形是菱形，则，，，通过勾股定理求得，则，然后通过求出的值即可； （）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，由四边形是正方形， 则，，米，再证明四边形是矩形，所以，米，通过勾股定理求出米，证明，则，故有，所以三点共线，且时，最小，即长，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 五、综合题（5+5+6+6+8=30分） 28. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=__________ 【答案】540°. 【解析】 【分析】根据四边形的内角和是360°，可求∠C+∠B+∠D+∠2=360°，∠1+∠3+∠E+∠F=360°．又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1=∠A+∠G，而∠2+∠3=180°，从而求出所求的角的和． 【详解】解：在四边形BCDM中， ∠C+∠B+∠D+∠2=360°， 在四边形MEFN中：∠1+∠3+∠E+∠F=360°． ∵∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°． 故答案为540°. 【点睛】本题考查三角形外角的性质及四边形的内角和定理，解答的关键是利用外角和内角的关系． 29. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长是3，点A的横坐标为1，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，作交的延长线于点，证明，即可得出结果． 【详解】解：作轴，作交的延长线于点，则， ∵边长为3的正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∴． 30. 如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点，与交于点，若，则的值是 ___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 31. 如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG =__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意△EFG有两个角相等，于是有三种情况，分别令不同的两个角相等，利用折叠的性质和四边形的内角和列方程，最后综合得出答案． 【详解】解：分三种情况： （1）当∠FGE＝∠FEG时， 设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG＝， 在四边形GFCD中，由内角和为得： ， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：； （2）当∠GFE＝∠FEG时， 在四边形GFCD中，由内角和为得：， 得，显然不成立， 即此种情况不存在； （3）当∠FGE＝∠GFE时， 同理有：， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的翻折，三角形和四边形的内角和，有一定难度，熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的分情况讨论是解题关键． 32. 如图，在平行四边形中，，，点E在上，如果，F是中点，过点D分别作于点P，于点Q，那么等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、含度角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，灵活运用知识点、作辅助线推理是解题的关键．连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，从而可得．再根据题意得出可求出、的长，由含度角的直角三角形的性质结合勾股定理可间接求出，，，的长，最后再次利用勾股定理求出，的长进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，即， ∵， ∴设， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在和中，，， ∴，， ∴，， ∴在和中， ， ， ∴． 故答案为：． 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