2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题-平行四边形存在性

2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题-平行四边形存在性 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式和点、点坐标； (2)若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点N．使得的面积最大，最大值为多少？ (3)在抛物线对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求K、L的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积； (3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方一点，且，求直线的解析式； (3)点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 8．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标． 9．如图，抛物线与与轴相交于，两点，与轴相交于点，为抛物线的对称轴上一个动点． (1)求直线的表达式； (2)求抛物线的表达式； (3)请探索在直线的上方且在抛物线上是否存在点，使得，，，构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，抛物线经过点和点，与x轴交于点C和点D，点A为线段CD的中点，直线y=kx-1过点A，与y轴交于点B． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在第三象限内，以AB为边作正方形ABMN，请求出点M和点N的坐标． (3)在（2）的条件下，点P是x轴上方抛物线上的一点，以AB为一边，以点P为对角线的交点作平行四边形ABEF，当平行四边形ABEF的面积恰好是正方形ABMN的面积的4倍时，求出点P的横坐标． 11．在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形． 如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式； 在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标； 在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标． 12．如图，抛物线经过平行四边形的顶点，抛物线与x轴另一交点为E，经过E点的直线l将平行四边形分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F，P为直线l上方抛物线上一点，设点P横坐标为t． (1)求抛物线的解析式． (2)t为何值时，面积最大？ (3)是否存在点P使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 13．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线恰好经过A、B两点且与x轴交于另一点C（在点A左侧）． (1)求抛物线解析式； (2)如图（1），点D是抛物线上在第一象限上的一点，点E是平面内一点，四边形ADBE是平行四边形，当的面积为时，求出点D的坐标； (3)如图（2），点D是抛物线上在第一象限上的一点，点F是平面内一点，四边形DBCF是平行四边形，连接CD交AB于点M，AB交DF于点N，设的面积表示为，的面积表示为，的面积表示为，求的最大值． 14．已知二次函数的图象经过点和． (1)求此二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标； (2)设点是函数图象上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形．求平行四边形的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当平行四边形的面积为24时，判断平行四边形是否为菱形？并判断是否存在点，使得平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 2．(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 3．(1) (2)或 (3)存在，Q点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线与轴的两个交点求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为：，设点D的坐标为，则，解方程即可得到点D的坐标； （3）设，，则，分两种情况讨论：①当为边时，此时四边形和是平行四边形；②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：将、代入得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 设点D的坐标为， 、， ， ∴，即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； （3）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为：， 设，， ， 分两种情况讨论： ①当为边时，此时四边形和是平行四边形， ，，，， ∴，, 解得：，， 此时点Q的坐标为或． ②当为四边形的对角线时，此时四边形是平行四边形， ，， ∴，即， 此时点Q的坐标为； 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 4．(1)，， (2)点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，学习数形结合的解题思路． （1）根据点的坐标，，求出点，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据抛物线与的交点，则，解出，即可； （2）根据平行四边形的性质，分类讨论当，为边时，即四边形是平行四边形，当，为对角线，即四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点，， ∵点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， 解得：，， ∴点． （2）解：存在，理由如下： 设点， 当，为边时，即四边形是平行四边形， ∴轴， ∴， ∴， 解得：，， 当时，点与点重合，不能构成平行四边形，舍去， ∴点； 当，为对角线，即四边形是平行四边形， ∵点，在轴上， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点或， 综上所述，点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 5．(1) (2)存在， (3)或，或． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数与特殊四边形，利用平行四边形的性质求解，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，分割法表示出的面积，转化为二次函数求最值即可； （3）求出抛物线的对称轴为，，设，分类讨论：①当为平行四边形的边时，②当平行四边形为对角线时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：， ， 代入，得： ， 解得：； ∴此函数的解析式为； （2）解：存在．的面积最大为， 如图1，过点作轴于点，交于点， 设的解析式为，将代入，得：， ∴直线解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ∴， ∴当时，此时，的面积最大为； （3）抛物线的对称轴为，令对称轴交x轴于点E，则． 令，则， 解得， ∴，设． ①当为平行四边形的边时，如图 有，， ∴，， 即， 解得或． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴或． ②当为平行四边形为对角线时，如图， 有与互相平分， ∵的中点为， ∴的中点也为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或或． 6．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， 如图，过点D作轴于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点为的中点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为或； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 综上所述，点D的横坐标为或或． 7．(1)抛物线解析式为； (2)直线解析式为； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数应用——面积问题，二次函数与平行四边形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点，代入解析式即可求解； （）先求出直线解析式为，顶点，根据点是直线上方一点，且，则有点在过点且平行的平行线上，即，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为且过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 由， ∴顶点， 如图， ∵点是直线上方一点，且， ∴点在过点且平行的平行线上，即， 设直线解析式为且过， ∴，解得， ∴直线解析式为； （3）解：如图，设， 由， ∴， ∵，的坐标分别为，， ∴当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，在抛物线上，符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； ∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为． 8．(1)，， (2) (3)，或 【分析】（1）把代入抛物线解析式可求得C点的坐标，把代入抛物线解析式，解方程可求得A、B两点的坐标； （2）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，分析可知当三点共线时，的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，再代入到，即可求得点的坐标； （3）设，，分3种情况讨论：①若是对角线；②若是对角线；③若是对角线，利用平行四边形的性质列出方程组，求出的值，即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：当时，则； ∴， 当时，则， 解得，， ∵点B在点A的右侧， ∴，； ∴综上所述，，，； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：由（1）得，，， 设，， ∵以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， ∴分3种情况讨论： ①若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ②若是对角线， 则， 解得或， ∴或； ③若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ∴综上所述，点N的坐标为，或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及求抛物线与坐标轴的交点、最短路径问题、求一次函数的解析式、平行四边形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题的关键． 9．(1)； (2)； (3)存在满足条件的点、，坐标分别为，或， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的表达式求解、平行四边形的判定，关键是利用待定系数法求函数解析式，结合平行四边形对角线互相平分的性质，以、、分别为对角线分三种情况，利用中点坐标公式列方程求解，最后结合点的位置限制筛选符合条件的解． （1）先根据抛物线与轴的交点特征求出点的坐标，再利用待定系数法，将、两点坐标代入一次函数的一般式，求解得到直线的表达式； （2）将、两点的坐标代入抛物线的一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到抛物线的表达式； （3）先求出抛物线的对称轴，确定点的横坐标，设出、的坐标，根据平行四边形对角线互相平分的性质，对角线的中点坐标相同，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况，利用中点坐标公式列方程求解，再结合点在直线上方的限制条件，筛选出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时，，即； 设直线的表达式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：抛物线过、， 将两点坐标代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为， 设点的坐标为，则． ∵点在直线上方， ∴或． 已知，，分以下三种情况讨论： ①以为平行四边形的对角线，此时的中点与的中点重合， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 根据中点坐标相同列方程：， 解得：，不满足或的条件，故此情况舍去； ②以为平行四边形的对角线，此时的中点与的中点重合， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 根据中点坐标相同列方程：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 解得：，即点的坐标为； ③以为平行四边形的对角线，此时的中点与的中点重合， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 根据中点坐标相同列方程：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 解得：，即点的坐标为； 综上，存在满足条件的点、，坐标分别为，或，． 10．(1) (2)， (3)-1或 【分析】（1）把点和点代入，求得b，c的值即可； （2）作正方形ABMN，过点M作轴于点G，证明，即可求得结论； （3）根据题意得，在点B的上方的y轴上取点T，设点T的坐标为(0，t)，则有得t=4，即T(0，4) ，过点T(0，4)作直线RT∥AB，求得与联立方程组，求得x的值即可． 【详解】（1）由抛物线经过点，， ∴     解得：     ∴抛物线的表达式为： （2）由（1）可知抛物线的对称轴是， ∵A为抛物线CD的中点， ∴， 作正方形ABMN，过点M作轴于点G， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，即 同理可得： （3）由（2）知，在中，， ∴ ∴ 由平行四边形的性质知， ∵ ∴       在点B的上方的y轴上取点T，设点T的坐标为(0，t)，有： 即： ∴t=4，即T(0，4)                                                                     过点T(0，4)作直线RT∥AB， ∵直线AB为，代入点A(-2，0)的坐标可得 ∵直线RT∥AB，点T(0，4) ∴直线RT为： ∴列方程   化简得： ∴解方程得：， 即点P的横坐标为-1或． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，解一元二次方程，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解本题的关键． 11．(1) 抛物线的解析式为：；(2) 当时，的面积最大，最大值，的坐标为：；(3) 点的坐标为：，，， 【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式； （2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案； （3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案． 【详解】解：∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是， ∴点的坐标为：， ∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴此抛物线的解析式为： 连接，设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点的坐标为：， 则， ∴当时，的面积最大，最大值， ∴的坐标为：； 设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时， ∵平行四边形中，点、的坐标分别是、， ∴点的坐标为， ∵点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点， ①当为边时，PN//BQ，， ∵， ∴， 当时， 解得：，， ∴，； 当时，解得：，， ∴，； ②当为对角线时，BP//QN，，此时与，重合； 综上可得：点的坐标为：，，， 【点睛】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 12．(1) (2) (3)1或 【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）由坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可得直线l的解析式，作轴于点H，交l于点M，作于N，可用含t的代数式表示的长，从而可表示出的面积，再利用二次函数的性质求其最大值时t的值即可； （3）由题意可知或，当时，作轴交于点G，利用等腰直角三角形的性质可得关于t的方程，求解即可；当时，作轴于点K，于点Q，可证明，利用相似三角形的性质可得关于t的方程，求解即可． 【详解】（1）把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段的中点为， ∵直线l将平行四边形分割成面积相等的两部分， ∴直线l过平行四边形的对称中心， ∵关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 设直线l的解析式为， 把E和对称中心的坐标代入，得， 解得， ∴直线l的解析式为， 令， 解得或（舍）， ∴， 如图，作轴于点H，交l于点M，作于N， ∵点P横坐标为t， ∴， ∴， ∴ ， 当时，的面积最大； （3）存在点P使为直角三角形，理由如下： 由图可知，， ∴只能或， ①当时，如图，作轴交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ，即， 解得或（舍）， ②当时，如图，作轴于点K，于点Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，即，即， 解得或（舍）， 综上，存在点P使为直角三角形，t的值为1或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，能够运用方程思想是解题的关键． 13．(1) (2)D点坐标为 (3) 【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平行四边形的性质，得到的面积为，过点D作轴交于P，利用，列出方程进行求解即可； （3）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，利用平行线分线段成比例，得到，进而得到，过点C作轴，交直线于点，证明，得到，进而将转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：对函数，当，得；当，得； ∴， 将A、C点坐标代入抛物线解析式得 ，解得； ∴抛物线解析式为； （2）∵ ∴， 连接，过点D作轴交于P， 设，则 ∴ ∴ 解得：， ∴所求D点坐标为； （3）∵， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴过点C作轴，交直线于点，则，， ∴， ∵， ∴，             ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，属于中考压轴题．涉及二次函数的图像与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 14．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3)当平行四边形的面积为24时，点D坐标为或，且点D坐标为时，平行四边形为菱形；不存在点，使得平行四边形为正方形，理由见解析 【分析】（1）根据题意可设交点式，再利用待定系数法求解，最后改为一般式即可；将一般式改为顶点式，即可直接得出对称轴和顶点坐标； （2）由题意可知，．再根据，结合三角形面积公式求解即可； （3）将代入，解得：，．分类讨论：①当时，此时，分别求出和的长，即得出，此时平行四边形是菱形；②当时，此时，分别求出和的长，即得出，此时平行四边形不是菱形；当平行四边形为正方形时，，即得出，从而得出，此时点D不在抛物线上，即不存在点，使得平行四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴可设该二次函数解析式为． ∵二次函数的图象又经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵ ， ∴． ∵点是函数图象上一动点，且位于第四象限， ∴，且，即． ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：当时，即， 解得：，． 分类讨论：①当时，，即此时， ∴，， ∴， ∴此时平行四边形是菱形； ②当时，，即此时， ∴，， ∴， ∴此时平行四边形不是菱形； 当平行四边形为正方形时，，， ∵， ∴， ∴． 对于，令，则， ∴此时点D不在抛物线上，即不存在点，使得平行四边形为正方形． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，求二次函数的对称轴、顶点坐标，二次函数与面积的综合，二次函数与特殊四边形的综合，特殊四边形的判定和性质等知识．正确求出二次函数解析式并利用数形结合的思想是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $