12.1 课时3 三角形的外角课件 2025-2026学年青岛版数学 七年级下册

12.1 三角形 第12章 平面图形的认识 课时3 三角形的外角 思考：我们上一节课学习了三角形的内角的性质和推论，那么图中哪些是△ABC的内角？ 图中△ABC的内角是∠ABC、∠BAC、∠ACB. 思考：将△ABC的三条边分别延长，得到∠1，∠2，∠3.它们有什么共同的特征? 活动一：探究三角形外角的定义 ∠1，∠2，∠3与△ABC相邻内角互为邻补角. 思考：观察△ABC，它有几个外角，试着画出所有的外角？ 三角形有六个外角，每一个内角的顶点上有两个外角，这两个外角互为对顶角. 活动一：探究三角形外角的定义 归纳： 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角. 活动一：探究三角形外角的定义 思考：如图,∠1,∠2,∠3为△ABC的三个内角,∠ACD为△ABC的一个外角.试着用量角器测量各个角，观察∠ACD与∠1,∠2,∠3之间的关系 ∠ACD+∠3=180°； ∠ACD=∠1+∠2； ∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2. 活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系 思考：如图，在△ABC 中，试着说明∠ACD=∠1+∠2？ 根据三角形的内角和是180°,得 ∠1+∠2+∠3=180°. 根据邻补角的定义,得∠ACD+∠3=180°. 所以∠1+∠2+∠3=∠ACD+∠3. 根据等式的基本性质,得 ∠1+∠2=∠ACD. 活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系 思考：如图，试着说明∠ACD>∠1, ∠ACD >∠2？ 由∠1+∠2=∠ACD,可以得到 ∠ACD>∠1和∠ACD>∠2. 活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系 归纳总结： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 活动二：探究三角形的一个外角与不相邻的两个内角的关系 思考：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．试着用量角器测量各个角，观察∠BAE，∠CBF，∠ACD之间的关系. ∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 活动三：探究三角形的外角和 思考：试着说明∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 根据平角等于180°，得 ∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°， ∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1+∠2+∠3）． 根据三角形内角和是180°，得∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°． 活动三：探究三角形的外角和 归纳总结： 三角形的外角和等于360°. 活动三：探究三角形的外角和 例2.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,∠ABD=∠A,∠C=3∠A. (1)求△ABC各内角的度数; (2)求∠ADB的度数. 解析： (1)根据BD是∠ABC的平分线,及角的平分线的定义,得 ∠ABC=2∠ABD.因为∠ABD=∠A,所以∠ABC=2∠A. 根据三角形的内角和等于180°,得∠A+∠ABC+∠C=180°. 因为∠C=3∠A,所以∠A+2∠A+3∠A=180°， 即6∠A=180°.所以∠A=30°,所以∠ABC=60°,∠C=90°. 所以△ABC各内角的度数分别为30°、60°、90°. 例2.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,∠ABD=∠A,∠C=3∠A. (1)求△ABC各内角的度数; (2)求∠ADB的度数. 解析： 由(1)知∠ABD = ∠A = 30°，在△ABD中，再次应用三角形内角和定理：∠ADB + ∠ABD + ∠A = 180° 代入∠ABD = 30°、∠A = 30°， 得：∠ADB = 180° - (30° + 30°) = 120°. 1.如图,在△ABC中,点D,E在边BC上,连接AD,AE. (1)∠AED=∠B+______, ∠ADC=∠B+______=∠AED+_______; (2)用 “>”或 “<”填空: ∠AEC______∠ADC,∠B_____∠ADC. ∠BAD ∠BAE ∠ EAD < < 2.如图，在△ABC中，∠ADC=86°，∠BCD=34°，CD平分∠ACB，那么∠A的度数是（ ）. A．34° B．42° C．60° D．65° 解析：由题意,得CD平分∠ACB，∠BCD=34°， 根据角平分线定义，得∠ACD=∠BCD=34°， 根据外角的性质，得 ∠BDC=180°-∠ADC= =180°-86°= 94°， ∠A=∠BDC-∠ACD=94°-34°=60°， 故选C． C 3.某零件的形状如图所示，按规定∠A，∠B，∠D应分别等于90°，20°和30°时 该零件才合格．王师傅量得∠BCD=150°，关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：该零件不合格； 结论Ⅱ：已知∠A=90°，当∠B与∠D的度数分别减少2°时，∠BCD的度数会减少2°. A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 A 解析：延长DC交AB于点E，由题意，得∠BCD=150°，∠B=20°， 根据外角的性质，得∠DEB=150°-20°=130°， ∠A=∠DEB-∠D=130°-30°=100°≠90°， 所以该零件不合格，结论Ⅰ正确； ∠BCD=∠DEB+∠B=∠A+∠D+∠B=90°+∠D+∠B， 当∠B与∠D的度数分别减少2°时， ∠BCD=90°+∠D-2°+∠B-2°=（90°+∠D+∠B）-4°， 即∠BCD的度数会减少4°，结论Ⅱ不正确；故选A. 4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=24°，求∠CDE的度数． 解析：由题意，得∠ADC 是△ABD 的外角， 根据外角的性质，得∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+24°． 即∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+24°-∠CDE. 由题意，得∠AED是△CDE的外角，∠B=∠C， ∠AED=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE． 因为∠ADE=∠AED，所以，得 ∠B+24°-∠CDE=∠B+∠CDE．即∠CDE=12°． 三角形的外角 三角形的外角定义： 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角. 三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角. 外角的性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 三角形的外角和等于360°. 外角和： $