山东济宁市嘉祥县第一中学等校2025-2026学年第二学期质量检测高二数学试题

**基本信息** 2025-2026高二数学期中卷聚焦导数、概率统计等核心知识，通过盲盒、红包等现实情境设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据应用能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|导数运算、随机变量、二项式定理|单选基础巩固，多选考查概念辨析（如正态分布性质）| |填空题|3/15|排列组合、余数计算、概率递推|14题红包概率递推，培养数学思维的逻辑性| |解答题|5/77|函数极值、统计似然比、条件概率|18题潮玩盲盒情境，综合考查条件概率与数学建模，体现用数学语言表达现实世界|

2025—2026学年度第二学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准 2026.04 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD AD ACD 12.150 13.1 14．（2分）（3分） 14.， 递推公式为：，整理得： 所以 三、解答题： 15．解：∵展开式的通项为 ，………………………………………………………2分 （1）第三项的二项式系数为，第五项的二项式系数为；………………………4分 由题意得比例关系：， 解得.……………………………………………6分 （2）若为有理项，则, 即…………………………………………………………………………………9分 所求有理项分别为： . ……………………………………13分 16．解：（1）令，得. ………………………………………3分 表格如下： 2 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 又，………………………………………5分 故的最大值为，最小值为. ………………………………………7分 （2）解：， …………………9分 在上恒成立，即在上单调递减，…………11分 当时，，即在上单调递增，不合题意； 当时，由，得，由，得， ∴的单调减区间为，单调增区间为， …………13分 和在区间上具有相同的单调性， ∴，解得， 综上，的取值范围是. ………………………………………15分 17．解：(1) 事件 A（达标学生）人数：28+56+10=94 人. 事件 A∩B（达标且分数低于 70 分）人数：28 人. ……………………………2分 ​ ……………………………4分 计算似然比 ……………………………6分 (2)已知 ，正态分布图像关于x=75 对称。由 P(X≥90)=， 根据对称性可得：P(X≤60)=P(X≥90)=​ “良好” 学生得分区间为 60<X<90，则其概率为： p=P(60<X<90)=1−P(X≤60)−P(X≥90)=​……………………………9分 Y表示抽取 3 名学生中“良好”学生的人数，则 Y 服从二项分布：~ 根据二项分布概率公式 当 k=0 时： 当 k=1 时：​ 当 k=2 时： 当 k=3 时： 0 1 2 3 ……………………………13分 所以期望值为2.4. ……………………………15分 18. 解： （1）设：事件A:选到典藏盒， 事件B:选到经典盒， 事件C:从盒子中不放回抽取2次，恰好抽到1个隐藏款 从典藏盒中抽1个隐藏款的概率： ………………………………………………………2分 从经典盒中抽1个隐藏款的概率： ………………………………………………………4分 由全概率公式： 顾客任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率是.……6分 (2)(i)设： 事件D ：从典藏盒抽1个隐藏款 事件E ：从经典盒抽1个隐藏款 事件F ：恰好买到1个典藏盒、1个经典盒 事件M ：一个典藏盒、一个经典盒，恰好抽到1个隐藏玩偶 事件N ：恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款 , , . ………………10分 所以 所以恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率。 …………………………………………………12分 (ii)设事件G：总共恰好抽到1个隐藏款；事件H：购买的是1个典藏盒和1个经典盒。 ……………………………………………………15分 所以顾客总共恰好抽到 1 个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率是. ………………………………17分 19．解：(1) ， 所以切点 ………………………………2分 根据点斜式，切线方程为： ………………………………4分 (2)函数的定义域为(0,+∞)， 求导得：​ 令 . ………………………………6分 ………………………………7分 ………………………………8分 ………………………………10分 综上： …………………………12分(3)法一： ………………………………13分 故时，上单调递减.………………………15分 因此： 又， 故。 …………………………………………………17分 法二： 令 ………………………………13分 …………………………………15分 ……………………………………………17分 注：其他方法，只要正确一样给分. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期质量检测 高二数学试题 注意事项： 2026.04 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量~，，则（    ） A．0.2 B．0.7 C．0.6 D．0.8 3．已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于 A．2 B．1 C． D．0 4．函数的单调增区间为(　　) A． B． C． D． 5. 的展开式中的系数为（    ） A．84 B．-28 C．56 D．28 6．从包含甲、乙两人的6人中选出3人分别担任班长、纪律委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A．120 B．60 C．30 D．24 7．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 8．若过点可以作函数的三条不同的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量的方差，则 C．若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” D．若事件满足，且则与独立 10．已知，若展开式中所有项的系数和比所有二项式系数和大211，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，为的导函数，则下列结论中正确的有（    ） A．若，在R上单调递增，则 B．存在实数，使得有3个极值点 C．若，则当 D．若，则恒成立，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．甲、乙等5人去孔府、孔庙、孔林三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，则不同的游览方法的种数为___________．（用数字回答） 13.除以8所得的余数为___________． 14.2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）。甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到.记第n次发出红包的人是乙的概率为.则=_____,=_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知函数，其中为正整数。若的展开式中，第三项与第五项的二项式系数之比为2:7. （1）求的值; （2）求展开式中的有理项（系数用数字回答）. 16．（15分） 已知函数，其中. (1)若函数在处取到极值，求函数在区间的最大值与最小值； (2)若，和在区间上具有相同的单调性，求实数的取值范围. 等级 得分区间 人数 未达标 X≤60 6 良好 60<X<70 28 70≤X<90 56 优秀 X≥90 10 17.（15分） 某学校为了了解学生的数学学习情况，从学生中随机抽取了100名学生进行数学能力测试，将学生的得分记为 X ，并以此为样本得到了如下表格： 其中"良好"和"优秀"学生统称为"达标学生". (1)统计学中常用 表示在事件 A 发生的条件下事件B发生的似然比。现从样本中随机抽取1名学生，记事件 A 为该学生为"达标学生"，事件B为"该学生分数低于70分"，求似然比 L 的值; (2)若该机构所有学生的数学得分 X 近似服从正态分布 N (75,)，且 P ( X ≥90)=。从该学校众多学生中随机抽取3名，设这3名学生中"良好"学生人数为 Y ，求 Y 的分布列及数学期望. 试卷第1页，共3页 高二数学 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18．（17分） 某潮玩店推出了"数学家盲盒"，分为典藏盒和经典盒两种：典藏盒中有6个玩偶，其中2个隐藏款，4个常规款；经典盒中有8个玩偶，其中1个隐藏款，7个常规款.已知店里进货时，典藏盒占总量的，经典盒占总量的. (1)若随机挑选一个盒子，顾客从中任取2个玩偶，求恰好抽到1个隐藏款的概率； (2)顾客随机购买两个盲盒，从每个盒子中各抽取1个玩偶. (i)求恰好买到一个典藏盒、一个经典盒，且抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款的概率； (ii)如果顾客抽取的两个玩偶中只有1个隐藏款，求他购买的是一个典藏盒、一个经典盒的概率. 19．（17分） 已知函数. ⑴当时，求曲线在点处的切线方程； ⑵讨论的单调性； ⑶当，时，证明. 答案第1页，共2页 高二数学 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $