专题02 复数与不等式（8大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题02 复数与不等式 8大考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的模 考点03复数的几何意义 考点04复数的运算 考点05复数域求根 考点06基本不等式 考点07一元二次不等式 考点08不等式恒成立 ( 复数的概念 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． ( 复数的模 考点 2 ) 2．（2026·江苏宿迁·二模）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2026·江苏苏州·二模）已知复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 4．（2026·江苏·二模）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 5．（2026·江苏镇江·二模）已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（2026·江苏南京·二模）若，则（   ） A． B．2 C． D．4 7．（2026·江苏·二模）若（是复数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 8．（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． ( 复数的几何意义 考点 3 ) 9．（2026·江苏宜兴·二模）若复数z满足，其中为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 复数的运算 考点 4 ) 10．（2026·江苏·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 11．（多选）（2026·江苏·二模）已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． ( 复数域求根 考点 5 ) 12．（2026·江苏·二模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 ( 基本不等式 考点 6 ) 13．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏盐城·二模）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2026·江苏·二模）若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________. 16．（2026·江苏南京·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求A； (2)若，点D在边上，，求面积的最大值. 17．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． ( 一元二次不等式 考点 7 ) 18．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 19．（2026·江苏·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． ( 不等式恒成立 考点 8 ) 20．（2026·江苏·二模）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数与不等式 8大考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的模 考点03复数的几何意义 考点04复数的运算 考点05复数域求根 考点06基本不等式 考点07一元二次不等式 考点08不等式恒成立 ( 复数的概念 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数的模的计算公式求出，再根据虚部的定义即可得解. 【详解】因为，复数在复平面内对应的点关于虚轴对称， 所以， 所以， 所以的虚部为. 故选：B. ( 复数的模 考点 2 ) 2．（2026·江苏宿迁·二模）已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据复数除法运算、共轭复数、复数的模等知识求得正确答案. 【详解】， 所以. 故选：A 3．（2026·江苏苏州·二模）已知复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为复数z满足，则，所以， 所以由模长公式得. 4．（2026·江苏·二模）已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法求，再根据复数模长的定义求. 【详解】由，得 则. 5．（2026·江苏镇江·二模）已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先根据复数除法的法则将变形，再根据复数模的公式计算即可得解. 【详解】因为复数 ， 所以. 6．（2026·江苏南京·二模）若，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据复数乘法的运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 7．（2026·江苏·二模）若（是复数单位），则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算求出复数，再利用模的意义计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 8．（2026·江苏南京·二模）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 【答案】(1)详见解析； (2)1 (3)详见解析. 【分析】（1）设，利用复数的运算和模公式求解； （2）由，求得，根据求解； （3）根据棣莫弗定理公式得到验证即可. 【详解】（1）设， 则， ， ，则，而， 所以； （2）已知， 则， 所以， ， 因为，所以，即，解得； （3）由棣莫弗定理公式， 得， ； ， ； ， ， 则，， 所以. ( 复数的几何意义 考点 3 ) 9．（2026·江苏宜兴·二模）若复数z满足，其中为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算和共轭复数的概念求解. 【详解】因为复数z满足，其中为虚数单位， 所以，则， 所以z在复平面上所对应的点在第四象限， 故选：D ( 复数的运算 考点 4 ) 10．（2026·江苏·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得：， 则，则. 11．（多选）（2026·江苏·二模）已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 【答案】BC 【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断． 【详解】对于A，当时，， 则对应的三角形式为，故A错误； 对于B， ， 又， 所以， 则的虚部为， ，，解得，B正确； 对于C，先求，根据复数模的性质：若，则， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则必须是完全平方数， 即（），则， 因为，所以，即， 因为，，， 又因为，所以，故， 所以从到，共个正整数，选项C正确； 对于D，由， ， ， ，故D错误． 故选：BC． ( 复数域求根 考点 5 ) 12．（2026·江苏·二模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. ( 基本不等式 考点 6 ) 13．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用抛物线的定义和余弦定理，分别用表示出与，进而表示出，借助于求导判断函数单调性，即可求得其最小值. 【详解】由：可知，准线方程为，设，， 根据抛物线的定义可得：，， 因为中点，则， 于是， 令，，所以. 在中，， 由余弦定理，得， 则， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 设，， 则，所以在上单调递增， 则当时，取最小值为，此时取最小值， 故的最小值为. 14．（2026·江苏盐城·二模）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先由条件可得公比和,进而再用基本不等式可得最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为，通项为. 由 ，代入通项得： 两边同除以， 整理得： , 解得正根（负根舍去）. 再由得： ，整理得： 化为指数形式： 即，得： . 等号成立条件：且，解得，均为正整数，符合条件. 因此的最小值为. 15．（2026·江苏·二模）若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________. 【答案】 【分析】由，再解一元二次不等式得出a＋b的取值范围. 【详解】， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号 故答案为： 16．（2026·江苏南京·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求A； (2)若，点D在边上，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意利用余弦定理得，利用正弦定理得，进而求解； （2）先计算，由得，进而得，最后利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理有：， 又由有：， 由正弦定理有：， 又，所以， 所以，即， 又， 所以； （2）由（1）有， 由有：， 又由余弦定理有：， 当时，等号成立， 所以， 所以， 所以面积的最大值为. 17．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 【答案】(1) (2) ①②； 【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合； （2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点坐标的关系，根据过且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与坐标的关系，再通过消去的坐标，推导出的轨迹方程； ②由①得到的轨迹方程，将转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值. 【详解】（1）当，直线方程， 联立双曲线与直线，代入整理得， 由题知直线与双曲线有唯一公共点， 故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件； 当时，，解得， 故实数k的取值集合为. （2）①联立与得：， 由唯一公共点且，得，化简得 ， 设切点，由二次方程顶点公式得 ， 故过且与垂直的直线方程为， 分别令，，得， 将和代入，整理得， 即为的轨迹方程. ②由①知的轨迹方程，故 ， 令，， 原式 当时原式小于0，故最大值仅在时取得， 当时化简得， 由基本不等式，当且仅当时取等， 因此 ，此时， 得，即，代入得，即， 因此最大值为，对应. ( 一元二次不等式 考点 7 ) 18．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【答案】A 【详解】由，得，即， 解得，所以， 所以集合的子集个数是. 19．（2026·江苏·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知， ， 则. ( 不等式恒成立 考点 8 ) 20．（2026·江苏·二模）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 原式等价于， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $